대칭행렬 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서 '''대칭 행렬'''(對稱行列, {{llang|en|symmetric matrix}})은 [[전치 행렬]]이 스스로와 같은 [[행렬]]이다.

== 정의 ==
행렬 <math>A</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''대칭 행렬'''이라고 한다.
:<math>A=A^\operatorname T</math>
즉,
:<math>A_{ij}=A_{ji}</math>

== 성질 ==
[[유한 차원]] [[벡터 공간]]의 [[대칭 쌍선형 형식]]은 대칭 행렬의 개념과 일치한다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
대칭 행렬은 덧셈과 스칼라 곱셈과 곱셈에 대하여 닫혀있다.

=== 실수 대칭 행렬 ===
[[스펙트럼 정리]]에 따르면, 실수 대칭 행렬은 [[직교 대각화 가능 행렬]]이며, 반대로 모든 실수 직교 대각화 가능 행렬은 대칭 행렬이다.

실수 대칭 행렬은 [[에르미트 행렬]]이므로, [[고윳값]]은 모두 실수이며, 서로 다른 [[고윳값]]에 대응하는 [[고유 벡터]]들은 서로 직교한다.<ref>Howard Anton, 이장우 역, 《알기쉬운 선형대수》, 범한서적, 2006</ref>{{rp|452–453}}

=== 반대칭 행렬과의 관계 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 대칭 행렬의 집합은, 전체 행렬 [[대수 (환론)|대수]]의 <math>n(n+1)/2</math>차원 [[부분 대수]]를 이룬다. 또한, 만약 <math>K</math>의 [[환의 표수|표수]]가 2가 아닐 경우, 전체 행렬 대수는 대칭 행렬과 [[반대칭 행렬]]의 [[벡터 공간]]의 [[직합]]이다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Mat}(n;K)=\{A\in\operatorname{Mat}(n;K)\colon A=A^\operatorname T\}\oplus\{A\in\operatorname{Mat}(n;K)\colon A=-A^\operatorname T\}\qquad(\operatorname{char}F\ne2)</math>
구체적으로, 임의의 행렬 <math>A</math>는 다음과 같은 대칭 행렬과 반대칭 행렬의 합으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현 방법은 유일하다.
:<math>A=\frac12(A+A^\operatorname T)+\frac12(A-A^\operatorname T)</math>

== 예 ==
예를 들어, 행렬
:<math>
\begin{pmatrix}
1&2&4\\
2&3&5\\
4&5&6
\end{pmatrix}
</math>
은 대칭 행렬이다.

== 같이 보기 ==
* [[파스칼 행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Symmetric matrix}}
* {{매스월드|id=SymmetricMatrix|title=Symmetric matrix}}

{{전거 통제}}

[[분류:행렬]]