대수 다형체의 사상 문서 원본 보기

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[[대수기하학|대수 기하학]]에서 [[대수다양체|대수 다형체]]들 사이의 '''사상'''은 다항식에 의해 국소적으로 주어진 다형체 사이의 함수이다. '''정규 사상''' 또는 '''정칙 사상'''(복소 함수론의 정칙 사상과 혼돈의 여지가 있다)이라고도 한다. 대수 다형체에서 [[아핀 공간|아핀 직선]]으로 가는 사상은 '''정규 함수'''라고도 한다. 역도 규칙적인 정규 사상을 '''쌍정규'''라고 하며 쌍정규 사상은 대수 다형체의 [[동형 사상|동형사상]]이다. 정규와 쌍정규는 매우 제한적인 조건이기 때문에 – 사영 다형체 위에서는 모든 정규 함수가  상수 함수다. – [[유리 사상|유리]] 및 쌍유리 사상의 개념도 널리 사용된다. 그들은 [[다항식]] 대신 유리 분수에 의해 국소적으로 정의되는 [[부분 정의 함수|부분 함수]]이다.

대수 다형체는 자연스럽게 국소적으로 [[환 달린 공간]] 구조를 가진다. 대수 다형체 사이의 사상은 정확히 기반이 되는 국소적으로 환 달린 공간의 사상이다.

== 정의 ==
<math>X, Y</math>가 각각 <math>\mathbb{A}^n</math>과 <math>\mathbb{A}^m</math>의 닫힌 [[대수다양체|부분 다형체]](즉 <math>X, Y</math>는 아핀 다형체)이면, 정규 사상 <math>f\colon X\to Y</math> 는 다항식 사상 <math>\mathbb{A}^n\to \mathbb{A}^m</math>의 제한이다. 명시적으로{{Sfn|Shafarevich|2013}}

: <math>f = (f_1, \dots, f_m)</math>

형태를 가진다. 여기서 <math>f_i</math>들은 ''<math>X</math>''의 좌표 환에 있다.

: <math>k[X] = k[x_1, \dots, x_n]/I</math>

여기서 ''<math>I</math>''는 ''<math>X</math>''를 정의하는 [[아이디얼|이데알]]이다. (참고: 두 개의 다항식 ''<math>f,g</math>''가 ''<math>X</math>''에서 동일한 함수를 정의함과 ''<math>f-g</math>가'' '''''<math>I</math>'''''의 원소임은 동치이다). 상 ''<math>f(X)</math>''는 ''<math>Y</math>''에 있으므로 ''<math>Y</math>''의 정의 방정식을 충족한다. 즉, 정규 사상 <math>f: X \to Y</math> 구성 원소가 다음 정의 방정식을 만족하는 다항식 사상의 제한과 동일하다. <math>Y</math> .

보다 일반적으로, ''<math>f(U)\subset V</math>'' 및 제한된 함수 ''<math>f</math>''를 충족하는 ''<math>x</math>''의 이웃 ''<math>U</math>''와 ''<math>f(x)</math>''의 이웃 ''<math>V</math>''가 있는 경우 두 [[대수다양체|다형체]] 사이의 사상 <math>f: X \to Y</math>는 '''점''' ''x''에서 규칙적이다. <math>U\to V</math>''는'' ''<math>U</math>''와 ''<math>V</math>''의 일부 아핀 좌표 조각에서 함수로 규칙적이다. 그런 다음 ''<math>f</math>가'' ''<math>X</math>''의 모든 지점에서 규칙적이라면 ''<math>f</math>''를 '''정규'''라고 한다.

* '''참고:''' 두 정의가 일치한다는 것이 즉시 명백하지는 않다. ''<math>X</math>''와 ''<math>Y</math>가'' 아핀 다형체인 경우 사상 <math>f: X \to Y</math>는 첫 번째 의미에서 규칙적이다. {{Efn|Here is the argument showing the definitions coincide. Clearly, we can assume ''Y'' {{=}} '''A'''<sup>1</sup>. Then the issue here is whether the "regular-ness" can be patched together; this answer is yes and that can be seen from the construction of the structure sheaf of an affine variety as described at [[affine variety#Structure sheaf]].}} 또한 규칙성이 아핀 좌표 조각의 선택에 따라 달라지는지 즉시 명확하지 않다(그렇지 않다.{{Efn|It is not clear how to prove this, though. If ''X'', ''Y'' are quasi-projective, then the proof can be given. The non-quasi-projective case strongly depends on one's definition of an abstract variety}}). 그러나 이러한 종류의 일관성 문제는 공식 정의를 채택하면 사라진다. (추상적) 대수 다형체는 특정 종류의 국소적으로 [[환 달린 공간]]으로 정의된다. 이 정의가 사용될 때 다형체의 사상은 국소적으로 환 달린 공간의 사상일 뿐이다.

정규 사상의 구성은 다시 정규이다. 따라서 대수 다형체는 사상이 정규 사상인 [[대수기하학|대수 다형체 범주]]를 형성한다.

아핀 다형체 사이의 정규 사상은 좌표 환 사이의 대수 동형에 대해 일대일로 반변적으로 대응한다. <math>f: X \to Y</math>가 아핀 다형체의 동형이면 대수 준동형 사상

: <math>f^{\#}: k[Y] \to k[X], \, g \mapsto g \circ f</math>

을 정의한다. 여기서 <math>k[X], k[Y]</math>는 각각 ''<math>X</math>''와 ''<math>Y</math>''의 좌표 환이다. <math>g \circ f = g(f_1, \dots, f_m)</math>가  <math>k[X]</math>의 원소들로 이뤄진 다항식이므로 이는 잘 정의되어 있다.이다. 반대로, 만약 <math>\phi: k[Y] \to k[X]</math>가 대수 준동형사상이면, 그것은 사상

: <math>\phi^a: X \to Y</math>

을 유도한다. 주어진 : 쓰기 <math>k[Y] = k[y_1, \dots, y_m]/J,</math>

: <math>\phi^a = (\phi(\overline{y_1}), \dots, \phi(\overline{y_m}))</math>

여기서 <math>\overline{y}_i</math>는 <math>y_i</math>들의 상들이다.{{Efn|The image of <math>\phi^a</math> lies in ''Y'' since if ''g'' is a polynomial in ''J'', then, a priori thinking <math>\phi^a</math> is a map to the affine space, <math>g \circ \phi^a = g(\phi(\overline{y_1}), \dots, \phi(\overline{y_m})) = \phi(\overline{g}) = 0</math> since ''g'' is in ''J''.}} <math>{\phi^a}^{\#} = \phi</math>이고 <math>{f^{\#}}^a = f</math>임을 주의하라. {{Efn|Proof: <math>{\phi^a}^{\#}(g) = g(\phi(\overline{y_1}), \dots, \phi(\overline{y_m})) = \phi(g)</math> since φ is an algebra homomorphism. Also, <math>f^{\#a} = (\overline{y_1} \circ f, \dots, \overline{y_m} \circ f) = f.</math>}} 특히, ''<math>f^{\#}</math>가'' 좌표 환의 동형사상인 경우에만 ''<math>f</math>''는 아핀 다형체의 동형사상이다.



예를 들어, ''<math>X</math>''가 아핀 다형체 ''<math>Y</math>''의 닫힌 부분 다형체이고 ''<math>f</math>''가 포함 사상이면 ''<math>f^{\#}</math>''는 ''<math>Y</math>''에서 ''<math>X</math>''로의 정규 함수 제한이다.

== 정규 함수 ==
<math>Y=A^1</math>인 특별한 경우 정규 사상 <math>f: X \to \mathbb A^1</math>은 '''정규 함수'''라고 한다. 정규 함수들이 이루는 환 (즉, 좌표 환 또는, 보다 추상적으로, 층 구조의 대역 단면 환)은 아핀 대수 기하학의 기본 대상이다. 사영 다형체에 대한 유일한 정규 함수는 상수 함수이다([[복소해석학|복소 해석학]]에서 [[리우빌 정리 (복소해석학)|리우빌 정리]]의 대수적 아날로그로 볼 수 있음).


스칼라 함수 ''<math>f:X\to \mathbb A^1 </math>''는, 어떤 ''<math>x</math>''의 열린 아핀 이웃에서, ''<math>x</math>''에서 정규인 [[유리 함수]]일 때 점 ''<math>x</math>''에서 정규이다. 즉, ''<math>x</math>''의 이웃에서 ''<math>f=g/h</math>''이고 ''<math>h</math>가'' ''<math>x</math>''에서 0이 아닌 정규 함수 ''<math>g,h</math>가'' 있다.{{Efn|Proof: Let ''A'' be the coordinate ring of such an affine neighborhood of ''x''. If ''f'' {{=}} ''g''/''h'' with some ''g'' in ''A'' and some nonzero ''h'' in ''A'', then ''f'' is in ''A''[''h''<sup>−1</sup>] {{=}} ''k''[''D''(''h'')]; that is, ''f'' is a regular function on ''D''(''h'').}} 주의: 조건은 모든 쌍''<math>(g,h)</math>''에 대한 것이 아니라 일부 쌍 ''<math>(g,h)</math>''에 대한 것이다.

''<math>X</math>''가 준사영 다형체이면, 즉, 사영 다형체의 열린 부분 다형체인 경우, 함수 체 ''<math>k(X)</math>''는 ''<math>X</math>''의 폐포 <math>\overline{X}</math>와 동일하다. 따라서 ''<math>X</math>'' 위의 유리 함수는 <math>\overline{X}</math>의 동차 좌표 환 <math>k[\overline{X}]</math>에서 동일한 차수의 어떤 동차 원소 ''<math>g,h</math>''에 대해 ''<math>g/h</math>'' 형태이다. 그러면, ''<math>X</math>'' 위의 유리 함수 ''<math>f</math>는'' 점 ''<math>x</math>''에서 정규임과 ''<math>f=g/h</math>''이고 ''<math>h</math>는'' ''<math>x</math>''에서 사라지지 않는 <math>k[\overline{X}]</math> 안의 차수가 같은 동차 원소 ''<math>g,h</math>''가 존재함과 동치다. 이는 때때로 정규 함수의 정의로 본다.{{Sfn|Hartshorne|1997}}

== 스킴의 사상과 비교 ==
''<math>X=\text{Spec} A</math>''및 ''<math>Y=\text{Spec} B</math>''가 [[환의 스펙트럼|아핀 스킴]]인 경우  각 환 동형사상 <math>\varphi: B \to A</math>은 [[소 아이디얼|소 이데알]]들의 [[상 (수학)|역상]]을 취함으로써 사상

: <math>\phi^a: X \to Y, \, \mathfrak{p} \mapsto \phi^{-1}(\mathfrak{p})</math>

을 결정한다. 아핀 스킴 사이의 모든 사상은 이러한 유형이며 이러한 사상를 붙이면 일반적으로 스킴의 사상이 제공된다.



이제 ''<math>X</math>'', ''<math>Y</math>''가 아핀 다형체인 경우; 즉, ''<math>A</math>'', ''<math>B </math>''는 [[대수적으로 닫힌 체]] ''k''에 대해 유한 생성 대수 [[정역]]이다. 그러면 닫힌 점만 사용하여 위의 내용은 정의와 일치한다. (증명: <math>f: X \to Y</math>가 사상이면,  <math>\phi = f^{\#}</math>라 쓰고,

: <math>\mathfrak{m}_{f(x)} = \phi^{-1}(\mathfrak{m}_x)</math>

여기서 <math>\mathfrak{m}_x, \mathfrak{m}_{f(x)}</math>는 각각 점 ''<math>x</math>''와 ''<math>f(x)</math>''에 해당하는 [[극대 아이디얼|극대 이데알]]이다. 즉, <math>\mathfrak{m}_x = \{ g \in k[X] \mid g(x) = 0 \}</math>. 이것은 즉각적이다. )

이 사실은 아핀 다형체의 범주가 ''<math>k</math>''에 대한 아핀 스킴의 전체 부분 범주로 식별될 수 있음을 의미한다. 다형체의 사상은 아핀 스킴의 사상을 붙여서 스킴의 사상를 얻는 것과 같은 방식으로 아핀 다형체의 사상를 붙여서 얻으므로 다형체의 범주는 ''<math>k</math>''에 대한 스킴 범주의 전체 부분 범주가 된다.

자세한 내용은 [https://math.stackexchange.com/q/101038] 참조하라.

== 예 ==

* <math>\mathbb A^n</math>에서 정규 함수는 정확히 ''n'' 변수 다항식이고 <math>\mathbb P^n</math>에서 정규 함수는 정확히 상수 함수이다.
* ''<math>X</math>를'' 아핀 곡선 <math>y = x^2</math>이라 하자. 그러면<math display="block">f: X \to \mathbb{A}^1, \, (x, y) \mapsto x </math>는 사상이다. 이는 전단사이고 역사상은<math>g(x) = (x, x^2)</math>이다. <math>g</math> 또한 사상이므로 ''<math>f</math>''는 다형체의 동형사상이다.
* ''<math>X</math>''를 아핀 곡선 <math>y^2 = x^3 + x^2</math>이라 하자. 그 다음에<math display="block">f: \mathbb{A}^1 \to X, \, t \mapsto (t^2 - 1, t^3 - t) </math>은 사상이다. 이는 환 준동형 사상<math display="block">f^{\#}: k[X] \to k[t], \, g \mapsto g(t^2 - 1, t^3 - t),</math>와 대응한다. 이 환 준동형 사상은 일대일이다.
* 앞의 예를 계속해서 <math>U=\mathbb A^1-\{1\}</math>이라 놓자. <math>U</math>는 초평면 ''t'' = 1의 여집합이므로 <math>U</math>는 아핀이다. 제한 <math>f: U \to X</math>은 전단사이다. 그러나 해당 환 준동형 사상은 다음 포함 사상 <math>k[X] = k[t^2 - 1, t^3 - t] \hookrightarrow k[t, (t - 1)^{-1}]</math>이다. 이는 동형이 아니므로 제한 ''<math>f|_U</math>''는 동형이 아니다.
* ''<math>X</math>를'' 아핀 곡선 <math>x^2+y^2=1</math>,<math display="block">f(x, y) = {1 - y \over x}.</math>로 두자. 그러면 ''<math>f</math>''는 ''<math>X</math>'' 위에서 정의된 유리 함수이다. ''<math>f</math>''는 유리식으로 표현 되었음에도 (0,1)에서 정규이다. 왜냐하면, ''<math>X</math>'' 위에서 정의된 유리 함수로서, ''<math>f</math>''는 <math display="block">f(x, y) = {x \over 1 +y }.</math>로 쓸 수 있기 때문이다.
* <math>U=\mathbb A^2-\{(0,0)\}</math>라 놓자. 그러면 ''<math>X</math>''는 다형체의 열린 부분집합이기 때문에 대수 다형체이다. ''<math>f</math>''가 ''<math>X</math>''에서 정규 함수이면, ''<math>f</math>''는 <math>D_{\mathbf{A}^2}(x) = \mathbf{A}^2 - \{ x = 0 \}</math>에서 정규 함수이고  <math>k[D_{\mathbf{A}^2}(x)] = k[\mathbf{A}^2][x^{-1}] = k[x, x^{-1}, y]</math>에서도 정규 함수이다. 마찬가지로, <math>k[x, y, y^{-1}]</math>에서도 정규 함수이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다:<math display="block">f = {g \over x^n} = {h \over y^m}</math>여기서 <math>g, h \in k[x,y] </math>. 하지만 이는 ''<math>g</math>''가 ''<math>x^n</math>''으로 나누어 떨어지고 따라서 ''<math>f</math>''는 사실 다항식임을 뜻한다. 즉, ''<math>X</math>'' 위의 정규 함수 환은 <math>k[x,y] </math>이다.(이는 또한 ''<math>X</math>''가 아핀일 수 없음을 뜻한다. 왜냐하면, 만약 ''<math>X</math>''가 아핀이라면, ''<math>X</math>''는 그것의 좌표 환으로 결정되고 따라서 ''<math>X=\mathbb A^2</math>''이어야 하기 때문이다.)
* <math>\mathbb{P}^1 = \mathbb{A}^1 \cup \{ \infty \}</math>를 점 (''x'' : 1)들을 <math>\mathbb{A}^1</math>의 점 ''x로'' 보고 <math>\infty=(1:0) </math>로 보자. <math>\sigma(x:y)=(y:x)</math>로 주어지는 <math>\mathbb{P}^1</math>의 자기동형사상 <math>\sigma</math>가 있다. 특히 <math>\sigma</math>는 0과 <math>\infty </math>를 바꾼다. ''<math>f</math>''가 <math>\mathbb{P}^1</math>에서 정의된 유리 함수인 경우,<math display="block"> \sigma^{\#}(f) = f(1/z)</math>이고, ''<math>f</math>''는 <math>\infty </math>에서 정규임과 ''<math>f(1/z)</math>''가 영에서 정규임이 동치이다.
* 기약 [[대수 곡선]] ''<math>V</math>''의 [[유리 함수층|함수체]] ''<math>k(V)</math>''를 취하면 함수 체의 함수 ''<math>F</math>''는 모두 ''<math>V</math>''에서 ''k''에 대한 사영 직선 으로의 사상으로 실현될 수 있다.  (참조. #속성 ) 이미지는 단일 지점이거나 전체 사영 직선이 된다(이것은 사영 다형체의 완전성의 결과이다). 즉, ''<math>F</math>''가 실제로 상수가 아닌 경우 ''<math>V</math>''의 일부 점에서 ''<math>F</math>''에 값 <math>\infty </math>를 부여해야 한다.
* 임의의 대수 다형체 ''<math>X</math>'', ''<math>Y</math>''에 대해 사영 <math display="block">p: X \times Y \to X, \, (x, y) \mapsto x</math>은 다형체의 사상이다. 만약  ''<math>X</math>'', ''<math>Y</math>''가 아핀이면, 대응하는 환 준동형사상은

<math display="block"> p^{\#}: k[X] \to k[X \times Y] = k[X] \otimes_k k[Y], \, f \mapsto f \otimes 1</math>이다. 여기서<math>(f \otimes 1)(x, y) = f(p(x, y)) = f(x)</math>

== 성질 ==
자리스키 위상을 고려 할 때 다형체 사이의 사상은 [[연속 함수|연속]]이다.

다형체 사상의 상은 열려 있거나 닫혀 있을 필요가 없다(예를 들어, <math>\mathbf{A}^2 \to \mathbf{A}^2, \, (x, y) \mapsto (x, xy)</math> 열려 지도 닫혀 있지도 않다). 그러나 여전히 다음과 같이 말할 수 있다. ''<math>f</math>''가 다형체 사이의 사상이면 ''<math>f</math>''의 상은 폐포의 열린 조밀 부분 집합을 포함한다. (cf. 구성 가능한 집합 . )

대수 다형체의 사상 <math>f: X \to Y</math>가 조밀한 상을 가지면 ''지배적''이라고 한다. 이러한 ''<math>f</math>''에 대해 ''<math>V</math>''가 ''<math>Y</math>''의 비어 있지 않은 열린 아핀 부분 집합이면 ''<math>f(U)\subset V</math>''가 되는 ''<math>X</math>''의 비어 있지 않은 열린 아핀 부분 집합 ''<math>U</math>''가 있고 다음 <math>f^{\#}: k[V] \to k[U]</math> 단사이다. 따라서 지배적 사상 ''<math>f</math>는'' 함수 체 수준에서 단사를 유도한다.

: <math>k(Y) = \varinjlim k[V] \hookrightarrow k(X), \, g \mapsto g \circ f</math>

여기서 제한은 ''<math>Y</math>''의 비어 있지 않은 모든 열린 아핀 부분 집합에 대해 실행된다. (보다 추상적으로, 이것은 ''<math>Y</math>''의 [[일반점]]의 [[잉여류체]]에서 ''<math>X</math>''의 점으로 유도된 사상이다.) 반대로, 체의 모든 포함 사상 <math>k(Y) \hookrightarrow k(X)</math>은  ''<math>X</math>''에서 ''<math>Y</math>''로의 우세한 [[유리 사상]]에 의해 유도된다.<ref>Vakil, [http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGdec3014public.pdf Foundations of algebraic geometry], Proposition 6.5.7.</ref> 따라서, 위의 구성은 체 ''<math>k</math>''에 대한 대수 다형체의 범주와 그들 사이의 지배적 유리적 사상과 ''<math>k</math>''의 유한하게 생성된 체 확대의 범주 사이의 반변 동치 관계를 결정한다. {{Sfn|Hartshorne|1997}}

''<math>X</math>''가 매끄러운 완비 곡선(예: '''P'''<sup>1</sup> )이고 ''<math>f</math>가'' ''<math>X</math>''에서 사영 공간 ''<math>\mathbb P^m</math>''로 가는 유리 사상인 경우 ''<math>f</math>''는 정규 사상 ''<math>X\rightarrow\mathbb P^m</math>''이다. {{Sfn|Hartshorne|1997}} 특히, ''<math>X</math>''가 매끄러운 완비 곡선일 때, ''<math>X</math>''에 대한 임의의 유리 함수는 사상 ''<math>X\rightarrow\mathbb P^1</math>''으로 볼 수 있고, 반대로 ''<math>X</math>''에 대한 유리 함수와 같은 사상으로 볼 수 있다.

[[정규 스킴|정규 다형체]] (특히 [[매끄러운 스킴|매끄러운 다형체]])에서 유리 함수는 공동 차원 1의 극점이 없는 경우에만 규칙적이다. {{Efn|Proof: it's enough to consider the case when the variety is affine and then use the fact that a Noetherian [[integrally closed domain]] is the intersection of all the localizations at height-one prime ideals.}} 이것은 [[하르톡스 확장정리|하르톡스의 확장 정리]]의 대수적 유사체이다. 이 사실에 대한 상대적 버전도 있다. [https://mathoverflow.net/q/87350] 참조하라.

기저 위상 공간 사이의 [[위상동형사상|위상 동형]] 사상인 대수 다형체 사이의 사상은 동형 사상일 필요가 없다([[프로베니우스 사상]] <math>t \mapsto t^p</math>가 반례) 반면에, ''<math>f</math>''가 전단사 쌍합이고 ''<math>f</math>''의 대상 공간이 [[정규 스킴|정규 다형체]]이면 ''<math>f</math>''는 쌍정형이다. (cf. 자리스키의 주요 정리.)

복소 대수 다형체 사이의 정규 사상은 [[정칙 함수|정칙 사상]]이다. (실제로 약간의 기술적 차이가 있다. 정규 사상은 특이점을 [[없앨 수 있는 특이점|제거할 수 있는]] 유리형 사상이지만 실제로는 구별이 일반적으로 무시된다.) 특히, 복소수에 대한 정규 사상은 일반적인 [[정칙 함수]]일 뿐이다.

== 사영 공간에 대한 사상 ==
사상

: <math>f: X \to \mathbf{P}^m</math>

이 [[사영 다형체]]에서 사영 공간으로의 사상이고, ''<math>x</math>''가 ''<math>X</math>''의 점이라고 하자. 그런 다음 ''<math>f(x)</math>''의 ''i'' 번째 동차 좌표는 0이 아니다. 단순화를 위해 ''i'' = 0이라고 말한다. 그러면 연속성에 의해 다음과 같은 ''<math>x</math>''의 열린 아핀 이웃 ''<math>U</math>''가 있다.

: <math>f: U \to \mathbf{P}^m - \{ y_0 = 0 \}</math>

는 사상이며, 여기서 ''<math>y_i</math>''는 동차 좌표이다. 대상 공간은 <math>(a_0 : \dots : a_m) = (1 : a_1 / a_0 : \dots : a_m / a_0) \sim (a_1 / a_0, \dots, a_m / a_0)</math>을 통해 아핀 공간 '''''<math>\mathbb A^m</math>'''''임을 참고하라. 따라서 정의에 따라 제한 ''<math>f|_U</math>''는

: <math>f|_U(x) = (g_1(x), \dots, g_m(x))</math>

로 주어진다. 여기서 ''<math>g_i</math>''는 ''<math>U</math>''의 정규 함수이다. ''<math>X</math>''는 사영이기 때문에 각 ''<math>g_i</math>''는 ''<math>X</math>''의 동차 좌표 환 ''<math>k[X]</math>''에서 같은 차수의 동차 원소의 비율이다. 우리는 모든 분수가 동일한 동차 분모 ''<math>f_0</math>''를 갖도록 분수를 배열할 수 있다. 그러면 ''<math>k[X]</math>''의 어떤 동차 원소 ''<math>f_i</math>''에 대해 ''<math>g_i=f_i/f_0</math>''을 쓸 수 있다. 따라서 동차 좌표로 돌아가서, ''<math>U</math>''의 모든 ''<math>x</math>''에 대해, ''<math>f_i</math>''가 ''<math>x</math>''에서 모두 영이 아니면 ''<math>X</math>''의 모든 ''<math>x</math>''에 대한 연속성에 의해

: <math>f(x) = (f_0(x) : f_1(x) : \dots : f_m(x))</math>

''<math>X</math>''의 점 ''<math>x</math>''에서 모두 영이면 위의 절차에 따라 ''<math>x</math>''에서 모두 영은 아닌 ''<math>f_i</math>''들의 집합을 선택할 수 있다.

사실, 위의 설명은 사영 다형체 <math>\overline{X}</math>의 열린 부분 다형체인 모든 준사영 다형체 ''<math>X</math>''에 유효하다. 차이점은 ''<math>f_i</math>''가<math>\overline{X}</math>의 동차 좌표 환에 있다는 것이다.

'''참고''' : 위에서는 사영 다형체에서 사영 공간으로의 사상이 단일 다항식 집합에 의해 제공된다고 말하지 않다(아핀인 경우와 달리). 예를 들어, ''<math>X</math>''를 ''<math>\mathbb P^2</math>''에서 원뿔곡선 <math>y^2 = xz</math>이라고 하자. 그러면 두 개의 사상 <math>(x : y : z) \mapsto (x : y)</math> 그리고 <math>(x : y : z) \mapsto (y : z)</math> 은  ''<math>X</math>''의 열린 부분 집합 <math>\{ (x : y : z) \in X \mid x \ne 0, z \ne 0 \}</math>에서 같다.   (왜냐하면 <math>(x : y) = (xy : y^2) = (xy: xz) = (y : z)</math> ) 그래서 사상 <math>f: X \to \mathbb{P}^1</math>를 정의한다.

== 사상의 올 ==
다음 정리들은 중요하다:<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Mumford|loc=Ch. I, § 8. Theorems 2, 3.}}</ref>

'''정리.''' <math>f: X \to Y</math>가 다형체들의 지배 사상이고 <math>r = \dim X- \dim Y</math>라 하자. 그러면

# 모든 닫힌 기약 부분 집합 <math>W\subset Y</math>과 <math>W</math> 지배적인 <math>f^{-1}(W)</math>의 모든 기약 성분 <math>Z</math>에 대해<math display="block">\dim Z \ge \dim W + r</math>
# <math>U\subset f(X)</math>, <math>U</math>와 교차하는 모든 닫힌 기약 부분 집합 <math>W\subset Y</math>, <math>f^{-1}(U)</math>와 교차하는 <math>f^{-1}(W)</math>의 모든 기약 성분 <math>Z</math>에 대해 <math display="block">\dim Z = \dim W + r</math>인 공집합이 아닌 <math>U\subset Y</math>가 존재한다.
'''따름 정리.''' <math>f: X \to Y</math>가 다형체들의 사상이고 ''<math>X</math>''의 각 점 ''<math>x</math>''에 대해,<math>e(x) = \max \{ \dim Z \mid Z \text{ an irreducible component of } f^{-1}(f(x)) \text{ containing } x \}.</math>라 하자. 그러면 ''e는'' 위쪽 준연속 함수이다. 각 정수 ''n''에 대해, 집합

: <math>X_n = \{ x \in X \mid e(x) \ge n \}</math>

는 닫힌 집합이다.

멈포드의 빨간 책에서 정리는 [[Noether의 정규화 보조정리|뇌터 정규화 보조정리]]를 통해 증명된다. 한편, 일반 자유도가 중요한 역할을 하고 " [[현수환|보편 현수환]]"의 개념이 증명의 핵심인 대수적 접근에 대해서는 Eisenbud, Ch. 14 of "Commutative algebra with a view toward algebraic geometry."참조하라. 사실, 거기에 있는 증명은 ''f''가 [[평탄 사상|평탄]]하면 정리 2의 차원 등식이 일반적으로 유지됨을 보여준다(generically만이 아님).

== 유한 사상의 차수 ==
<math>f: X \to Y</math>를 체 ''k''에 대한 대수 다형체 사이의 [[유한형 사상|유한]] 전사적 사상라고 한다. 그러면 정의에 따라 ''<math>f</math>''의 차수는 ''<math>f^*k(Y)</math>''에 대한 함수 체 ''<math>k(X)</math>''의 유한 체 확대의 차수이다. 일반 자유도에 의해, 구조 층 ''<math>\mathcal O_X</math>의'' ''<math>f^{-1}(U)</math>''로의 제한이 ''<math>\mathcal O_Y|_U</math>''-가군으로서 자유 가군이 되는 공집합이 아닌 열린 부분 집합 <math>U\subset Y</math>가 존재한다. ''<math>f</math>''의 차수는 이 자유 가군의 랭크이다.

''<math>f</math>''가 [[에탈 사상|에탈]]이고 ''<math>X,Y</math>''가 완비이면 ''<math>Y</math>''의 연접층 ''<math>F</math>''에 대해 오일러 특성을 ''<math>\chi</math>''라 쓰면,

: <math>\chi(f^* F) = \deg(f) \chi (F).</math>{{Sfn|Fulton|1998}}

(분지된 덮개에 대한 [[리만-후르비츠 공식|리만-후르비츠]] 공식은 여기서 "에탈"이 생략될 수 없음을 보여준다. )

일반적으로 ''<math>f</math>''가 유한한 전사이고 ''<math>X,Y</math>''가 완비이고 ''<math>F</math>''가 ''<math>Y</math>위의 연접층''인 경우 [[르레 스펙트럼 열]] <math>\operatorname{H}^p(Y, R^q f_* f^* F) \Rightarrow \operatorname{H}^{p+q}(X, f^* F)</math>에서, 다음을 얻는다.

: <math>\chi(f^* F) = \sum_{q=0}^{\infty} (-1)^{q} \chi(R^q f_* f^* F).</math>

특히, ''<math>F</math>''가 선다발들의 텐서 거듭제곱 <math>L^{\otimes n}</math>이면  <math>R^q f_*(f^* F) = R^q f_* \mathcal{O}_X \otimes L^{\otimes n}</math>이고, ''q''가 양수이면 <math>R^q f_* \mathcal{O}_X</math>의 지지가 양의 여차원을 가지므로, 선행 항을 비교하면

: <math>\operatorname{deg}(f^* L) = \operatorname{deg}(f) \operatorname{deg}(L)</math>

(<math>f_* \mathcal{O}_X</math>의 [[Generic rank|일반적 랭크]]는 ''<math>f</math>''의 차수이다. )

''<math>f</math>''가 에탈이고 ''k''가 대수적으로 닫힌 경우 각 기하 올 ''<math>f^{-1}(y)</math>''는 정확히 deg( ''f'' ) 점들로 구성된다.

== 같이 보기 ==
* [[대수함수|대수 함수]]
* [[매끄러운 사상]]
* [[에탈 사상]] - 국소적 미분동형사상의 대수 아날로그.
* 특이점의 해결
* 수축 사상

== 각주 ==
; 내용주
{{내용주}}

; 참조주
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
 {{참고 자료 시작}}
* {{서적 인용|url=https://www.springer.com/gp/book/9780387985497|title=Intersection Theory|last=Fulton|first=William|author-link=William Fulton (mathematician)|year=1998|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer Science]]|isbn=978-0-387-98549-7}}
*{{서적 인용|url=https://www.springer.com/gp/book/9780387977164|title=Algebraic Geometry, A First Course|last=Harris|first=Joe|author-link=Joe Harris (mathematician)|year=1992|publisher=[[Springer Verlag]]|isbn=978-1-4757-2189-8}}
*{{서적 인용|title=[[Hartshorne's Algebraic Geometry|Algebraic Geometry]]|author-link=Robin Hartshorne|year=1997|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|isbn=0-387-90244-9|author-last=Hartshorne|author-first=Robin}}
*Milne, [http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ag.html Algebraic geometry], old version v. 5.xx.
*{{서적 인용|title=The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians|url=https://archive.org/details/redbookofvarieti0002mumf|last=Mumford|first=David|author-link=David Mumford|year=1999|edition=2nd|publisher=[[Springer-Verlag]]|doi=10.1007/b62130|isbn=354063293X}}
* {{서적 인용|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-37956-7|title=Basic Algebraic Geometry 1|last=Shafarevich|first=Igor R.|author-link=Igor Shafarevich|year=2013|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer Science]]|isbn=978-0-387-97716-4}}
*{{서적 인용|url=https://www.springer.com/gp/book/9780387094939|title=The Arithmetic of Elliptic Curves|last=Silverman|first=Joseph H.|author-link=Joseph H. Silverman|year=2009|edition=2nd|publisher=[[Springer Verlag]]|isbn=978-0-387-09494-6}}
{{참고 자료 끝}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:함수의 종류]]
[[분류:대수 다형체]]