대수 구조 다양체 문서 원본 보기

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[[보편 대수학]]에서 '''대수 구조 다양체'''({{llang|en|variety of algebraic structures}})는 어떤 항등식들을 만족시키는 [[대수 구조]]들의 [[모임 (집합론)|모임]]이다.

== 정의 ==
주어진 형 <math>\tau</math>의 [[대수 구조]]들의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\mathcal V</math>에 대하여, 다음 두 성질이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal V</math>는 다음 세 연산에 대하여 닫혀 있다.
** [[준동형]]에 대한 [[상 (수학)|상]]. 즉, <math>A\in\mathcal V</math>이고 준동형 <math>\phi\colon A\to B</math>이 존재한다면, <math>\phi(A)\in\mathcal V</math>이다.
** 곱 대수. 즉, <math>\mathcal A\subseteq\mathcal V</math>가 [[부분 집합]]이라면, <math>\prod\mathcal A\in\mathcal V</math>이다. (만약 <math>\mathcal A=\varnothing</math>일 경우, <math>\prod\varnothing</math>은 하나의 원소를 가진 자명 대수 <math>1=\{\bullet\}</math>이다.)
** 부분 대수. 즉, <math>A\in\mathcal V</math>이고 <math>B\subset A</math>가 부분 대수라면, <math>B\in\mathcal V</math>이다.
* <math>\mathcal V</math>는 일련의 항등식 <math>I</math>들을 만족시키는 모든 대수 구조들의 모임이다. 여기서 항등식이란
::<math>\forall x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n\in A\colon f(x_1,x_2,\dots,x_m)=g(y_1,y_2,\dots,y_n)</math>
:꼴의 조건이며, <math>f</math>는 <math>\tau</math>에 속한 연산들 및 변수 <math>x_1,\dots,x_m</math>만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이며, <math>g</math>는 <math>\tau</math>에 속한 연산들 및 변수 <math>y_1,\dots,y_n</math>만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이다.
'''대수 구조 다양체'''({{llang|en|variety of algebraic structures}})는 위 조건을 만족시키는, 대수 구조의 집합이다. 위 두 조건이 서로 [[동치]]라는 사실은 '''버코프 준동형사상-곱-부분대수 정리'''({{llang|en|Birkhoff’s HPS theorem}})라고 하며, [[개릿 버코프]]가 증명하였다.

대수 구조 다양체를 형 <math>\tau</math>와 항등식 집합 <math>\mathcal I</math>의 순서쌍으로 적자. 두 대수 구조 다양체 <math>(\tau,\mathcal I)</math>, <math>(\tau',\mathcal I')</math> 사이의 '''준동형''' <math>\phi\colon(\tau,\mathcal I)\to(\tau',\mathcal I')</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 각 <math>n</math>항 연산 <math>t\in\tau</math>에 대하여, <math>\tau'</math>의 연산들의 합성으로 정의할 수 있는 연산 <math>\phi(t)</math>
이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.
* 모든 항등식 <math>I\in\mathcal I</math>에 대하여, <math>I</math>에 등장하는 각 연산 <math>t</math>를 <math>\phi(t)</math>로 대응시킨 항등식은 <math>\mathcal I'</math>으로부터 [[함의]]된다.
이에 따라, 대수 구조 다양체들의 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[범주 (수학)|범주]]를 이룬다.

== 성질 ==
같은 연산들을 갖는 두 다양체의 [[교집합|교모임]] 역시 다양체를 이룬다.

대수 구조 다양체는 [[준동형]]을 [[사상 (수학)|사상]]으로 하는 [[구체적 범주]]를 이룬다. [[범주론]]적으로, 모든 대수 구조 다양체는 [[로비어 이론]]({{llang|en|Lawvere theory}}) <math>L</math>로부터 집합의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>로 가는, [[곱 (범주론)|곱]]을 보존하는 [[함자 (수학)|함자]]들의 범주 <math>\operatorname{Prod}(L,\operatorname{Set})</math>와 [[범주의 동치|동치]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=The Category Theoretic Understanding of Universal Algebra: Lawvere Theories and Monads|이름=Martin|성=Hyland|공저자=John Power|저널=Electronic Notes in Theoretical Computer Science|권=172|날짜=2007-04-01|쪽=437–458|url=https://www.dpmms.cam.ac.uk/~martin/Research/Publications/2007/hp07.pdf|언어=en|access-date=2014-10-20|archive-date=2015-03-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20150326175332/https://www.dpmms.cam.ac.uk/~martin/Research/Publications/2007/hp07.pdf|url-status=}}</ref>

모든 대수 구조 다양체는 다음 성질을 만족시킨다.
* 항상 자유 대수가 존재한다. 즉, 대수 구조 다양체 <math>\mathcal V</math>의 망각 함자 <math>G\colon\mathcal V\to\operatorname{Set}</math>의 [[왼쪽 수반 함자]] <math>F\colon\operatorname{Set}\to\mathcal V</math>, <math>F\dashv G</math>가 존재한다.
* [[완비 범주]]이며 [[쌍대 완비 범주]]이다. 즉, 모든 작은 [[극한 (범주론)|극한]]과 [[쌍대극한]]이 존재한다. 이 경우 쌍대극한을 '''[[귀납적 극한]]''', 극한을 '''[[사영 극한]]'''이라고 한다.
** [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]이 항상 존재하며, '''[[직접곱]]'''이라고 한다. 또한, 망각 함자 아래 이는 [[곱집합]] 위에 정의된 대수이다.
** [[쌍대곱]] 역시 항상 존재하며, '''[[자유곱]]'''이라고 한다. 이는 일반적으로 [[집합]]의 [[쌍대곱]]([[분리 합집합]])과 호환되지 않는다.
** [[끝 대상]]은 하나의 원소만을 갖는 대수이다.
** [[시작 대상]]은 [[공집합]]으로부터 생성되는 자유 대수이다.

== 예 ==
=== 집합의 다양체 ===
집합의 모임 <math>\operatorname{Set}</math>은 아무런 연산 및 항등식을 갖지 않는 다양체이다. 점 갖춘 집합의 모임 <math>\operatorname{Set}_\bullet</math>은 다음과 같은 다양체이다.
* 연산: 영항연산 <math>\bullet</math>
* 항등식: 없음
크기가 1 이하인 집합들의 다양체는 다음과 같다.
* 연산: 없음
* 항등식: <math>x=y</math>
크기가 1인 집합들의 다양체는 다음과 같다.
* 연산: 영항연산 <math>\bullet</math>
* 항등식: <math>x=y</math>

[[유한 집합]]들의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 이는 유한성은 항등식으로 나타낼 수 없으며, 또한 무한 개의 유한 집합의 [[곱집합]]은 유한 집합이 아니기 때문이다.

군 <math>G</math>가 주어졌을 때, <math>G</math>의 [[군의 작용|작용]]을 갖춘 집합들의 모임 <math>G\text{-Set}</math>는 다음과 같은 다양체이다.
* 연산: 각 <math>g\in G</math>에 대하여, 일항연산 <math>g\cdot</math>
* 항등식:
** 모든 <math>g,h\in G</math>에 대하여, <math>g\cdot(h\cdot x)=(gh)\cdot x</math>
** <math>1\cdot x=x</math>

=== 군의 다양체 ===
군의 모임 <math>\operatorname{Grp}</math>은 다음과 같은 다양체이다.
* 연산: 이항연산 <math>\cdot</math>, 일항연산 <math>{}^{-1}</math>, 영항연산 <math>1</math>
* 항등식: <math>(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)</math>, <math>xx^{-1}=1</math>, <math>x^{-1}x=1</math>, <math>1\cdot x=x</math>, <math>x\cdot 1=x</math>
[[아벨 군]]의 모임 <math>\operatorname{Ab}</math>은 군의 다양체의 부분다양체이며, 다음과 같은 항등식이 추가된다.
* 항등식: <math>x\cdot y=y\cdot x</math>
이 밖에도, <math>\operatorname{Grp}</math>의 부분다양체들은 다음을 들 수 있다.
* <math>n</math>-[[번사이드 문제|번사이드 군]]: 모든 원소의 차수가 <math>n</math>의 약수인 군.
* 유도 길이가 <math>k</math> 이하인 [[가해군]] <math>\operatorname{SolvGrp}_k</math>. 예를 들어, <math>\operatorname{SolvGrp}_1=\operatorname{Ab}</math>이며, <math>\operatorname{SolvGrp}_2</math>를 정의하는 항등식은 <math>1=xyx^{-1}y^{-1}zwz^{-1}w^{-1}yxy^{-1}x^{-1}wzw^{-1}z^{-1}</math>이다.
* 중심 길이가 <math>k</math> 이하인 [[멱영군]] <math>\operatorname{NilpGrp}_k</math> (<math>\overbrace{[\cdots[G,G],G],G],\cdots]}^k=1</math>인 군 <math>G</math>)

=== 환의 다양체 ===
[[유사환]]의 모임 <math>\operatorname{Rng}</math>은 다음과 같은 다양체이다.
* 연산: 이항연산 <math>\cdot</math> 및 <math>+</math>, 일항연산 <math>-</math>, 영항연산 <math>0</math>
* 항등식: ([[유사환]]의 정의)
가환 유사환의 모임 <math>\operatorname{CRng}</math>은 <math>\operatorname{Rng}</math>의 부분다양체이다.

[[환 (수학)|환]]의 모임 <math>\operatorname{Ring}</math>은 다음과 같은 다양체이다.
* 연산: <math>\operatorname{Rng}</math>의 연산 및 영항연산 <math>1</math>
* 항등식: <math>\operatorname{Rng}</math>의 항등식 및 <math>1\cdot x=x\cdot1</math>
[[가환환]]의 모임 <math>\operatorname{CRing}</math>은 <math>\operatorname{CRing}</math>의 부분다양체이다.

이 밖에도, 임의의 음이 아닌 정수 <math>n</math>에 대하여, [[환의 표수|표수]]가 <math>n</math>의 약수인 환들의 모임은 다양체를 이룬다.

[[체 (수학)|체]]의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 체의 곱셈 역원 <math>^{-1}</math>은 0에 대하여 정의되지 않으며, 이 연산을 무시하고 체를 단순히 <math>\operatorname{Ring}</math>의 부분 모임으로 본다면, 체의 모임은 곱 대수 및 부분 대수에 대하여 닫혀 있지 않다. 다만, <math>0^{-1}</math>으로 정의한다면, 체의 모임은 가환 폰 노이만 정규환({{llang|en|commutative von Neumann-regular ring}})의 다양체의 부분 모임이며, 이는 체들을 포함하는 가장 작은 다양체이다.<ref>{{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/91889/what-is-the-smallest-variety-of-algebras-containing-all-fields|제목=What is the smallest variety of algebras containing all fields|웹사이트=MathOverflow|언어=en}}</ref> 가환 폰 노이만 정규환의 모임은 다음과 같은 다양체이다.
* 연산: <math>\operatorname{CRing}</math>의 연산 및 일항연산 <math>^{-1}</math>
* 항등식: <math>\operatorname{CRing}</math>의 항등식 및 <math>xx^{-1}x=x</math>, <math>x^{-1}xx^{-1}=x^{-1}</math>
이 경우, 항등식들에 따라 항상 <math>0^{-1}=0</math>이 된다.

=== 격자의 다양체 ===
[[격자 (순서론)|격자]]의 모임은 다음과 같은 다양체이다.
* 연산: 이항연산 <math>\vee</math> 및 <math>\wedge</math>
* 항등식:
** ([[교환 법칙]]) <math>a\vee b=b\vee a</math>, <math>a\wedge b=b\wedge a</math>
** ([[결합 법칙]]) <math>(a\vee b)\vee c=a\vee(b\vee c)</math>, <math>(a\wedge b)\wedge c=a\wedge(b\wedge c)</math>
** ([[흡수 법칙]]) <math>a\vee(a\wedge b)=a\wedge(a\vee b)=a</math>
[[모듈러 격자]]의 모임은 격자의 다양체의 부분다양체를 이루며, [[분배 격자]]의 모임은 모듈러 격자의 다양체의 부분다양체를 이룬다.

[[유계 격자]]의 모임은 다음과 같은 다양체이다.
* 연산: 격자의 연산 및 영항연산 <math>\bot</math> 및 <math>\top</math>
* 항등식: 격자의 항등식 및 <math>a\vee\bot=a</math>, <math>a\wedge\top=a</math>
[[헤이팅 대수]]의 모임과 [[불 대수]]의 모임 역시 다양체를 이룬다.

[[완비 격자]]의 모임은 다양체를 이루지 않는데, 이는 완비 격자를 공리화하려면 무한항 연산(무한 개의 원소들의 만남·이음)이 필요하기 때문이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성=Burris|이름=Stanley N.|공저자=Hanamantagouda P. Sankappanavar|날짜=1981|url=http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html|제목=A course in universal algebra|출판사=Springer|zbl=0478.08001|mr=0648287 |isbn=978-1-4613-8132-7|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=78|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Variety of universal algebras}}
* {{eom|title=Algebraic systems, variety of}}
* {{eom|title=Algebraic systems, class of}}
* {{eom|title=Variety of groups}}
* {{eom|title=Variety of semi-groups}}
* {{eom|title=Variety of rings}}
* {{eom|title=PI-algebra}}

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]