대칭 관계 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''대칭 관계'''(對稱關係, {{llang|en|symmetric relation}})는 두 대상 사이의 관계의 성립 여부가 두 대상의 순서와 무관한 [[이항 관계]]이다. 예를 들어, 형제자매 관계는 대칭 관계이지만, 조상과 자손의 관계는 대칭적이지 않다. [[반사 관계]]인 대칭 관계는 [[그래프 이론]]의 연구 대상이다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math> 위의 [[이항 관계]] <math>R\subseteq X^2</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''대칭 관계'''라고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, 만약 <math>(x,y)\in R</math>라면, <math>(y,x)\in R</math>

== 성질 ==
크기 <math>n</math>의 [[유한 집합]] 위에는 총 <math>2^{n(n+1)/2}</math>개의 [[대칭 관계]]가 존재한다. 작은 <math>n</math>에 대하여, 이는 다음과 같다 (<math>n=0,1,2,\dots</math>).
:1, 2, 8, 64, 1024, … {{OEIS|A006125}}

=== 반사 대칭 관계 ===
[[집합]] <math>X</math> 위의 [[반사 관계|반사]] 대칭 관계 <math>R</math>에 대하여, <math>\mathcal C_R</math>가 <math>R</math>의 [[극대 클릭]]들의 집합이라고 하자. 즉, <math>\mathcal C_R</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[극대 원소|극대]] [[부분 집합]] <math>C\subseteq X</math>들로 구성된다.
* 임의의 <math>c,c'\in C</math>에 대하여, <math>(c,c')\in R</math>
그렇다면, <math>\mathcal C_R</math>는 <math>X</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]이며, 다음 두 성질을 만족시킨다.
* (A) 임의의 <math>C\in\mathcal C_R</math> 및 <math>\mathcal F\subseteq\mathcal C_R</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle C\subseteq\bigcup\mathcal F</math>라면, <math>\textstyle\bigcap F\subseteq C</math>이다.
* (B) 임의의 <math>S\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>S</math>가 <math>\mathcal C_R</math>의 원소의 [[부분 집합]]이 아니라면, <math>\mathcal C_R</math>의 원소의 [[부분 집합]]이 아닌 두 원소 집합 <math>\{s,t\}\subseteq S</math>가 존재한다.
반대로, 조건 (A)와 (B)를 만족시키는 <math>X</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌을 때, <math>X</math> 위에 다음과 같은 [[이항 관계]] <math>R_{\mathcal C}</math>를 정의하자.
:<math>(x,y)\in R_{\mathcal C}\iff\exist C\in\mathcal C\colon x,y\in C</math>
그렇다면, <math>R_{\mathcal C}</math>는 [[반사 관계|반사]] 대칭 관계이다. <math>R\mapsto\mathcal C_R</math>는 <math>X</math> 위의 [[반사 관계|반사]] 대칭 관계들의 집합과 조건 (A)와 (B)를 만족시키는 <math>X</math>의 [[덮개 (위상수학)|덮개]]들의 집합 사이의 [[일대일 대응]]이며, 그 [[역함수]]는 <math>\mathcal C\mapsto R_{\mathcal C}</math>이다. 즉, [[반사 관계|반사]] 대칭 관계의 개념은 위 두 조건을 만족시키는 [[덮개 (위상수학)|덮개]]의 개념과 동치이다.<ref name="Chajda">{{저널 인용
|이름1=Ivan
|성1=Chajda
|이름2=Josef
|성2=Niederle
|이름3=Bohdan
|성3=Zelinka
|제목=On existence conditions for compatible tolerances
|언어=en
|저널=Czechoslovak Mathematical Journal
|권=26
|호=101
|쪽=304–311
|날짜=1976
|issn=0011-4642
|doi=10.21136/CMJ.1976.101403
|mr=0401561
|zbl=0333.08006
|eudml=12943
}}</ref>{{rp|304, Theorem 1}}

== 예 ==
모든 [[동치 관계]]는 대칭 관계이다.

[[순서체]] <math>K</math> 위에서 다음과 같은 [[이항 관계]] <math>R</math>를 생각하자. (예를 들어, <math>K</math>는 [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>나 [[실수체]] <math>\mathbb R</math>로 취할 수 있다.)
:<math>(x,y)\in R\iff|x-y|\le1</math>
그렇다면 <math>R</math>는 <math>K</math> 위의 [[반사 관계|반사]] 대칭 관계이다. 반면, <math>K</math> 위에 [[이항 관계]]
:<math>(x,y)\in S\iff0<|x-y|\le1</math>
를 정의하였을 때, <math>S</math>는 대칭 관계이지만, [[반사 관계]]가 아니다.

=== 직교 ===
[[초등 기하학]]에서, 두 직선이 [[수직]]으로 만나는 관계는 대칭 관계를 이룬다. 보다 일반적으로, 임의의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 및 <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math> 및 [[쌍선형 형식]] <math>B\colon V\times V\to K</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Grove">{{서적 인용|성=Grove|이름=Larry C.|제목=Classical groups and geometric algebra|언어=en|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=39|출판사=American Mathematical Society|위치=[[프로비던스]]|날짜=2002|isbn=0-8218-2019-2|issn=1065-7338|mr=MR1859189|zbl=0990.20001}}</ref>{{rp|17, Proposition 2.7}}
* (직교의 대칭성) 만약 <math>B(u,v)=0</math>라면, <math>B(v,u)=0</math>이다.
* <math>B</math>는 [[대칭 쌍선형 형식]]이거나, [[교대 쌍선형 형식]]이다.
* <math>B</math>는 [[대칭 쌍선형 형식]]이거나, [[반대칭 쌍선형 형식]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[추이적 관계]]
* [[반대칭관계]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:집합론]]