대수학의 기본 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''대수학의 기본 정리'''(代數學의 基本 定理, {{llang|en|fundamental theorem of algebra}})는 [[상수]]가 아닌 [[복소수]] [[계수]] [[다항식]]이 적어도 하나의 [[근 (수학)|근]]을 갖는다는 [[정리]]다. 이 정리에 따라, 모든 상수가 아닌 복소수 계수 다항식은 유한 개의 복소수 계수 1차 다항식의 곱으로 나타낼 수 있다. 또한, [[복소수체]]는 [[실수체]]와 달리 [[대수적으로 닫힌 체]]를 이룬다. 이 결과들은 대수학의 기본 정리의 서로 다른 형태들이다.

상수가 아닌 [[실수]] 계수 [[다항식]]을 복소수체 위에서 [[인수 분해]]하였을 때, 인자가 되는 1차 다항식들은 실수 계수가 아닐 수 있다. 그러나 실수 계수 다항식의 근은 [[켤레 복소수|켤레 불변]]이기 때문에, 허수근에 대응하는 1차 다항식들을 둘씩 조합하여 [[판별식]]이 0보다 작은 실수 계수 2차 다항식들로 만들 수 있다. 이에 따른 실수 계수 다항식의 완전한 인수 분해 또한 대수학의 기본 정리와 [[동치]]다.

이름과는 달리 현재까지 순수하게 [[대수학|대수적]]인 증명은 발견하지 못했으며, [[실수의 완비성]] 또는 [[위상수학]]을 도입해야 증명할 수 있다. 또한 대수학의 기본 정리는 [[추상대수학]]의 기초가 되는 정리는 아니다.

== 정의 ==
[[다항식]] <math>p(x)</math>의 '''[[근 (수학)|근]]'''은 <math>p(a)=0</math>인 <math>a</math>를 뜻한다. '''대수학의 기본 정리'''에 따르면, 양의 차수의 [[복소수]] 계수 [[다항식]]
:<math>p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0\in\mathbb C[x]\qquad(a_n \neq 0,\;n\ge 1)</math>
은 근 <math>a\in\mathbb C</math>을 갖는다.

== 역사 ==
수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라고 예상하였다. [[장 르 롱 달랑베르]]와 [[레온하르트 오일러]] 등이 증명하였으나 보충적인 정리의 증명을 필요로했으며 이러한 맥락에서 모두 불완전하였고, 보다 엄밀한 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 [[카를 프리드리히 가우스]], [[장-로버트 아르간드]] 등이였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 한편 가우스는 추후 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 또한 장-로버트 아르간드의 증명은 [[오귀스탱 루이 코시]]가 그의 저술 ''Cours d'Analyse''(Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique)에서 이를 언급한 바 있다.

== 증명 ==
=== 복소해석학적 증명 ===
==== 리우빌 정리를 이용한 증명 ====
복소 다항식

:<math>p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0\ (a_n \neq 0, n\ge 1)</math>

가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 <math> z</math>에 대해 <math> p(z)\neq 0</math> 라고 가정하자. 그러면 <math> \frac{1}{p(z)}</math>는 [[전해석 함수]]이다. 이제 [[삼각 부등식]]을 이용하여

:<math>|p(z)|=\left|z^{n}(a_n+\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n})\right| \ge |z|^{n}\left||a_n|-\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right|\right| \cdots\cdots(a)</math>

를 얻고, <math>C = |a_{n-1}|+\cdots+|a_0|</math>라 하면, 양수 <math>M >1 </math>에 대해 <math>|z|\ge M</math>이면

:<math>\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right| \le \frac{|a_{n-1}|}{|z|}+\cdots+\frac{|a_0|}{|z|^n} \le \frac{|a_{n-1}|+\cdots+{|a_0|}}{|z|}\le \frac C M</math>

이다. 여기서 <math>M</math>을 충분히 큰 값으로 선택하여 <math> \frac{C}{M} < \frac{|a_n|}{2}</math>가 되도록 하면 부등식

:<math>|a_n|-\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right|>\frac{|a_n|}2</math>

이 성립하므로 식 (a)로부터

:<math>\left|\frac{1}{p(z)}\right| \le \frac{2}{|a_n|M^{n}}</math>

을 얻는다. 즉, <math>\frac{1}{p(z)}</math>는 [[유계]]인 전해석 함수이다. 따라서 [[리우빌 정리 (복소해석학)|리우빌 정리]]에 의해 <math>\frac 1 {p(z)}</math>는 [[상수 함수]]이고, <math>p(z)</math>도 상수 함수이다. 즉 <math>p(z)</math>가 상수 함수가 아니라면 영점을 갖는다.

==== 편각 원리를 이용한 증명 ====
<math>p(z)</math>은 ''n''차 다항식이므로 최대 ''n''개의 [[근 (수학)|근]]을 갖는다. 따라서 <math>p(z)</math>의 근들이 [[복소평면]]에서 [[반지름]]이 ''R''인 [[원판]] 안에 들어오도록 하는 어떤 [[양수 (수학)|양]]의 [[실수]] ''R''을 잡을 수 있다. 이제 ''r''>''R''인 실수 ''r''에 대해 [[편각 원리]]를 적용하면,
:<math>\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{p'(z)}{p(z)}\,dz=N</math>
이 성립한다. 여기서 ''c(r)''은 반지름이 ''r''인 [[원 (기하학)|원]]의 반시계 방향 경로를 의미하고, ''N''은 <math>p(z)</math>의 근의 개수를 의미한다. 한편
:<math>\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{n}{z}\,dz=\frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi} \frac{n}{re^{i\theta}}ire^{i\theta}\,d\theta=n</math>
이므로
:<math>\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\left(\frac{p'(z)}{p(z)}-\frac{n}{z}\right)dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{zp'(z)-np(z)}{zp(z)}\,dz=N-n</math>
이 성립한다. 여기서 두 번째 식의 적분을 보면 분자는 ''n-1''차 다항식이고 분모는 ''n+1''차 다항식이다. 따라서 ''r''이 충분히 커질수록 적분 값은 0에 수렴한다. 즉 ''N-n''이 0에 수렴하므로 ''N=n''이다.

==== 루셰 정리를 이용한 증명 ====
{{본문|루셰 정리#따름 정리}}
복소 다항식
:<math>p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0\ (a_n \neq 0, n\ge 1)</math>
에 대해, <math>z\neq0</math>이면
:<math>\frac{p(z)}{a_nz^n} = 1+\frac{1}{a_n}\left(\frac{a_{n-1}}{z}+\cdots+\frac{a_0}{z}\right)</math>
이다. 그러면 <math>r>\max\{\frac{|a_{n-1}|+\cdots+|a_0|}{|a_n|},1\}</math>인 ''r''에 대해 <math>|z|=r</math>일 때
:<math>\left|\frac{p(z)}{a_nz^n}-1\right|\le\left[\frac{|a_{n-1}|}{r}+\cdots+\frac{|a_0|}{r^n}\right]\frac{1}{|a_n|}\le\frac{|a_{n-1}|+\cdots+|a_0|}{|a_n|r}<1</math>
이므로 <math>|p(z)-a_nz^n|<|a_nz^n|</math>이다.
<math>a_nz^n</math>은 <math>|z|=r</math> 내부에서 ''n''개의 근을 가지므로 [[루셰 정리]]에 의해 <math>p(z)=(p(z)-a_nz^n)+a_nz^n</math>도 ''n''개의 근을 가진다.

=== 위상수학적 증명 ===
복소수 계수 <math>n</math>차 [[일계수 다항식]]
:<math>p(x)=a_0+a_1x+\cdots+x^n\in\mathbb C[x]</math>
이 근을 갖지 않는다고 가정하자. 임의의 <math>t\in[0,\infty)</math>에 대하여, [[원 (기하학)|원]] 위에 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>f_t\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1</math>
:<math>f_t\colon z\mapsto p(tz)/|p(tz)|</math>
(이 함수는 항상 <math>|p(tz)|\ne0</math>이므로 잘 정의된다.) 그렇다면, <math>f_0</math>은 함수
:<math>f_\infty\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1</math>
:<math>f_\infty\colon z\mapsto z^n</math>
와 호모토픽하다. <math>f_0</math>은 [[상수 함수]]이므로 <math>f_\infty</math>는 [[널호모토픽]]하다. 그러나 <math>f_\infty</math>로부터 유도되는 [[기본군]] 사이의 [[군 준동형]] <math>\pi_1(\mathbb S^1)\to\pi_1(\mathbb S^1)</math>은 자명하지 않다. 이는 <math>\pi_1(\mathbb S^1)\cong\mathbb Z</math>이기 때문인데, 이는 [[피복 공간]] 이론을 사용하여 보일 수 있으며 초등적인 증명도 존재한다. 따라서 <math>f_\infty</math>는 [[널호모토픽]]하지 않으며, 이는 모순이다.

=== 대수적 증명 ===
대수적 증명은 실수의 다음과 같은 성질들을 사용한다. 따라서, 이 증명은 임의의 [[실폐체]]에 대하여 유효하다. 또한, 셋째 성질은 해석적 성질이므로, 이 대수적 증명은 “순수하게 대수적”이지 않다.
* [[순서체]]를 이룬다.
* 모든 음이 아닌 실수는 실수인 제곱근을 갖는다.
* 모든 실수 계수 홀수차 다항식은 실수인 근을 갖는다.
이에 따라, 모든 복소수도 제곱근을 갖는다. 복소수 <math>a+bi\in\mathbb C</math>의 제곱근 <math>c+di</math>은 다음과 같이, 음이 아닌 실수의 제곱근을 사용하여 나타낼 수 있다.
:<math>c=\pm\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}2}</math>
:<math>d=\pm\sgn b\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}2}</math>
대수학의 기본 정리는 <math>\mathbb C</math>의 [[대수적 확대]]가 스스로밖에 없다는 명제와 [[동치]]이다. 임의의 [[대수적 확대]]는 어떤 [[유한 확대]]들의 합집합이다. [[환의 표수|표수]] 0의 경우, 임의의 유한 확대는 어떤 유한 [[갈루아 확대]]의 부분 확대이다. 따라서, 임의의 유한 갈루아 확대 <math>K/\mathbb R</math>에 대하여, 만약 <math>\mathbb C/\mathbb R</math>가 <math>K/\mathbb R</math>의 부분 확대라면, <math>K=\mathbb C</math>임을 보이면 충분하다.

[[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(K/\mathbb R)</math>의 2-[[쉴로브 부분군]] <math>\operatorname{Gal}(K/F)\le\operatorname{Gal}(K/\mathbb R)</math>을 고르자. 그렇다면, <math>F</math>는 <math>\mathbb R</math>와 <math>K</math> 사이의 체이며, 그 차수
:<math>[F:\mathbb R]=\frac{[K:\mathbb R]}{[K:F]}=\frac{|\operatorname{Gal}(K/\mathbb R)|}{|\operatorname{Gal}(K/F)|}</math>
는 홀수다. 그런데 실수 계수 홀수차 다항식은 항상 실수인 근을 가지므로, <math>\mathbb R</math>의 홀수 차수 확대는 스스로밖에 없다. 즉, <math>F=\mathbb R</math>이며, <math>\operatorname{Gal}(K/\mathbb R)</math>는 [[p-군|2-군]]이다.

이제, <math>\operatorname{Gal}(K/\mathbb C)</math>가 자명군임을 보이면 충분하다. [[귀류법]]을 사용하여, 자명군이 아니라고 가정하자. <math>\operatorname{Gal}(K/\mathbb C)</math>는 <math>\operatorname{Gal}(K/\mathbb R)</math>의 [[부분군]]이므로, 2-군이다. 따라서, 지표 2의 부분군 <math>\operatorname{Gal}(K/E)\le\operatorname{Gal}(K/\mathbb C)</math>가 존재한다. 그렇다면, <math>\mathbb C\subseteq E\subseteq K</math>이며, <math>E/\mathbb C</math>의 차수는
:<math>[E:\mathbb C]=\frac{[K:\mathbb C]}{[K:E]}=\frac{|\operatorname{Gal}(K/\mathbb C)|}{|\operatorname{Gal}(K/E)|}=2</math>
이다. 그러나 <math>\mathbb C</math>는 제곱근에 대하여 닫혀 있으므로, 2차 확대를 갖지 않으며, 이는 모순이다. 따라서, <math>\operatorname{Gal}(K/\mathbb C)</math>는 자명군이며, <math>K=\mathbb C</math>이다.

== 따름정리 ==
대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 [[따름정리]]를 얻을 수 있다.

''모든 <math>n</math>차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 <math>n</math>개의 근을 갖는다.''

이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다. 따름정리는 다음과 같이 기술할 수 있다. 복소 다항식
:<math>p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0\ (a_n \neq 0, n\ge 1)</math>

에 대해 복소수 <math>z_1, \cdots, z_n</math>이 존재하여(서로 다를 필요는 없다.)

:<math>p(z) = a_n(z-z_1)(z-z_2)\dotsb(z-z_n)</math>

와 같이 쓸 수 있다.

{{증명}}
1차 다항식이 하나의 근만을 가짐은 자명하다. 이제 [[수학적 귀납법]]을 쓰기 위해 ''n''차 이하의 다항식이 ''n''개의 근을 가진다고 가정하고, ''n+1''차 다항식 <math>p(z)</math>가 주어졌다 하자. 대수학의 기본 정리에 의해 <math>p(z_1)= 0</math>인 복소수 <math>z_1</math>이 존재하므로
:<math>p(z)=(z-z_1)p_1(z)</math>
인 ''n''차 다항식 <math>p_1(z)</math>이 존재한다. 귀납적 가정에 의해 <math>p_1(z)</math>는 ''n''개의 근을 가지므로 <math>p(z)</math>는 ''n+1''개의 근을 가진다. <math>\blacksquare</math>
{{증명 끝}}

== 실계수 다항식의 표현 ==
'''실계수 <math>n</math>차 다항식'''의 경우, 위의 따름정리를 적용하면 이 역시 복소수체 위에서 중근을 고려할 경우 <math>n\,</math>개의 근을 갖는다. 이 표현 형식은 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우 유일하므로, 만약 허수부가 0이 아닌 근을 갖는다면 실수체 위에서는 그 근을 표현할 수 없다. 즉 실수체 위에서는 반드시 <math>n\,</math>개의 근을 갖지 않을 수도 있다.

실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 <math>2</math>이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 <math>a + bi\,</math>가 실계수 다항식의 근이면 이의 [[복소켤레]] <math>a - bi\,</math>도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 두 개의 복소계수 일차식의 곱은
:<math>(x - (a + bi))(x - (a - bi)) = ((x - a) - bi)((x - a) + bi) = ((x - a)^2 + b^2)\,</math>
와 같이 (<math>a, b</math>는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다.

=== 실계수 다항식의 근의 켤레성 ===
만일<math>z_0\,</math>가 실계수 다항식
:<math> p(z)=a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1 z +a_0,\,\,\,a_j \in \mathbb{R},\,\,n\ge 1,\,\,a_n\neq 0</math>
의 복소수 근이면 즉, <math> p(z_0)=0\,</math>이면 <math> p(\overline{z_0})=0\,</math>이다.

==== 복소켤레 ====
[[복소켤레|복소켤레 연산의 성질]]에 의해
:<math> p(\overline{z_0})=a_n \overline{z_0}^n + a_{n-1}\overline{z_0}^{n-1}+\cdots+a_1 \overline{z_0} +a_0 </math>

::<math> =\overline{a_n z_0^n} +\overline{ a_{n-1}z_0^{n-1}}+\cdots+\overline{a_1 z_0} +\overline{a_0} </math>

::<math> =\overline{a_n z_0^n + a_{n-1}z_0^{n-1}+\cdots+a_1 z_0 +a_0} </math>

::<math> = \overline{p(z_0)} =0 </math>

이다.

==== 응용 ====
대수학의 기본정리에 의해 <math>n\,</math> 차의 실계수 다항식은 반드시 복소수의 범위에서 <math>n\,</math>개의 근을 가져야 한다. 그런데 실계수 다항식의 근의 켤레성에 의해 (실수가 아닌)복소수 근을 갖지 않거나, 갖는다면 짝수개이어야 하므로 차수가 홀수인 다항식은 적어도 하나의 실근을 가져야함을 알 수 있다.

== 참고 문헌 ==
=== 역사적 문헌 ===
*{{인용|last = Cauchy|first = Augustin-Louis|publication-date = 1992|year = 1821|title = Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1<sup>ère</sup> partie: Analyse Algébrique|url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29058v|place = Paris|publisher = Éditions Jacques Gabay|isbn = 978-2-87647-053-8}}
* {{인용|last = Euler|first = Leonhard|year = 1751|title = Recherches sur les racines imaginaires des équations|periodical = Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin|location = Berlin|volume = 5|pages = 222–288|url = http://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=02-hist/1749&seite:int=228|access-date = 2024-06-15|archive-date = 2008-12-24|archive-url = https://web.archive.org/web/20081224062952/http://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=02-hist%2F1749&seite%3Aint=228|url-status = dead}}
* {{인용|last = Euler|first = Leonhard||year = 1751|title = Investigations on the Imaginary Roots of Equations|periodical = Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin|location = Berlin|volume = 5|pages = 222–288|url = http://eulerarchive.maa.org/docs/translations/E170en.pdf}}
* {{인용|last = Gauss|first = Carl Friedrich|year = 1799|title = Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse|place = Helmstedt|publisher = C.&nbsp;G.&nbsp;Fleckeisen}}
* {{인용|last=Gauss|first=Carl Friedrich|year=1866|title=Carl Friedrich Gauss Werke|publisher=Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen|volume=Band III|url={{Google books|WFxYAAAAYAAJ|Werke: Analysis|plainurl=yes}}}}
*#{{Google books|WFxYAAAAYAAJ|Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1799), pp. 1–31.|page=1}} – 첫 번째 증명
*#{{Google books|WFxYAAAAYAAJ|Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1815 Dec), pp. 32–56.|page=32}} – 두 번째 증명
*#{{Google books|WFxYAAAAYAAJ|Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia Supplementum commentationis praecedentis (1816 Jan), pp. 57–64.|page=57}} – 세 번째 증명
*#{{Google books|WFxYAAAAYAAJ|Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (1849 Juli), pp. 71–103.|page=71}} – 네 번째 증명
* {{인용|last = Kneser|first = Hellmuth|year = 1940|title = Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus|url = http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN266833020_0046|periodical = Mathematische Zeitschrift|volume = 46|pages = 287–302|issn = 0025-5874|doi = 10.1007/BF01181442|s2cid = 120861330}} (The Fundamental Theorem of Algebra and Intuitionism).
* {{인용|last = Kneser|first = Martin|year = 1981|title = Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra|url = http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN266833020_0177|periodical = Mathematische Zeitschrift|volume = 177|pages = 285–287|issn = 0025-5874|doi = 10.1007/BF01214206|issue = 2|s2cid = 122310417}}
* {{인용|last = Ostrowski|first = Alexander |year = 1920 | chapter = Über den ersten und vierten Gaußschen Beweis des Fundamental-Satzes der Algebra | title = Carl Friedrich Gauss ''Werke'' Band X Abt. 2 | chapter-url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN236019856&DMDID=dmdlog53}}
* {{인용|last=Weierstraß|first= Karl|contribution=Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen|title=Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin|pages = 1085–1101|year=1891}} (tr. New proof of the theorem that every integral rational function of one variable can be represented as a product of linear functions of the same variable).

=== 최근 문헌 ===
* {{인용|last1 = Almira|first1 = José María|last2 = Romero|first2 = Alfonso |year = 2007|title = Yet another application of the Gauss-Bonnet Theorem for the sphere|periodical = Bulletin of the Belgian Mathematical Society|volume = 14|pages = 341–342| url = http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?handle=euclid.bbms/1179839226&view=body&content-type=pdf_1|mr=2341569}}
* {{인용|last1 = Almira|first1 = José María|last2 = Romero|first2 = Alfonso|year = 2012|title = Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra|periodical = Differential Geometry – Dynamical Systems|volume = 14|pages = 1–4|url = http://www.mathem.pub.ro/dgds/v14/D14-al.pdf|mr = 2914638|access-date = 2024-06-14|archive-date = 2021-03-02|archive-url = https://web.archive.org/web/20210302014931/http://www.mathem.pub.ro/dgds/v14/D14-al.pdf|url-status = }}
* {{인용|last = de Oliveira|first = Oswaldo Rio Branco|year = 2011|title = The Fundamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof|periodical = The Mathematical Intelligencer|volume = 33|issue = 2|pages = 1–2|doi=10.1007/s00283-011-9199-2|s2cid = 5243991|mr=2813254}}
* {{인용|last = de Oliveira|first = Oswaldo Rio Branco|year = 2012|title = The Fundamental Theorem of Algebra: from the four basic operations|periodical = The American Mathematical Monthly|volume = 119|issue = 9|pages = 753–758|doi=10.4169/amer.math.monthly.119.09.753|arxiv = 1110.0165|s2cid = 218548926|mr=2990933}}
* {{인용|last1 = Fine|first1 = Benjamin|last2 = Rosenberger|first2 = Gerhard|title = The Fundamental Theorem of Algebra|publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|place = Berlin|year = 1997|isbn = 978-0-387-94657-3|series = Undergraduate Texts in Mathematics|mr = 1454356}}
* {{인용|last1 = Gersten|first1 = Stephen M.|last2 = Stallings|first2 = John R.|year = 1988|title = On Gauss's First Proof of the Fundamental Theorem of Algebra|jstor = 2047574|periodical = Proceedings of the American Mathematical Society|volume = 103|issue = 1|pages = 331–332|issn = 0002-9939|doi=10.1090/S0002-9939-1988-0938691-3 | doi-access=free|mr=0938691}}
* {{인용|last = Gilain|first = Christian|year = 1991|title = Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral|periodical = Archive for History of Exact Sciences|volume = 42|issue = 2|pages = 91–136|issn = 0003-9519|doi = 10.1007/BF00496870|s2cid = 121468210}}
* {{인용|last1 = Netto|first1 = Eugen|last2 = Le Vavasseur|first2 = Raymond|year = 1916|chapter = Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental|editor-last = Meyer|editor-first = François|editor2-last = Molk|editor2-first = Jules|title = Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome&nbsp;I, vol.&nbsp;2|publication-date = 1992|publisher = Éditions Jacques Gabay|isbn = 978-2-87647-101-6}}
* {{인용|last = Remmert|first = Reinhold|year = 1991|chapter = The Fundamental Theorem of Algebra|editor-last = Ebbinghaus|editor-first = Heinz-Dieter|editor2-last = Hermes|editor2-first = Hans|editor3-last = Hirzebruch|editor3-first = Friedrich|title = Numbers|series = Graduate Texts in Mathematics 123|place = Berlin|publisher = Springer Science+Business Media|isbn = 978-0-387-97497-2|url-access = registration|url = https://archive.org/details/numbers0000unse_d4i8}}
* {{인용|last = Shipman|first = Joseph|year = 2007|title = Improving the Fundamental Theorem of Algebra|periodical = Mathematical Intelligencer|volume = 29|issue = 4|pages = 9–14|doi=10.1007/BF02986170|s2cid = 123089882|issn = 0343-6993}}
* {{인용|last = Smale|first = Steve|year = 1981|title=The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory|journal = Bulletin of the American Mathematical Society |series=New Series|volume = 4 | issue = 1|pages = 1–36|doi = 10.1090/S0273-0979-1981-14858-8|doi-access = free}} [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183547848]
* {{인용|last = Smith|first = David Eugene|title = A Source Book in Mathematics|publisher = Dover Publications|isbn = 978-0-486-64690-9|year = 1959|url-access = registration|url = https://archive.org/details/sourcebookinmath0000smit}}
* {{인용|last = Smithies|first = Frank|year = 2000|title = A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra|periodical = Notes & Records of the Royal Society|volume = 54|issue = 3|pages = 333–341|issn = 0035-9149|doi = 10.1098/rsnr.2000.0116|s2cid = 145593806}}
* {{인용|last = Taylor|first = Paul|date = 2 June 2007|title = Gauss's second proof of the fundamental theorem of algebra|url = http://www.paultaylor.eu/misc/gauss-web.php}} – English translation of Gauss's second proof.
* {{인용| last = van der Waerden | first = Bartel Leendert | title = Algebra | volume = I | edition = 7th | year = 2003 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] | isbn = 978-0-387-40624-4}}

== 같이 보기 ==
* [[드무아브르의 정리]]

== 외부 링크 ==
* [https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3574277&cid=58944&categoryId=58970 네이버 캐스트 - 대수학의 기본 정리]

{{전거 통제}}

[[분류:기본 정리]]
[[분류:체론]]
[[분류:다항식에 대한 정리]]
[[분류:복소해석학 정리]]