대수적 K이론 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''대수적 K이론'''(代數的K理論, {{llang|en|algebraic K-theory}})은 [[환 (수학)|환]]의 [[가군]]들을 다루는 [[K이론]]의 한 종류다. 대수적 ''K''이론은 [[기하학]], [[위상수학|위상 수학]], [[환론]], [[정수론]]과 연결된다. 기하, 대수 및 산술 대상에는 ''<math>K</math>''군이라는 대상이 할당된다. 이들은 [[군 (수학)|군]]이다. 여기에는 원래 대상에 대한 자세한 정보가 포함되어 있지만 계산하기가 아주 어렵다. 예를 들어, [[정수]]의 ''<math>K</math>''군을 계산하는 것은 중요한 미해결 문제이다.

''<math>K</math>''이론은 1950년대 후반 [[알렉산더 그로텐디크]]가 [[대수다양체]]에 대한 교차 이론을 연구하면서 발전시켰다. 현대 수학에서 그로텐디크는 0번째 <math>K</math>군인 <math>K_0</math>만 정의했지만 이 군 하나에도 [[그로텐디크-리만-로흐 정리]]와 같은 많은 응용이 있다. 교차 이론은 [[모티브 코호몰로지]], 특히 [[저우 환|저우 군]]과의 연결을 통해 (고차) 대수적 <math>K</math>이론의 발전에 여전히 동기를 부여하는 힘이다. 이 주제는 또한 [[이차 상호 법칙|이차 상호성과]] [[실수|실수체]]와 [[복소수|복소수체]] 사이에 [[대수적 수체|수체]]를 삽입하는 것과 같은 고전적인 정수론 주제뿐만 아니라 고차 [[디리클레 가역원 정리|조절자]]의 구성 및 [[L-함수|''L'' 함수]]의 특수 값과 같은 보다 현대적인 문제를 포함한다.

다른 대수 구조의 관점에서 이러한 군에 대한 적절한 설명이 발견되었다는 의미에서 부분 <math>K</math>군이 먼저 발견되었다. 예를 들어, <math>F</math>가 [[체 (수학)|체]]인 경우 <math>K_0(F)</math>는 정수 <math>\Z</math>와 동형이며 선형 공간 차원의 개념과 밀접하게 관련된다. [[가환환|가환 환]] <math>R</math>의 경우, 군 <math>K_0(R)</math>은 <math>R</math>의 [[피카르 군|피카드 군]]과 관련되며, ''<math>R</math>''이 슈체에서 정수환일 때 이는 [[아이디얼 유군|유군]]의 고전적 구성을 일반화한다. 군 <math>K_1(R)</math>은 [[가역원|단원군]] <math>R^{\times}</math>과 밀접하게 관련되어 있으며 ''<math>R</math>''이 체인 경우 정확히 단원군이다. 수체 <math>F</math>의 경우 군 <math>K_2(F)</math>는 [[유체론]], [[힐베르트 기호]] 및 완비화에 대한 2차 방정식의 해결 가능성과 관련된다. 대조적으로, 고차 <math>K</math>군의 환에 대한 정확한 정의를 찾는 것은 [[대니얼 퀼런]]의 어려운 업적이었고, 대수적 다형체의 고차 ''<math>K</math>''군에 대한 많은 기본적 사실은 로버트 토마슨의 연구 이전까지는 알려지지 않았다.

== 정의 ==
대수적 K이론에서 다루는 중심 개념은 '''(대수적) K군'''({{llang|en|algebraic ''K''-group}}) <math>\operatorname K_\bullet(-)</math>이다. 이들은 주어진 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 주어지는 일련의 [[아벨 군]]들이다.

K군은 다양하게 정의할 수 있다.
* '''퀼런 플러스 구성'''({{llang|en|Quillen plus-construction}})은 역사적으로 가장 최초의 정의이다. 이 정의는 주어진 [[환 (수학)|환]]의 무한 [[일반선형군]]의 [[분류 공간]]에 그 [[기본군]]의 일부를 죽이는 연산을 가한 뒤, [[호모토피 군]]을 취하는 것으로 구성된다. [[대니얼 퀼런]]이 도입하였다.
* '''퀼런 Q-구성'''({{llang|en|Quillen Q-construction}}) 역시 [[대니얼 퀼런]]이 도입하였다. 이 정의는 '''[[퀼런 완전 범주]]'''라는 특정한 [[가법 범주]]에 대하여 적용되며, 퀼런 완전 범주에서 대상을 그대로 두고 사상을 다르게 정의한 뒤, 이에 대응하는 [[단체 집합]]을 취하고, 그 [[호모토피 군]]을 취한다. Q-구성을 [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[사영 가군]] 범주 <math>\operatorname{fgProjMod}_R</math>에 적용할 경우, 이는 퀼런 플러스 구성과 일치한다.
* '''발트하우젠 S-구성'''({{llang|en|Waldhausen S-construction}})은 '''발트하우젠 범주'''({{llang|en|Waldhausen category}})라는 구조가 주어진 [[범주 (수학)|범주]]에 대하여 적용된다. [[퀼런 완전 범주]] 위의 유계 [[사슬 복합체]]의 범주 <math>\operatorname{bCh}(\mathcal E)</math>는 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이루며, 이에 따라 발트하우젠 S-구성은 퀼런 Q-구성을 일반화한다. 프리트헬름 발트하우젠({{llang|de|Friedhelm Waldhausen}})이 도입하였다.

=== 퀼런 플러스 구성 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ([[이산 공간]]으로 간주한) 그 [[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(n;R)</math>들의 [[귀납적 극한]]
:<math>\operatorname{GL}(\infty;R)=\varinjlim_{n\to\infty}\operatorname{GL}(n;R)</math>
을 취하자. 이는 [[위상군]]을 이룬다. 이 위상군의 [[분류 공간]] <math>\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))</math>을 취하자.

위상 공간 <math>\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))</math> 위에 '''플러스 구성''' <math>\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+</math>을 가할 수 있다. 이 경우 그 [[호모토피 군]]들이 바뀌지만, [[호몰로지 군]]은 바뀌지 않는다. 구체적으로, <math>\operatorname{GL}(\infty;R)\cong\pi_1(\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R)))</math>의 [[정규 부분군]] <math>E\triangleleft \operatorname{GL}(\infty;R)</math>은 하나의 성분을 제외하고 다른 모든 성분이 모두 무한 [[단위 행렬]]을 이루는 원소들로부터 생성된다. 그렇다면, [[기본군]]의 [[정규 부분군]] <math>E</math>를 죽이는 플러스 연산을 가하여 위상 공간 <math>\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+</math>을 얻는다. 그렇다면, <math>i>0</math>에 대하여 <math>i</math>차 '''K군''' <math>\operatorname K_i(R)</math>은 <math>\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+</math>의 <math>i</math>차 [[호모토피 군]]이다.
:<math>\operatorname K_i(R)=\pi_i(\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+)\qquad(i>0)</math>
<math>i=0</math>일 경우 위 공식은 성립하지 않는다. (<math>\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+</math>는 항상 [[경로 연결 공간]]이다.) 환의 0차 K군 <math>\operatorname K_0(R)</math>는 독립적으로 간단히 정의될 수 있으며, 이 경우
:<math>\pi_i(R)=\pi_i\left(\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+\times\operatorname K_0(R)\right)</math>
로 정의할 수 있다. (여기서 <math>\operatorname K_0(R)</math>는 [[이산 위상]]을 준 [[위상군]]이다.)

=== 퀼런 Q-구성 ===
[[퀼런 완전 범주]] <math>\mathcal E</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주 <math>\operatorname Q(\mathcal E)</math>는 다음과 같은 범주이다.
* <math>\operatorname Q(\mathcal E)</math>의 대상은 <math>\mathcal E</math>의 대상과 같다.
* <math>\operatorname Q(\mathcal E)</math>에서 <math>X,Y\in\mathcal E</math> 사이의 사상은 <math>\mathcal E</math>에서의 그림 <math>X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y</math>의 동치류이다. 여기서, 두 그림 <math>X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y</math>, <math>X\twoheadleftarrow A'\hookrightarrow Y</math> 사이에 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 [[동형 사상]] <math>A\to A'</math>이 존재한다면 두 그림을 서로 동치로 간주한다.
*:<math>\begin{matrix}
X&\twoheadleftarrow&A&\hookrightarrow&Y\\
\|&&\downarrow&&\|\\
X&\twoheadleftarrow&A'&\hookrightarrow&Y
\end{matrix}</math>
* <math>\operatorname Q(\mathcal E)</math>에서 항등 사상은 <math>X\overset{\operatorname{id}}\twoheadleftarrow X\overset{\operatorname{id}}\hookrightarrow X</math>이다.
* <math>\operatorname Q(\mathcal E)</math>에서 사상의 합성은 [[당김 (범주론)|당김]]을 통해 정의된다. 즉, 그림 <math>X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y</math>와 <math>Y\twoheadleftarrow B\hookrightarrow Z</math>의 합성은 다음과 같은 [[당김 (범주론)|당김]] <math>A\times_YB</math>로서 정의된다.
*:<math>\begin{matrix}
&&A&\twoheadleftarrow&A\times_YB&\hookrightarrow&B\\
&&\|&&&&\|\\
X&\twoheadleftarrow&A&\hookrightarrow&Y&\twoheadleftarrow&B&\hookrightarrow&Z
\end{matrix}</math>

이제, <math>\operatorname Q(\mathcal E)</math>의 [[신경 (범주론)|신경]] <math>\operatorname{nerve}(\operatorname Q(\mathcal E))</math>을 취하자. 이는 [[단체 집합]]이다. <math>\mathcal E</math>의 <math>i</math>차 '''K군'''({{llang|en|K-group}})은 <math>\operatorname{nerve}(\operatorname Q(\mathcal E))</math>의 (기하학적 실현의) <math>i+1</math>차 [[호모토피 군]]이다.
:<math>\operatorname K_i(\mathcal E)=\pi_{i+1}(\operatorname{nerve}(\operatorname Q(\mathcal E)))</math>

=== 발트하우젠 S-구성 ===
'''발트하우젠 범주'''(Waldhausen範疇, {{llang|en|Waldhausen category}}) <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak C)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>\mathcal C</math>는 [[영 대상]]을 갖는 [[범주 (수학)|범주]]이다.
* <math>\mathfrak W</math>는 <math>\mathcal C</math>의 사상들의 [[모임 (집합론)|모임]]이다. 그 원소를 '''약한 동치'''({{llang|en|weak equivalence}})라고 한다. 이를 <math>\xrightarrow\sim</math>로 나타내자.
* <math>\mathfrak C</math>는 <math>\mathcal C</math>의 사상들의 [[모임 (집합론)|모임]]이다. 그 원소를 '''쌍대올뭉치'''({{llang|en|cofibration}})라고 한다. 이를 <math>\hookrightarrow</math>로 나타내자.
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 모든 [[동형 사상]]은 약한 동치이자 쌍대올뭉치이다.
* [[영 대상]]으로부터의 사상 <math>0\to X</math>는 쌍대올뭉치이다.
* 쌍대올뭉치는 합성에 대하여 닫혀 있다.
* 임의의 <math>X\hookleftarrow Z\to Y</math>에 대하여, [[밂 (범주론)|밂]] <math>X\cup_ZY</math>으로 가는 표준적 사상 <math>Y\to X\cup_ZY</math>는 쌍대올뭉치이다.
* 다음 가환 그림이 주어졌을 때, 유도 사상 <math>X\cup_ZY\to \tilde X\cup_{\tilde Z}\tilde Y</math>는 약한 동치이다.
*:<math>\begin{matrix}
X&\hookleftarrow&Z&\to&Y\\
{\scriptstyle\wr}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\wr&&\downarrow\scriptstyle\wr\\
\tilde X&\hookleftarrow&\tilde Z&\to&\tilde Y
\end{matrix}</math>

발트하우젠 범주 <math>\mathcal C</math> 및 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>이 주어졌을 때, 다음과 같은 범주 <math>\mathcal S_n(\mathcal C)</math>을 생각하자.
* <math>\mathcal S_n(\mathcal C)</math>의 대상은 다음 조건을 만족시키는 대상 <math>X_{i,j}</math> (<math>i\le j</math>) 및 이들 사이의 적절한 사상으로 구성된다.
** <math>X_{ii}=0</math>
** 쌍대올뭉치의 열 <math>0=X_{0,0}\hookrightarrow X_{0,1}\hookrightarrow X_{0,2}\hookrightarrow\cdots\hookrightarrow X_{0,n}</math>이 존재한다.
** <math>i\le j\le k</math>에 대하여, <math>X_{jk}</math>는 <math>0\leftarrow X_{i,j}\hookrightarrow X_{i,k}</math>의 [[밂 (범주론)|밂]]이다.
* <math>\mathcal S_n(\mathcal C)</math>의 사상은 적절한 그림들을 가환 그림으로 만드는 <math>\mathcal C</math>-사상들의 열 <Math>f_{i,j}\colon X_{i,j}\to Y_{i,j}</math>로 구성된다.
그렇다면, 각 <math>\mathcal S_n(\mathcal C)</math> 역시 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이룬다. 또한, 이들을 모두 모은 <math>\mathcal S_\bullet(\mathcal C)</math>는 자연스럽게 단체 범주({{llang|en|simplicial category}}, (작은) 범주의 범주에서의 [[단체 대상]])를 이룬다.

이 연산 <math>\mathcal S_\bullet(-)</math>을 거듭해서 가하자. 그렇다면, 일련의 단체 범주 <math>\mathcal C,\mathcal S_\bullet(\mathcal C),\mathcal S_\bullet(\mathcal S_\bullet(\mathcal C)),\dots</math>들을 얻는다. 이들은 자연스럽게 [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]] <math>\mathcal S(\mathcal C)</math>을 이룬다.

<math>\mathcal C</math>의 '''K군'''들은 [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]] <math>\mathcal S(\mathcal C)</math>의 [[안정 호모토피 군]]들이다.

== 낮은 차수의 K군 ==
=== K<sub>0</sub> ===
{{본문|그로텐디크 군}}
<math>R</math>가 (단위원을 가진) [[환 (수학)|환]]이라고 하자. '''0차 K군''' <math>\operatorname K_0(R)</math>는 <math>R</math>의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[사영 가군]]들의 [[그로텐디크 군]]이다. 이는 [[세르-스완 정리]]에 따라서, [[벡터 다발]]의 [[그로텐디크 군]]인 [[위상 K이론|위상 K군]]에 대응한다.

[[유사환]]에 대해서도 K군을 정의할 수 있다. 포함 함자 <math>\operatorname{Ring}\hookrightarrow\operatorname{Rng}</math>의 [[수반 함자]]를 사용해, 유사환 <math>S</math>에 단위원을 추가해 [[환 (수학)|환]] <math>R\cong S\oplus\mathbb Z</math>으로 만들 수 있다. 이에 따라 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to S\to R\to0</math>
이 존재한다. 그렇다면 <math>S</math>의 K군 <math>K_0(S)</math>는 이에 의하여 유도되는 [[군 준동형]]
:<math>K_0(R)\to K(\mathbb Z)\cong\mathbb Z</math>
의 [[핵 (수학)|핵]]이다.

보다 일반적으로, [[퀼런 완전 범주]] <math>\mathcal E</math>의 '''0차 K군''' <math>\operatorname K_0(\mathcal E)</math>는 <math>\mathcal E</math>의 대상의 동형류들로 생성되는 [[자유 아벨 군]]으로부터, 모든 허용 확대 <math>X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z</math>에 대하여 <math>[X]-[Y]+[Z]</math>로 생성되는 [[부분군]]에 대한 [[몫군]]을 취한 것이다.

==== 상대적 ''K'' <sub>0</sub> ====
''<math>I</math>''를 ''<math>A</math>''의 이데알로 정의하고 [[곱집합|데카르트 곱]] ''<math>A\times A</math>''의 부분 환으로 "더블"을 정의한다.<ref name="Ros27">Rosenberg (1994) 1.5.1, p.27</ref>

: <math>D(A,I) = \{ (x,y) \in A \times A : x-y \in I \} \ . </math>

''상대적 <math>K</math>군은'' "double"<ref name="Ros27a">Rosenberg (1994) 1.5.3, p.27</ref>

: <math>K_0(A,I) = \ker \left({ K_0(D(A,I)) \rightarrow K_0(A) }\right) \ . </math>

여기서 사상은 첫 번째 인자에 따른 사영에 의해 유도된다.

상대적 <math>K_0(A,I)</math>는 <math>K_0(I)</math>와 동형이며 ''<math>I</math>''를 항등원이 없는 환으로 간주한다. ''<math>A</math>''로부터의 독립성은 호몰로지에서 절제 정리와 비슷하다.<ref name="Ros30">Rosenberg (1994) p.30</ref>

==== 환으로서 ''K''<sub>0</sub> ====
''<math>A</math>''가 가환 환이라면, 사영 가군의 [[텐서곱|텐서 곱]]은 다시 사영이므로 텐서 곱은 <math>K_0</math>을 항등식으로 동치류 ''<math>[A]</math>''를 갖는 가환 환으로 바꾸는 곱셈을 유도한다.<ref name="Mil5">Milnor (1971) p.5</ref> [[외대수|외적]]은 비슷하게 [[람다 환|λ-환]] 구조를 유도한다. [[피카르 군]]은 단위 <math>K_0(A)^*</math>군의 부분 군으로 포함된다.<ref name="Mil15">Milnor (1971) p.15</ref>

=== K<sub>1</sub> ===
<math>R</math>가 (단위원을 가진) [[환 (수학)|환]]이라고 하자. 그렇다면, 무한 [[일반선형군]]을 다음과 같은 [[귀납적 극한]]으로 정의하자.
:<math>\operatorname{GL}(\infty;R)=\varinjlim_{n\to\infty}\operatorname{GL}(n,R)</math>
그렇다면, '''1차 K군''' <math>\operatorname K_1(R)</math>는 무한 일반선형군의 [[아벨화]]이다.
:<math>\operatorname K_1(R)=\operatorname{GL}(\infty;R)^{\operatorname{ab}}=\operatorname{GL}(\infty;R)/[\operatorname{GL}(\infty;R),\operatorname{GL}(\infty;R)]</math>
[[하이먼 배스]]는 환의 단원 군을 일반화하는 다음 정의를 제공했다: <math>K_1(A)</math>는 [[일반선형군|무한 일반 선형 군]]의 [[교환자 부분군|아벨화]]이다.

: <math>K_1(A) = \operatorname{GL}(A)^{\mbox{ab}} = \operatorname{GL}(A) / [\operatorname{GL}(A),\operatorname{GL}(A)]</math>

여기서

: <math>\operatorname{GL}(A) = \operatorname{colim} \operatorname{GL}(n, A)</math>

는 <math>\operatorname{GL}(n+1)</math><math>\operatorname{GL}(n+1) </math>에 좌상단 [[블록 행렬]]로서 포함되는 <math>\operatorname{GL}(n)</math>의 [[귀납적 극한|직접 극한]]이다. <math>[\operatorname{GL}(A), \operatorname{GL}(A)]</math>는 그것의 [[교환자 부분군|교환자 부분 군]]이다. 기본 행렬을 항등 행렬과 단일 비대각 원소의 합으로 정의한다(이는 선형 대수학에서 사용되는 [[기본행렬|기본 행렬]]의 부분 집합이다). 그런 다음 [[화이트헤드의 기본형|화이트헤드의 보조 정리]]는 기본 행렬에 의해 생성된 군 <math>E(A)</math>가 교환자 부분 군 <math>[\operatorname{GL}(A), \operatorname{GL}(A)]</math>와 같다고 말한다. 실제로 군 <math>\operatorname{GL}(A)/E(A)</math>는 화이트헤드<ref>J.H.C. Whitehead, ''Simple homotopy types'' Amer. J. Math., 72 (1950) pp. 1–57</ref>에 의해 처음 정의되고 연구되었으며 환 ''<math>A</math>''의 '''화이트헤드 군'''이라고 한다.

==== 상대적 ''K'' <sub>1</sub> ====
''상대적 K-군은'' "double"<ref name="Ros92">Rosenberg (1994) 2.5.1, p.92</ref>

: <math>K_1(A,I) = \ker \left({ K_1(D(A,I)) \rightarrow K_1(A) }\right) \ . </math>

자연스러운 [[완전열]]이 있다<ref name="Ros95">Rosenberg (1994) 2.5.4, p.95</ref>

: <math> K_1(A,I) \rightarrow K_1(A) \rightarrow K_1(A/I) \rightarrow K_0(A,I) \rightarrow K_0(A) \rightarrow K_0(A/I) \ . </math>

==== 가환 환 및 체 ====
''<math>A</math>'' [[가환환|가환 환]]에 대해 [[행렬식]] det를 정의할 수 있다: <math>\operatorname{GL}(A)\rightarrow A^*</math>에서 ''<math>A</math>'' [[가역원|단원 군]]으로 <math>E(A)</math>에서 사라지고 따라서 사상 det로 내려간다. : <math>K_1(A)\rightarrow A^*</math>. ''<math>E(A)\vartriangleleft\text{SL}(A)</math>''로 '''특수 화이트헤드 군''' ''<math>\text{S}K_1(A):=\text{SL}(A)/E(A)</math>''를 정의할 수도 있다. 이 사상은 사상 <math>A^*\rightarrow \operatorname{GL}(1,A)\rightarrow K_1(A)</math> (왼쪽 위 모서리에 있는 단위)를 통해 분할되고 따라서 특정 화이트헤드 군을 핵로 가지며 [[완전열|분할 짧은 완전열]]을 생성한다. :

: <math>1 \to SK_1(A) \to K_1(A) \to A^* \to 1,</math>

이는 [[특수선형군|특수 선형 군]]을 정의하는 일반적인 분할 짧은 완전열의 몫이다.

: <math>1 \to \operatorname{SL}(A) \to \operatorname{GL}(A) \to A^* \to 1.</math>

행렬식은 단원군 <math>A^*=\operatorname{GL}_1(A)</math>를 일반 선형 군 <math>\operatorname{GL}(A)</math>에 포함하여 분할하므로 ''<math>K_1(A)</math>''는 단원군과 특수 화이트헤드 군의 직합 ''<math>K_1(A)\cong A^*\oplus\text{S}K_1(A)</math>''으로 분할된다.

''<math>A</math>''가 [[유클리드 정역]](예: 체 또는 정수)인 경우 ''<math>\text{S}K_1(A)</math>''는 사라지고 행렬식 사상은 ''<math>K_1(A)</math>''에서 ''<math>A^*</math>'' 로 가는 동형사상이다.<ref name="Ros74">Rosenberg (1994) Theorem 2.3.2, p.74</ref> 이것은 일반적으로 PID에 대해 ''거짓이므로'' 모든 PID에 일반화되지 않는 유클리드 정역의 드문 수학적 특징 중 하나를 제공한다.''<math>\text{S}K_1(A)</math>''이 0이 아닌 명시적 PID는 1980년 Ischebeck과 1981년 그레이슨이 제공했다<ref name="Ros75">Rosenberg (1994) p.75</ref> ''<math>A</math>''가 그의 몫 체가 [[대수적 수체]] (유리수의 유한 확장)인 데데킨트 정역이면 {{하버드 인용 본문|Milnor|1971}}는 ''<math>\text{S}K_1(A)</math>''가 사라진다는 것을 보여준다.<ref name="Ros81">Rosenberg (1994) p.81</ref>

''<math>\text{S}K_1</math>''의 소멸은 <math>\operatorname{GL}</math>에서 <math>\operatorname{GL}_1</math>의 상에 의해 ''<math>K_1</math>''가 생성된다는 의미로 해석될 수 있다. 이것이 실패하면 ''<math>K_1</math>''가 <math>\operatorname{GL}_2</math>의 상에 의해 생성되는지 여부를 물을 수 있다. 데데킨드 정역이 이에 해당한다. 실제로 ''<math>K_1</math>''은 <math>\operatorname{GL}</math>의 <math>\operatorname{GL}_1</math>과 <math>\operatorname{SL}_2</math>의 상에 의해 생성된다.<ref name="Ros75" /> <math>\operatorname{SL}_2</math>에 의해 생성된 ''<math>\text{S}K_1</math>''의 부분 군은 메니케 기호로 연구할 수 있다. 극대 이데알 유한에 의한 모든 몫을 갖는 데데킨트 정역의 경우 ''<math>\text{S}K_1</math>''은 비틀림 군이다.<ref name="Ros78">Rosenberg (1994) p.78</ref>

비가환 환의 경우 행렬식를 일반적으로 정의할 수 없지만 사상 <math>\operatorname{GL}(A)\rightarrow K_1(A)</math>는 행렬식의 일반화이다 <sub>.</sub>

==== 중심 단순 대수 ====
체 ''F'' 에 대한 [[중앙 단순 대수학|중심 단순 대수]] ''<math>A</math>''의 경우, 축소된 노름은 사상 ''<math>K_1(A)\rightarrow F^*</math>''및 ''<math>\text{S}K_1(A)</math>'' 핵로 정의될 수 있는 행렬식의 일반화를 제공한다. '''왕의 정리'''는 ''<math>A</math>''가 소수 차수이면 ''<math>\text{S}K_1(A)</math>''는 사소하고<ref name="GS47">Gille & Szamuely (2006) p.47</ref> 이것은 제곱 없는 차수로 확장될 수 있다고 말한다.<ref name="GS48">Gille & Szamuely (2006) p.48</ref> 왕은 또한 ''<math>\text{S}K_1(A)</math>''가 수체에 대한 모든 중앙 단순 대수에 대해 사소한 것임을 보여주었지만<ref name="Wang1950">{{저널 인용|제목=On the commutator group of a simple algebra|저널=Am. J. Math.|성=Wang|이름=Shianghaw|저자링크=Shianghao Wang|연도=1950|권=72|호=2|쪽=323–334|doi=10.2307/2372036|issn=0002-9327|jstor=2372036|zbl=0040.30302}}</ref> Platonov는 ''<math>\text{S}K_1(A)</math>''가 중요하지 않은 소수 제곱 정도의 대수에 대한 예를 제공했다.<ref name="GS48" />

=== K<sub>2</sub> ===
<math>R</math>가 (단위원을 가진) [[환 (수학)|환]]이라고 하자. 그렇다면, [[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(\infty;R)</math>의 [[교환자 부분군]] <math>[\operatorname{GL}(\infty;R),\operatorname{GL}(\infty;R)]</math>을 생각하자. 이는 [[완전군]]이며, 따라서 [[보편 중심 확대]]를 갖는다. 이 보편 중심 확대를 <math>R</math>의 '''스테인베르그 군'''(Steinberg群, {{llang|en|Steinberg group}}) <math>\operatorname{St}R</math>라고 한다. 이는 [[로베르트 스테인베르그]]가 도입하였다.

'''2차 K군''' <math>\operatorname K_2(R)</math>는 <math>R</math>의 스테인베르그 군 <math>\operatorname{St}R</math>의 [[군의 중심|중심]]이다.
:<math>\operatorname K_2(R)=\operatorname Z(\operatorname{St}R)</math>
[[존 밀너]]는 ''<math>K_2</math>''의 올바른 정의를 찾았다. 이것은 ''<math>A</math>''의 스타인버그 군 ''<math>\text{St}(A)</math>''의  [[군의 중심|중심]]이다.

이는 사상

: <math>\varphi\colon\operatorname{St}(A)\to\mathrm{GL}(A),</math>

의 [[핵 (수학)|핵]]으로 정의할 수도 있다. 또는 [[기본행렬|기본 행렬]] 군의 슈어 승수로 정의할 수도 있다.

체의 경우 ''<math>K_2</math>''는 스타인버그 기호에 의해 결정된다. 이것은 마츠모토의 정리로 이어진다.

유한 체에 대해 ''<math>K_2</math>''가 0임을 계산할 수 있다.<ref name="Lam139">Lam (2005) p.139</ref><ref name="Lem66">Lemmermeyer (2000) p.66</ref> ''<math>K_2(\Q)</math>''의 계산은 복잡하다: 테이트가 증명했다<ref name="Lem66" /><ref name="Mil101">Milnor (1971) p.101</ref>

: <math>K_2(\mathbf{Q}) = (\mathbf{Z}/4)^* \times \prod_{p \text{ odd prime}} (\mathbf{Z}/p)^* \ </math>

그리고 그 증명은 [[이차 상호 법칙]]에 대한 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]의 첫 번째 증명을 따랐다고 말했다.<ref name="Mil102">Milnor (1971) p.102</ref><ref name="Gras205">Gras (2003) p.205</ref>

아르키메데스 국소 체가 아닌 경우, 군 ''<math>K_2(F)</math>''는 예를 들어 차수가 ''<math>m</math>''인 유한 [[순환군|순환 군]]과 [[나눗셈군|나눗셈 군]] ''<math>K_2(F)^m</math>''의 직합이다.<ref name="Mil175">Milnor (1971) p.175</ref>

''<math>K_2(\Z)=\Z/2</math>''<ref name="Mil81">Milnor (1971) p.81</ref>이며 일반적으로 ''<math>K_2</math>''는 수체의 정수환에 대해 유한하다.<ref name="Lem385">Lemmermeyer (2000) p.385</ref>

또한 ''<math>n</math>''이 4로 나누어지면 ''<math>K_2(\Z)=\Z/2</math>''이고 그렇지 않으면 0이다.<ref name="Sil228">Silvester (1981) p.228</ref>

'''마츠모토 정리'''<ref>히데야 마츠모토(Hideya Matsumoto)</ref>에 따르면 체 ''<math>k</math>''에 대해 두 번째 ''<math>K</math>''군은<ref>{{인용|url=Hideya Matsumoto|언어=fr}}</ref><ref name="Ros214">Rosenberg (1994) Theorem 4.3.15, p.214</ref>

: <math>K_2(k) = k^\times\otimes_{\mathbf Z} k^\times/\langle a\otimes(1-a)\mid a\not=0,1\rangle.</math>

마츠모토의 원래 정리는 훨씬 더 일반적이다. 모든 [[근계]]에 대해 불안정한 ''<math>K</math>''이론에 대한 표현을 제공한다. 이 표현은 사교 근계에 대해서만 여기에 제공된 것과 다르다. 비사교 근계의 경우 근계에 대해 불안정한 두 번째 ''<math>K</math>''군은 정확히 <math>\operatorname{GL}(A)</math>에 대한 안정적인 ''<math>K</math>''군이다. 불안정한 두 번째 ''<math>K</math>''군(이 문맥에서)은 주어진 근계에 대한 보편 유형의 셰발리 군의 보편 중심 확대의 핵을 취함으로써 정의된다. 이 구조는 근계 ''<math>A_n \;\forall n>1</math>''에 대한 스타인버그 확장의 핵을, 그리고 극한에서 안정적인 두 번째 ''<math>K</math>''군을 생성한다''.''

==== 긴 완전열 ====
''<math>A</math>''가 [[분수체|분수]] ''<math>F</math>''의 체를 갖는 [[데데킨트 정역]]이면 [[완전열|긴 완전열]]이 있다.

: <math> K_2F \rightarrow \oplus_{\mathbf p} K_1 A/{\mathbf p} \rightarrow K_1 A \rightarrow K_1 F \rightarrow \oplus_{\mathbf p} K_0 A/{\mathbf p} \rightarrow K_0 A \rightarrow K_0 F \rightarrow 0 \ </math>

여기서 '''''<math>{\mathbf p}</math>'''''는 ''<math>A</math>''의 모든 주 이데알에 걸쳐 있다.<ref name="Mil123">Milnor (1971) p.123</ref>

상대적 ''<math>K_1</math>''와 ''<math>K_0</math>''에 대한 완전열의 확장도 있다.<ref name="Ros200">Rosenberg (1994) p.200</ref>

: <math>K_2(A) \rightarrow K_2(A/I) \rightarrow K_1(A,I) \rightarrow K_1(A) \cdots \ . </math>

''<math>K_1</math>''에는 ''<math>K_2</math>''의 값과 짝환이 있다. ''<math>A</math>''에 대한 통근 행렬 ''<math>X,Y</math>''가 주어지면 ''<math>X,Y</math>''를 상로 사용하여 스타인버그 군의 원소 ''<math>x,y</math>''를 가져온다. 교환자 <math>x y x^{-1} y^{-1}</math>는 ''<math>K_2</math>''의 원소이다.<ref name="Mil63">Milnor (1971) p.63</ref> 사상이 항상 전사적인 것은 아니다.<ref name="Mil6">Milnor (1971) p.69</ref>

== 밀너 ''K'' 이론 ==
체 ''<math>k</math>''의 ''<math>K_2</math>''에 대한 위의 표현은 밀너를 다음과 같은 "고차" ''<math>K</math>''군의 정의로 이끌었다.

: <math> K^M_*(k) := T^*(k^\times)/(a\otimes (1-a)), </math>

따라서 곱셈군 ''<math>k^{\times}</math>'' [[아이디얼|양쪽 이데알]]의 [[텐서 대수|텐서 대수 몫]]의 등급이 매겨진 부분으로서

: <math>\left \{a\otimes(1-a): \ a \neq 0,1 \right \}.</math>

''<math>n=0,1,2</math>''의 경우 이들은 아래의 것과 일치하지만 ''n'' ≥ 3의 경우 일반적으로 다르다.  예를 들어 ''<math>K_n</math>''있다. ''<math>K_n^M(\mathbb F_q)=0\; \forall n\geq2</math>'' 이지만, 홀수 ''n'' 인 경우 ''<math>K_n\mathbb F_q</math>''는 0이 아니다(아래 참조).

텐서 대수의 텐서 곱은 곱 <math> K_m \times K_n \rightarrow K_{m+n}</math>을 유도하고 등급 가환 [[등급 대수|등급 환]] <math> K^M_*(F)</math>을 만든다.<ref name="GS184">Gille & Szamuely (2006) p.184</ref>

<math>a_1 \otimes \cdots \otimes a_n\in K^M_n(k)</math>의 상을 ''기호'' <math>\{a_1,\ldots,a_n\}</math>라고 한다. ''<math>k</math>''에서 가역적인 정수 ''<math>m</math>''에 대해 다음 사상이 있다.

: <math>\partial : k^* \rightarrow H^1(k,\mu_m) </math>

여기서 <math>\mu_m</math>는 ''<math>k</math>''의 일부 분리 가능한 확장에서 ''<math>m</math>'' 번째 단위 근의 군을 나타낸다. 이것은 다음으로 확장된다.

: <math>\partial^n : k^* \times \cdots \times k^* \rightarrow H^n\left({k,\mu_m^{\otimes n}}\right) \ </math>

밀너 ''<math>K</math>''군의 정의 관계를 만족한다. 따라서 <math>\partial^n</math>는 <math>K^M_n(k)</math>에 대한 사상으로 볼 수 있다. 이를 갈루아 기호 사상이라고 한다.<ref name="GS108">Gille & Szamuely (2006) p.108</ref>

[[블라디미르 보예보츠키]]에 의해 입증된 밀너 추측은 체의 [[에탈 코호몰로지|에탈]](또는 갈루아) 코호몰로지와 2를 법으로 하는 밀너 K-이론 사이의 관계이다. 홀수 소수에 대한 비슷한 진술은 보예보츠키, 로스트 등에 의해 증명된 블로흐-가토 추측이다.

== 고차 ''K'' 이론 ==
고차 ''<math>K</math>''군의 허용된 정의는 {{하버드 인용 본문|Quillen|1973}}에 의해 제공되었으며, 몇 년 동안 양립할 수 없는 몇 가지 정의가 제안되었다. 프로그램의 목적은 ''<math>R \Rightarrow\mathbf  K(R)</math>'' 및 '''''<math>(R,I)  \Rightarrow \mathbf K(R,I)</math>'''''가 함수가 되도록 공간을 분류하는 관점에서 ''<math>\mathbf  K(R)</math>'' 및 ''<math>\mathbf  K(R,I)</math>''의 ''정의를'' 찾는 것이다. 공간의 [[호모토피 범주]]와 상대적인 K-군에 대한 긴 완전열은 [[올뭉치|올화]] '''''<math>\mathbf  K(R,I)</math>'''''의 [[호모토피 군|긴 호모토피 완전열]]'''''<math>\mathbf  K(R,I)\rightarrow \mathbf  K(R)\rightarrow \mathbf  K(R/I)</math>'''''로 발생한다.<ref name="Ros2456">Rosenberg (1994) pp. 245–246</ref>

퀼런은 "+-구성"과 " ''Q'' -구성"의 두 가지 구성을 제공했으며 후자는 이후 다른 방식으로 수정되었다.<ref name="Ros246">Rosenberg (1994) p.246</ref> 두 구성은 동일한 ''<math>K</math>''군을 생성한다.<ref name="Ros289">Rosenberg (1994) p.289</ref>

=== +-구조 ===
고등 대수 ''<math>K</math>''환 이론의 가능한 정의 중 하나는 퀼런에 의해 제공되었다.

: <math> K_n(R) = \pi_n(B\operatorname{GL}(R)^+),</math>

여기서 ''<math>\pi_n</math>''은 [[호모토피 군]]이고, <math>\operatorname{GL}(R)</math>은 무한대로 가는 행렬의 크기에 대한 ''<math>R</math>''에 대한 [[일반선형군]]의 [[귀납적 극한|직접 극한]]이고, ''<math>B</math>''는 호모토피 이론의 분류 공간 구성이며, <sup>+</sup>는 퀼런의 [[플러스 건설|플러스 구성]]이다. 그는 원래 <math>\text{GL}_n(\mathbb{F}_q)</math>의 군 코호몰로지를 연구하면서 이 아이디어를 발견했고,<ref>{{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/161934/quillens-motivation-of-higher-algebraic-k-theory|제목=ag.algebraic geometry - Quillen's motivation of higher algebraic K-theory|웹사이트=MathOverflow|확인날짜=2021-03-26}}</ref> 그의 계산 중 일부는 <math>K_1(\mathbb{F}_q)</math>와 관련되어 있다는 것을 알았다.

이 정의는 ''<math>n>0</math>''에만 적용된다. 그래서 우리는 종종 고차 대수적 ''<math>K</math>''이론을 다음을 통해 정의한다.

: <math> K_n(R) = \pi_n(B\operatorname{GL}(R)^+\times K_0(R)) </math>

<math>B\operatorname{GL}(R)^+</math>는 경로 연결이고 <math>K_0(R)</math>는 이산적이므로 이 정의는 고차에서도 다르지 않으며 ''<math>n=0 </math>''에도 적용된다.

=== ''Q'' 구조 ===
''Q'' 구조는 +구조와 동일한 결과를 제공하지만 보다 일반적인 상황에 적용된다. 더욱이, 정의는 ''Q'' 구성을 통해 정의된 ''<math>K</math>''군이 정의에 의해 기능적이라는 점에서 보다 직접적이다. 이 사실은 플러스 구조에서 자동적이지 않다.

<math>P</math>가 [[퀼런 완전 범주|완전 범주]]라고 가정하자. <math>P</math>에 연관된 새로운 범주 <math>QP</math>가 정의되며, 그 대상은 <math>P</math>의 대상이다. <math>M'</math>에서 <math>M''</math>로 가는 사상은 다이어그램

: <math> M'\longleftarrow N\longrightarrow M''</math>

의 동형사상 동치류이다. 여기서 첫 번째 화살표는 허용 가능한 [[전사 사상]]이고 두 번째 화살표는 허용 가능한 [[단사 사상]]이다. <math>QP</math>의 사상들은 사상이<blockquote><math>X \leftarrow Z \rightarrow Y</math></blockquote>인 대응 <math>Z \subset X \times Y</math>으로 주어지는 [[모티브 (수학)|모티브]] 범주의 사상 정의와 비슷함에 유의하라. 왼쪽의 화살표가 덮개 사상(따라서 전사)이고 오른쪽의 화살표가 단사인 도형이다. 그런 다음 이 범주는 분류 공간 구성 <math>BQP</math>을 사용하여 위상 공간으로 전환될 수 있다. 이는 <math>QP</math>''의 [[신경 (범주론)|신경]]''의 [[단체 집합|기하학적 실현]]으로 정의된다.  그런 다음, 완전 범주 <math>P</math>의 i 번째 '''''<math>K</math>''군'''은 고정된 영 대상 <math>0</math>과 함께 다음과 같이 정의된다.

: <math> K_i(P)=\pi_{i+1}(\mathrm{BQ}P,0)</math>

[[준군]] <math>B\mathcal{G}</math>의 공간 분류는 호모토피 군을 1차 위로 옮기므로 에 유의하라. 즉, <math>K_i</math>의 차수 이동이 공간의 <math>\pi_{i+1}</math>가 된다.

이 정의는 위의 ''<math>K_0(P)</math>''의 정의와 일치한다. ''<math>P</math>''가 유한 생성 [[사영 가군|사영 ''R'' 가군]]의 범주인 경우 이 정의는 위의 <math>B\operatorname{GL}^+</math> 모든 ''n'' 에 대한 <math>K_n(R)</math>의 정의와 일치한다. 보다 일반적으로, [[스킴 (수학)|스킴]] ''<math>X</math>''에 대해, ''<math>X</math>''의 고차 ''<math>K</math>''군은 ''<math>X</math>''의 국소적으로 자유 [[연접층]] (의 완전 범주)의 ''<math>K</math>''군으로 정의된다.

이에 대한 다음 변형도 사용된다. 유한 생성 사영(=국소 자유) 가군은 유한 생성 가군을 사용한다. 결과 ''<math>K</math>''군은 일반적으로 ''<math>G_n(R)</math>''로 작성된다. ''<math>R</math>''이 [[뇌터 환|뇌터]] [[정칙 국소환|정칙 환]]일 때 ''<math>G</math>'' 이론과 ''<math>K</math>''이론이 일치한다. 실제로, 일반 환의 [[호몰로지 차원|대역 차원]]은 유한하다. 즉, 유한 생성 모든 가군은 유한한 사영 해결 ''P'' <sub>*</sub> → ''M'' 을 가지며 간단한 인수는 [ ''M'' ] = Σ ± [ ''P'' <sub>''n''</sub> ]와 함께 표준 사상 ''<math>K_0(R)\rightarrow G_0(R)</math>''이 [[동형 사상|동형]]임을 보여준다. 이 동형은 고차 ''<math>K</math>''군에도 확장된다.

=== ''S-''구성 ===
''<math>K</math>''이론 군의 세 번째 구성은 발트하우젠''<math>S</math>'' 구성이다. 이는 여올화가 있는 범주(발트하우젠 범주라고도 함)에 적용된다. 이것은 완전 범주보다 더 일반적인 개념이다.

== 예 ==
=== 유한체 ===
[[유한체]] <math>\mathbb F_q</math>의 K군은 다음과 같다.
:<math>\operatorname K_0(\mathbb F_q)=\mathbb Z</math>
:<math>\operatorname K_{2i}(\mathbb F_q)=0\qquad(i>0)</math>
:<math>\operatorname K_{2i-1}(\mathbb F_q)=\mathbb Z/(q^i-1)\qquad(i>0)</math>

=== 정수환 ===
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math>의 K군의 계산은 매우 어려운 문제이다.
:<math>\operatorname K_0(\mathbb Z)=\mathbb Z</math>
:<math>\operatorname K_1(\mathbb Z)=\mathbb Z/2</math>
:<math>\operatorname K_2(\mathbb Z)=\mathbb Z/2</math>
:<math>\operatorname K_3(\mathbb Z)=\mathbb Z/48</math>
:<math>\operatorname K_4(\mathbb Z)</math> = 0<ref>Philippe Elbaz-Vincent, Herbert Gangl, and Christophe Soul´e, Quelques calculs
de la cohomologie de GLN (Z) et de la K-th´eorie de Z, C. R. Math. Acad. Sci.
Paris 335 (2002), no. 4, 321–324. MR 2003h:19002</ref>
이나 일반적인 경우에 대해서는 추측만 있다.

퀼런 대수 ''<math>K</math>''이론이 대수 기하학 및 위상 수학의 다양한 측면에 대한 깊은 통찰을 제공하는 동안 ''<math>K</math>''군은 고립되어 있지만 흥미로운 몇 가지 경우를 제외하고는 특히 계산하기 어려운 것으로 입증되었다. (참조: [[필드의 K-그룹|체의 K-군]])

=== 대수적 ''K'' -유한 체 군 ===
환의 고차 대수적 ''<math>K</math>''군의 첫 번째이자 가장 중요한 계산 중 하나는 [[유한체|유한 체]]의 경우에 대해 퀼런 자신이 수행했다.

'''''<math>\mathbb F_q</math>'''''가 ''q'' 원소가 있는 유한 체일 때:

* '''''<math>K_0(\mathbb F_q)=\Z</math>'''''.
* '''''<math>K_{2i}(\mathbb F_q)=0 \;\forall i\geq 1</math>'''''.
* '''''<math>K_{2i-1}(\mathbb F_q)=\Z/(q'-1)\Z \;\forall i\geq 1</math>'''''.

퀼런은 ''<math>A</math>''가 [[대수적 수체]] ''<math>F</math>''(유리수의 유한 확장)에서  [[대수적 정수환]]인 경우 ''<math>A</math>''의 대수적 ''<math>K</math>''군이 유한하게 생성됨을 증명했다. [[아르망 보렐]]은 이를 사용하여 꼬임을 법으로 ''<math>K_i(A), K_i(F)</math>''를 계산했다. 예를 들어, 정수 '''''<math>\Z</math>'''''에 대해 보렐은 (꼬임을 법으로)

* 양수 k에 대해 i''=4k+1''이 아닌 양수 ''i''에 대해 '''''<math>K_{i}(\Z)/\text{tors.}=0</math>'''''
* '''''<math>K_{4k+1}(\Z)/\text{tors.}=\Z \;\forall k>0</math>'''''.

'''''<math>K_{2i+1}(\Z)</math>'''''의 꼬임 부분 군과 유한 군 '''''<math>K_{4k+2}(\Z)</math>'''''의 차수는 최근에 결정되었지만 후자의 군이 주기적인지 여부와 군 '''''<math>K_{4k}(\Z)</math>''''' 소멸은 원분 정수의 유군에 대한 Vandiver의 추측에 따라 달라진다. 자세한 내용은 퀼런-리히텐바움 추측을 참조.

== 응용과 미해결 문제 ==
대수 ''<math>K</math>''군은 [[L-함수의 특별한 값|L-함수의 특수 값]]에 대한 추측과 [[Non-commutative main conjecture of Iwasawa theory|이와사와 이론의 비가환적 주요 추측]] 공식화 및 [[디리클레 가역원 정리|고차 조절자]] 구성에 사용된다.<ref name="Lem3853">Lemmermeyer (2000) p.385</ref>

파신의 추측은 유한 체에 대한 매끄러운 다형체에 대한 고차 대수적 ''<math>K</math>''군에 관한 것이며, 이 경우 군이 꼬임까지 사라진다고 말한다.

[[하이먼 배스]]의 또 다른 근본적인 추측( 배스' 추측 )은 ''<math>A</math>''가 유한 생성 ''<math>\Z</math>'' 대수일 때 모든 군 )''<math>G_n(A)</math>''가 유한 생성다고 말한다. (군 ''<math>G_n(A)</math>''는 유한 생성 ''<math>A</math>''-가군 범주의 ''<math>K</math>''군이다.)

== 역사 ==
<math>K</math>이론의 역사는 바이벨이 자세히 설명했다.<ref>Weibel 1999</ref>

[[K이론]]의 시초는 [[알렉산더 그로텐디크]]에 의한 [[그로텐디크-리만-로흐 정리]]의 증명으로 여겨진다 (1956년).<ref>{{저널 인용 | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=아르망 보렐 | last2=Serre | first2=Jean-Pierre | author2-link=장피에르 세르 | title=Le théorème de Riemann–Roch (d’après des résultats inédits de A. Grothendieck) | mr=0116022 | zbl= 0091.33004 | 날짜=1958 | journal=Bulletin de la Société mathématique de France | volume=86 | pages=97–136 | issn=0037-9484 | url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1958__86__97_0 | 언어=fr }}</ref> 곧 1950년대 말에 [[마이클 아티야]]와 [[프리드리히 히르체브루흐]]는 이를 위상 공간 위의 유한 차원 [[벡터 다발]]에 적용하여 [[위상 K이론]]을 개발하였다.

[[세르-스완 정리]]에 따라, [[가환환]] 위의 "유한 차원 벡터 다발"은 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[사영 가군]]이다. 이를 사용하여, 1962년에 [[하이먼 배스]]와 [[스티븐 섀뉴얼]]이 [[환 (수학)|환]]의 0차·1차 K군을 엄밀히 정의하였다.<ref>{{저널 인용|성=Bass|이름=Hyman|저자링크=하이먼 배스|성2=Schanuel|이름2=Stephen|저자링크2=스티븐 섀뉴얼|제목=The homotopy theory of projective modules|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=68|날짜=1962|쪽=425–428|mr=0152559|zbl=
0108.26402|doi=10.1090/S0002-9904-1962-10826-X|언어=en}}</ref> 2차 K군의 정의는 [[존 밀너]]가 1970년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용|성=Milnor|이름=John|저자링크=존 밀너|제목=Algebraic ''K''-theory and quadratic forms|저널=Inventiones  Mathematicae|권=9|날짜=1970|쪽=318–344|url=http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/OberseminarAlgGeo/Literatur/Milnor%20%281969%29,%20Algebraic%20K-Theory%20and%20Quadratic%20Forms.pdf|doi=10.1007/BF01425486|issn=0020-9910|언어=en|확인날짜=2016년 2월 14일|보존url=https://web.archive.org/web/20160217033631/http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/OberseminarAlgGeo/Literatur/Milnor%20%281969%29,%20Algebraic%20K-Theory%20and%20Quadratic%20Forms.pdf|보존날짜=2016년 2월 17일|url-status=dead}}</ref> 밀너는 이 구성을 고차 <math>n</math>에 대하여 일반화하였는데, 이를 [[밀너 K군]]이라고 한다. 그러나 고차 밀너 K군은 고차 K군과 일반적으로 다르다.

고차 K군의 올바른 정의는 [[대니얼 퀼런]]이 1970년대 초에 발견하였다. 퀼런은 플러스 구성<ref>{{저널 인용|first=Daniel|last= Quillen|저자링크=대니얼 퀼런|title=The spectrum of an equivariant cohomology ring I|journal=Annals of Mathematics|volume= 94|issue=3 |year=1971| pages= 549–572|doi=10.2307/1970770 }}</ref><ref>{{저널 인용|first=Daniel|last= Quillen|저자링크=대니얼 퀼런|title=The spectrum of an equivariant cohomology ring II|journal= Annals of Mathematics|volume= 94|issue=3 |year=1971| pages= 573–602|doi=10.2307/1970771 }}</ref><ref>{{저널 인용|first=Daniel|last= Quillen|저자링크=대니얼 퀼런|title=On the cohomology and K-theory of the general linear groups over a finite field|journal=Annals of Mathematics|volume= 96|issue=3 |year=1972| pages= 552–586|doi=10.2307/1970825}}</ref>과 Q-구성<ref>{{서적 인용|이름=Daniel |성=Quillen|저자링크=대니얼 퀼런|장=Higher algebraic K-theory I|제목=Higher K-theories. Proceedings of the Conference held at the Seattle Research Center of the Battelle Memorial Institute, from August 28 to September 8, 1972|출판사=Springer|날짜=1973|쪽=85–147|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=341|issn=0075-8434|doi=10.1007/BFb0067053|isbn=978-3-540-06434-3|editor1-first=Hyman|editor1-last=Bass|editor1-link=하이먼 배스|언어=en}}</ref>을 정의하였으며, 두 구성이 서로 일치함을 증명하였다.

이후 1985년에 프리트헬름 발트하우젠({{llang|de|Friedhelm Waldhausen}}, 1938~)이 퀼런 Q-구성을 [[호모토피 이론]]적으로 일반화한 S-구성을 발표하였다.<ref>{{서적 인용|이름=Friedhelm|성=Waldhausen|장=Algebraic K-theory of spaces|제목=Algebraic and geometric topology. Proceedings of a Conference held at Rutgers University, New Brunswick, USA, July 6–13, 1983|출판사=Springer|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=1126|날짜=1985|쪽=318-419|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/rutgers/wald.pdf|doi=10.1007/BFb0074449|isbn=978-3-540-15235-4|issn=0075-8434|editor1-first=Andrew|editor1-last=Ranicki|editor2-first=Norman|editor2-last=Levitt|editor3-first=Frank |editor3-last=Quinn|언어=en}}</ref>

=== 그로텐디크 군 ''K'' <sub>0</sub> ===
19세기에 [[베른하르트 리만]]과 그의 학생 [[구스타프 로흐]]는 현재 [[리만-로흐 정리]]로 알려진 것을 증명했다. <math>X</math>가 리만 곡면이면 <math>X</math>의 [[유리형 함수|사상 함수]]와 사상 미분 [[미분 형식|형식]]의 집합은 선형 공간을 형성한다. <math>X</math>의 [[선다발|선 다발]]은 이러한 선형 공간의 부분 공간을 결정하며, <math>X</math>가 사영인 경우 이러한 부분 공간은 유한 차원이다. 리만-로흐 정리에 따르면 이러한 부분 공간 간의 차원 차이는 선 다발의 차수(꼬인 정도 측정)에 1에서 <math>X</math>의 속을 뺀 값과 같다. 20세기 중반에, 리만-로흐 정리는 [[프리드리히 히르체브루흐|프리드리히 히르제브루흐]]에 의해 모든 대수적 다형체로 일반화되었다. 히르체부르흐의 공식화인 [[히르체브루흐-리만-로흐 정리|히르체부르흐–리만-로흐 정리]]에서 정리는 [[오일러 지표|오일러 특성]]에 대한 진술이 되었다. 선형 다발의 [[특성류]]에서 오는 보정 계수를 더한 자명한 다발의 이는 사영 리만 곡면에서 선 다발의 오일러 특성이 앞에서 언급한 차원의 차이와 같고, 자명한 다발의 오일러 특성은 1에서 종수를 뺀 값이고, 유일한 중요하지 않은 특성류는 차수이기 때문에 일반화이다.

<math>K</math>이론의 주제는 히르제브루흐 정리의 일반화인 [[그로텐디크-리만-로흐 정리]]에 등장한 [[알렉산더 그로텐디크]]의 1957년 구성에서 이름을 따왔다.<ref>Grothendieck 1957, Borel–Serre 1958</ref> ''<math>X</math>를'' 매끄러운 대수적 다형체라고 하자. <math>X</math>의 각 선형 다발에 대해 그로텐디크는 불변량인 클래스를 연결한다. <math>X</math>의 모든 클래스 집합은 독일어 ''Klasse''에서 따와 <math>K(X)</math>라고 불렀다. 정의에 따르면, <math>K(X)</math>는 ''<math>X</math>''에 대한 선형 다발의 동치류에 대한 자유 아벨 군의 몫이므로 아벨 군이다. 선형 다발 ''<math>V</math>''에 해당하는 기저 원소가 ''<math>[V]</math>''로 표시된 경우 선형 다발의 각각의 짧은 완전열에 대해:

: <math>0 \to V' \to V \to V'' \to 0,</math>

그로텐디크는 ''<math>[V]=[V']+[V'']</math>'' 관계를 부과했다. 이러한 생성원과의 관계는 <math>K(X)</math>를 정의하며 완전열와 호환되는 방식으로 선형 다발에 불변량을 할당하는 보편적인 방법임을 암시한다.

그로텐디크는 리만-로흐 정리가 다형체 자체가 아니라 다형체의 사상에 대한 진술이라는 관점을 취했다. 그는 [[천 특성류]]와 ''<math>X</math>''의 [[토드 특성류]]에서 오는 ''<math>X</math>''의 [[저우 환|저우 군]]에 대한 <math>K(X)</math>의 동형이 있음을 증명했다. 또한, 그는 적절한 사상 ''<math>f:X\rightarrow Y</math>'' 에서 매끄러운 다형체 <math>Y</math>로 동형  ''<math>f^*:K(X)\rightarrow K(Y)</math>''를 결정한다. 이는 ''앞으로 밂''이라고 한다. 이는 ''<math>X</math>''의 선형 다발에서 <math>Y</math>의 저우 군에 있는 원소를 결정하는 두 가지 방법을 제공한다. ''<math>X</math>''에서 시작하여 먼저 <math>K</math>이론에서 앞으로 밂을 계산한 다음 천 특성와 <math>Y</math>의 토드 특성류를 적용하거나 먼저 천 특성와 ''<math>X</math>''의 토드 특성류를 적용한 다음 저우 군에 대한 앞으로 밂을 계산한다. 그로텐디크-리만-로흐 정리는 이들이 같다고 말한다. <math>Y</math>가 점이면 선형 다발은 선형 공간이고 선형 공간의 클래스는 선형 공간의 차원이며 그로텐디크-리만-로흐 정리는 히르체부르흐 정리에 특화되어 있다.

군 <math>K(X)</math>는 이제 <math>K_0(X)</math>로 알려져 있다. 사영 가군로 선형 다발을 대체할 때 <math>K_0</math>은 또한 비유환 환에 대해 정의되었으며, 여기에서 [[군의 표현|군 표현]]에 적용할 수 있다. [[마이클 아티야|아티야]]와 히르체부르흐는 그로텐디크의 구성을 위상으로 신속하게 전송하고 [[위상 K이론|위상 K-이론]]을 정의하는 데 사용했다.<ref>Atiyah–Hirzebruch 1961</ref> 위상 <math>K</math>이론은 [[코호몰로지|놀라운 코호몰로지 이론]]의 첫 번째 예 중 하나이다. 정규화 공리를 제외한 모든 [[에일렌베르크-스틴로드 공리]]를 만족하는 군 <math>K_n(X)</math>의 열을 각 위상 공간 ''<math>X</math>'' (약간의 기술적 제약을 충족)에 연결한다. 그러나 대수적 다형체의 설정은 훨씬 더 엄격하며 위상 수학에서 사용되는 유연한 구조는 사용할 수 없다. 군 <math>K_0</math>은 대수적 다형체과 비가환 환의 코호몰로지 이론의 시작이 되기 위해 필요한 성질을 만족하는 것처럼 보였지만, 고차 <math>K_n(X)</math>에 대한 명확한 정의는 없었다. 그러한 정의가 개발되더라도 제한 및 접착을 둘러싼 기술적 문제로 인해 일반적으로 <math>K_n</math> 다형체이 아닌 환에 대해서만 정의되었다.

=== ''K''<sub>0</sub>, ''K''<sub>1,</sub> ''K''<sub>2</sub> ===
군환에 대한 <math>K_1</math>과 밀접한 관련이 있는 군은 이전에 [[존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드|J. 화이트헤드]]에 의해 도입되었다. [[앙리 푸앵카레]]는 삼각 분할 측면에서 다양체의 베티 수를 정의하려고 시도했다. 그러나 그의 방법에는 심각한 차이가 있었다. 푸앵카레는 다양체의 두 삼각 분할이 항상 동일한 베티 수를 생성한다는 것을 증명할 수 없었다. 베티 수는 삼각 분할을 세분화하여 변경되지 않았으며, 따라서 공통 세분화를 공유하는 두 삼각 분할은 모두 동일한 베티 수를 가짐이 분명했다. 알려지지 않은 것은 임의의 두 삼각분할이 공통 세분화를 허용한다는 것이다. 이 가설은 ''Hauptvermutung'' (대략 "주요 추측"이라는 뜻)으로 알려진 추측이 되었다. 삼각 분할이 세분화 하에서 안정적이라는 사실은 [[존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드|화이트헤드]]가 단순 호모토피 유형의 개념을 도입하도록 이끌었다.<ref>Whitehead 1939, Whitehead 1941, Whitehead 1950</ref> 단순 호모토피 동치는 각각의 추가 단체 또는 세포 변형이 이전 공간의 세분으로 축소되는 방식으로 단순 복합체 또는 [[CW 복합체|세포 복합체]]에 [[단체 복합체]] 또는 세포를 추가하는 측면에서 정의된다. 이 정의에 대한 동기의 일부는 삼각분할의 세분은 원래 삼각분할과 동일한 단순 호모토피이므로 공통 세분을 공유하는 두 삼각 분할은 단순 호모토피 동치여야 한다는 것이다. 화이트헤드는 비틀림이라고 하는 불변량을 도입하여 단순 호모토피 동치가 호모토피 동치보다 더 세밀한 불변임을 증명했다. 호모토피 동치의 비틀림은 현재 ''화이트헤드 군''이라고 하는 군에서 값을 가지며 <math>\text{Wh}(\pi)</math>로 표시된다. 여기서 <math>\pi</math>는 두 복합체의 기본 군이다. 화이트헤드는 자명하지 않은 비틀림의 예를 발견하여 일부 호모토피 동치성이 단순하지 않음을 증명했다. 화이트헤드 군은 나중에 <math>K_1(\Z\pi)</math>의 몫인 것으로 밝혀졌다. 여기서 <math>\Z\pi</math><math>\Z \pi</math>는 <math>\pi</math>의 정수 [[군환]]이다. 나중에 [[존 밀너]]는 주요 추측(Hauptvermutung)을 반증하기 위해 화이트헤드 비틀림과 관련된 불변량인 [[라이데마이스터 비틀림]]을 사용했다.

환의 <math>K_1</math>에 대한 최초의 적절한 정의는 [[하이먼 배스]]와 [[스티븐 섀뉴얼]]에 의해 만들어졌다.<ref>Bass–Schanuel 1962</ref> 위상 ''<math>K</math>'' 이론에서 <math>K_1</math>은 공간의 [[현수 (위상수학)|현수]]에 있는 선형 다발을 사용하여 정의된다. 이러한 모든 선형 다발은 공간의 두 절반에 있는 두 개의 자명한 선형 다발이 공간의 공통 띠를 따라 접착되는 클러칭 구성에서 나온다. 이 접착 데이터는 [[일반선형군]]을 사용하여 표현되지만 기본 행렬(기본 행 또는 열 작업에 해당하는 행렬)에서 나오는 해당 군의 원소는 동등한 접착을 정의한다. 이에 동기를 부여하여 환 ''<math>R</math>''의 <math>K_1</math>에 대한 배스-섀뉴얼의 정의 ''<math>\text{GL}(R)/E(R)</math>''이며, 여기서 ''<math>\text{GL}(R)</math>''은 무한 일반 선형 군(모든 ''<math>\text{GL}_n(R)</math>''의 합집합)이고 ''<math>E(R)</math>''는 기본 행렬의 부분 군이다. 그들은 또한 환의 동형에 대한 <math>K_0</math>의 정의를 제공하고 <math>K_0</math>과 <math>K_1</math>이 상대적인 호몰로지 정확한 서열과 비슷한 정확한 서열에 함께 맞을 수 있음을 증명했다.

이 기간의 ''<math>K</math>''이론 작업은 배스의 책 ''Algebraic'' K ''이론'' 에서 최고조에 달했다.<ref>Bass 1968</ref> 당시 알려진 결과에 대한 일관된 설명을 제공하는 것 외에도 배스는 정리의 많은 진술을 개선했다. 특히 주목할 점은 배스가 무티와의 초기 작업을 기반으로<ref>Bass–Murthy 1967</ref> 현재 '''대수 <nowiki><i id="mw8Q">K</i></nowiki> 이론의 기본 정리'''로 알려진 것의 첫 번째 증명을 제공했다는 것이다. 이것은 환 ''<math>R</math>''의 <math>K_0</math>을 ''<math>R</math>''의 <math>K_1</math>, [[다항식]] 환 ''<math>R[t]</math>''및 국소화 ''<math>R[t,t^{-1}]</math>''과 관련시키는 4항 완전열이다. 배스는 이 정리가 <math>K_1</math>의 관점에서 <math>K_0</math>에 대한 설명을 제공한다는 것을 인식했다. 이 설명을 재귀적으로 적용하여 음수 <math>K</math>군 <math>K_{-n}(R)</math>을 생성했다. 독립적인 작업에서 막스 카루비는 특정 범주에 대해 음의 <math>K</math>군에 대한 또 다른 정의를 제공하고 그의 정의가 배스와 동일한 군을 산출함을 증명했다.<ref>Karoubi 1968</ref>

이 주제의 다음 주요 발전은 <math>K_2</math>의 정의와 함께 이루어졌다. 스타인버그는 체에 대한 셰발리 군의 보편적 중심 확대를 연구하고 생성자와 관계 측면에서 이 군을 명시적으로 제시했다.<ref>Steinberg 1962</ref> 기본 행렬의 군 <math>E_n(k)</math>의 경우, 보편 중심 확대는 이제 <math>\text{St}_n(k)</math>로 쓰여지고 ''스타인버그 군''이라고 불린다. 1967년 봄에 [[존 밀너]]는 <math>K_2(R)</math>을 동형사상 <math>\text{St}(R)\rightarrow E(R)</math>의 핵심으로 정의했다.<ref>Milnor 1971</ref> 군 <math>K_2</math>는 <math>K_1</math>과 <math>K_0</math>에 대해 알려진 완전열의 일부를 더 확장했으며 정수론에 놀라운 응용을 가졌다. 히데야 마츠모토의 1968년 논문<ref>Matsumoto 1969</ref>은 체 ''<math>F</math>'' 에 대해 <math>K_2(F)</math>가 다음과 동형임을 보여주었다.

: <math>F^\times \otimes_{\mathbf{Z}} F^\times / \langle x \otimes (1 - x) \colon x \in F \setminus \{0, 1\} \rangle.</math>

이 관계는 [[국소체]]에 대한 2차 방정식의 해결 가능성을 나타내는 [[힐베르트 기호]]로도 충족된다. 특히 [[존 테이트]]는 <math>K_2(\Q) </math>가 본질적으로 [[이차 상호 법칙]]을 중심으로 구조화되어 있음을 증명할 수 있었다.

=== 고차 ''K''군 ===
1960년대 말과 1970년대 초에 고차 ''<math>K</math>''이론에 대한 몇 가지 정의가 제안되었다. 스완<ref>Swan 1968</ref>과 게르스텐<ref>Gersten 1969</ref>은 모두 모든 ''<math>n</math>''에 대한 ''<math>K_n</math>''의 정의를 만들었고 게르스텐은 그의 이론과 스완의 이론이 동등하다는 것을 증명했지만 두 이론이 모든 예상 성질 ''을'' 만족시키는 것으로 알려지지 않았다. Nobile과 빌라메이어는 또한 고차 ''<math>K</math>''군의 정의를 제안했다.<ref>Nobile–Villamayor 1968</ref> 카루비와 빌라메이어는 모든 ''<math>n</math>''에 대해 얌전한 ''<math>K</math>''군을 정의했지만<ref>Karoubi–Villamayor 1971</ref> <math>K_1</math>에 해당하는 군은 때때로 배스-섀뉴얼 <math>K_1</math>의 적절한 몫이었다. 그들의 ''<math>K</math>''군은 이제 ''<math>KV_n</math>''이라 불리며 ''<math>K</math>''이론의 호모토피 불변 수정과 관련이 있다.

부분적으로 마츠모토의 정리에서 영감을 받아 밀너는 체의 상위 ''<math>K</math>''군에 대한 정의를 만들었다.<ref>Milnor 1970</ref> 그는 자신의 정의를 "순전히 ''임시방편'' "으로 언급했으며<ref>Milnor 1970, p. 319</ref> 모든 환에 일반화되는 것처럼 보이지 않았고 고차 ''<math>K</math>''체 이론의 올바른 정의인 것처럼 보이지도 않았다. 훨씬 후에 네스터렌코와 수슬린<ref>Nesterenko–Suslin 1990</ref> 그리고 토타로<ref>Totaro 1992</ref>에 의해 밀너 ''<math>K</math>''이론이 실제로 체의 진정한 ''<math>K</math>''이론의 직접 요약이라는 것을 발견했다. 구체적으로, ''<math>K</math>''군은 ''가중치 여과''라는 여과를 가지며, 체의 밀너 ''<math>K</math>''이론은 ''<math>K</math>''이론 중 가장 높은 가중치 등급 조각이다. 또한 토마슨은 일반적인 다형체에 대한 밀너 ''<math>K</math>''이론의 유사성이 없다는 것을 발견했다.<ref>Thomason 1992</ref>

널리 받아들여지는 고차 ''<math>K</math>''이론의 첫 번째 정의는 [[대니얼 퀼런]]의 정의였다.<ref>Quillen 1971</ref> 위상 수학의 [[J-준동형|아담스 추측]]에 대한 퀼런의 작업의 일부로, 그는 [[분류 공간]] <math>B\operatorname{GL}(\mathbb F_q)</math>에서 {{개행 금지|''ψ''<sup>''q''</sup> &minus; 1}}의 호모토피 올로 사상을 구성했다. 여기서 ''ψ'' <sup>''q''</sup> 는 분류 공간 ''BU''에 작용하는 ''q'' 번째 아담스 연산이다. 이 사상은 비순환적이며 <math>B\operatorname{GL}(\mathbb F_q)</math>을 약간 수정하여 새로운 공간 <math>B\operatorname{GL}(\mathbb F_q)^+</math>를 생성한 후 사상은 호모토피 동치가 되었다. 이 수정을 플러스 구성이라고 한다. 아담스 연산은 그로텐디크의 작업 이후 천 특성류 및 ''<math>K</math>''이론과 관련이 있는 것으로 알려졌으므로 퀼런은 ''R'' 의 ''<math>K</math>''이론을 <math>B\operatorname{GL}(R)^+</math>의 호모토피 군으로 정의하게 되었다. 이것은 <math>K_1</math>과 <math>K_2</math>를 복구했을 뿐만 아니라, ''<math>K</math>''이론과 아담스 연산의 관계로 인해 퀼런은 유한 체의 ''<math>K</math>''군을 계산할 수 있었다.

분류 공간 ''<math>B\operatorname{GL}</math>''이 연결되어 있으므로 퀼런의 정의는 <math>K_0</math>에 대한 올바른 값을 제공하지 못했다. 또한 음수 ''<math>K</math>''군도 제공하지 않았다. <math>K_0</math>이 알려지고 수용된 정의를 가지고 있기 때문에 이 어려움을 피할 수 있었지만 여전히 기술적으로 어색했다. 개념적으로 문제는 정의가 전통적으로 <math>K_1</math>의 소스인 ''<math>\operatorname{GL}</math>''에서 파생되었다는 것이다. ''<math>\operatorname{GL}</math>''은 선형 다발 자체가 아니라 접착 선형 다발에 대해서만 알고 있기 때문에 <math>K_0</math>을 설명하는 것이 불가능했다.

퀼런과의 대화에서 영감을 얻은 세갈은 곧 ''<math>\Gamma</math>''-대상이라는 이름으로 대수 ''<math>K</math>''이론을 구성하는 또 다른 접근 방식을 도입했다.<ref>Segal 1974</ref> 세갈의 접근 방식은 그로텐디크의 <math>K_0</math> 구성의 호모토피 버전이다. 그로텐디크가 다발의 동치류로 작업한 것을 세갈은 다발 자체로 작업하고 다발의 동형을 데이터의 일부로 사용했다. 그 결과 호모토피 군이 고차 ''<math>K</math>''군(<math>K_0</math> 포함)인 [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]]이 생성된다. 그러나 세갈의 접근 방식은 일반적인 완전열이 아니라 분할된 완전열에 대한 관계만 부과할 수 있었다. 환 위의 사영 가군 범주에서 모든 짧은 완전열이 분할되므로 ''<math>\Gamma</math>''대상를 사용하여 환의 ''<math>K</math>''이론을 정의할 수 있다. 그러나 다양한 선형 다발 범주와 환 위의 모든 가군 범주에는 분할되지 않은 짧은 완전열가 있으므로 세갈의 접근 방식은 모든 관심 사례에 적용되지 않았다.

1972년 봄, 퀼런은 엄청난 성공을 거둔 고차 ''<math>K</math>''이론의 구성에 대한 또 다른 접근법을 발견했다. 이 새로운 정의는 가군 또는 선형 다발의 범주에 의해 충족되는 성질과 비슷하지만 약간 약한 특정 형식 성질을 충족하는 범주인 [[퀼런 완전 범주|완전 범주]]로 시작되었다. 이것으로부터 그는 "''<math>Q</math>''-구성"이라는 새로운 장치를 사용하여 보조 범주를 구성했다. 세갈의 ''<math>\Gamma</math>'' 대상과 마찬가지로 ''<math>Q</math>''-구성은 그로텐디크의 <math>K_0</math>의 정의에 뿌리를 두고 있다. 그러나 그로텐디크의 정의와 달리 ''Q'' -구조는 아벨 군이 아닌 범주를 만들고 세갈의 ''<math>\Gamma</math>''-대상과 달리 ''<math>Q</math>'' -구조는 짧은 완전열로 직접 작동한다. ''C가'' 아벨 범주인 경우 ''QC는'' ''C'' 와 동일한 대상이 있지만 사상이 ''C''의 짧은 완전열로 정의되는 범주이다. 완전 범주의 ''<math>K</math>''군은 [[단체 집합|기하학적 실현]]의 [[고리 공간|루프 공간]]인 ''<math>\Omega BQC</math>''의 호모토피 군이다(루프 공간을 취하면 첨자가 수정됨). 퀼런은 ''<math>K</math>''이론에 대한 그의 두 가지 정의가 서로 일치한다는 그의 "{{개행 금지|+ {{=}} ''Q''}} 정리"를 추가로 증명했다. 이것은 올바른 <math>K_0</math>를 산출하고 더 간단한 증명으로 이어졌지만 여전히 음의 ''<math>K</math>''군을 산출하지 못했다.

모든 아벨 범주는 완전 범주이지만 모든 완전 범주가 아벨 범주는 아니다. 퀼런은 이 보다 일반적인 상황에서 작업할 수 있었기 때문에 완전 범주를 증명 도구로 사용할 수 있었다. 이 기술을 통해 그는 대수적 ''<math>K</math>'' 이론의 많은 기본 정리를 증명할 수 있었다. 또한 스완과 게르스텐의 이전 정의가 특정 조건에서 퀼런의 정의와 동일함을 증명하는 것이 가능했다.

''<math>K</math>''이론은 이제 환에 대한 호몰로지 이론과 다형체에 대한 코호몰로지 이론으로 나타났다. 그러나 많은 기본 정리는 문제의 환 또는 다형체가 규칙적이라는 가설을 가지고 있다. 기본적으로 예상되는 관계 중 하나는 다양한 ''<math>X</math>'' 및 열린 부분 집합 ''<math>U</math>''의 ''<math>K</math>''이론과 관련된 긴 완전열("국소화 열"라고 함)였다. 퀼런은 완전히 일반적으로 국소화 열의 존재를 증명할 수 없었다. 그러나 그는 ''<math>G</math>''이론(또는 때때로 ''<math>K</math>''이론)이라는 관련 이론에 대한 존재를 증명할 수 있었다. ''<math>G</math>''이론은 그로텐디크에 의해 주제 발전 초기에 정의되었다. 그로텐디크는 다양한 ''<math>X</math>''에 대해 ''<math>X</math>''에 대한 연접층의 동치류에 대한 자유 아벨 군, 연접층의 완전열에서 오는 가군으로 관계에 대해 ''<math>G_0(X)</math>''를 정의했다. 후기 수학자들에 의해 채택된 범주론적 틀에서 다형체의 ''<math>K</math>''이론은 선형 다발 범주의 ''<math>K</math>''이론인 반면, ''<math>G</math>'' 이론은 연접층 범주의 ''<math>K</math>''이론이다. 퀼런은 ''<math>G</math>'' 이론에 대한 국소화 완전열의 존재를 증명할 수 있었을 뿐만 아니라 일반 환 또는 다형체의 경우 ''<math>K</math>''이론이 ''<math>G</math>'' 이론과 동일하므로 일반 다형체의 ''<math>K</math>''이론이 국소화 완전열를 가짐을 증명할 수 있었다. 이 순서는 주제의 많은 사실에 기본이 되었기 때문에 규칙성 가설은 고차 ''<math>K</math>''이론에 대한 초기 작업에 널리 퍼졌다.

=== 위상 수학에서 대수 ''K''이론의 응용 ===
대수적 ''<math>K</math>''이론을 위상 수학에 가장 먼저 적용한 것은 화이트헤드의 화이트헤드 비틀림 구성이었다. 밀접하게 관련된 구조는 1963년 [[찰스 테런스 클레그 월]]에 의해 발견되었다.<ref>Wall 1965</ref> 월은 유한 복소수에 의해 지배되는 공간 ''<math>\pi</math>''가 <math>K_0(\Z\pi)</math>의 몫에서 값을 갖는 일반화된 오일러 특성을 갖는다는 것을 발견했다. 여기서 ''<math>\pi</math>''는 공간의 기본 군이다. 이 불변량은 ''Wall's finiteness obstruction''이라고 불린다. 왜냐하면 ''<math>X</math>''는 불변량이 사라지는 경우에만 유한 복소수와 동등한 호모토피이기 때문이다. 로랑 지벤만은 자신의 논문에서 경계가 있는 콤팩트 다양체의 내부인 열린 다양체에 장애물을 제공하는 월과 비슷한 불변량을 발견했다.<ref>Siebenmann 1965</ref> 경계가 ''<math>M</math>'' 및 ''<math>N</math>''인 두 다양체가 동형 내부(적절한 경우 TOP, PL 또는 DIFF에서)를 갖는 경우 이들 사이의 동형사상은 ''<math>M</math>''과 ''<math>N</math>'' 사이의 ''h'' -보충 경계를 정의한다.

화이트헤드 비틀림은 결국 보다 직접적인 ''<math>K</math>''이론적 방식으로 재해석되었다. 이러한 재해석은 [[H-보충 경계|''h'' -보충 경계]] 연구를 통해 이루어졌다. 경계가 ''<math>M</math>''과 ''<math>N</math>''의 서로소 합집합이고 ''<math>W</math>''에 대한''<math>M</math>''과 ''<math>N</math>''의 포함이 호모토피 동치인 경계 ''<math>W</math>''를 가진 (n + 1)차원 다양체가 존재한다면, n차원 다양체 ''<math>M</math>''과 ''<math>N</math>''은 h-cobordant이다.이다.(TOP, PL 또는 DIFF 범주에서). [[스티븐 스메일]]의 ''h'' -보충 경계 정리<ref>Smale 1962</ref>는 ''<math>n\geq 5</math>'', ''<math>W</math>''가 콤팩트하고 ''<math>M</math>'', ''<math>N</math>'' 및 ''<math>W</math>''가 단순히 연결된 경우 ''<math>W</math>''는 원통 ''<math>M\times[0,1]</math>''과 동형이라고 주장했다(TOP에서, PL 또는 DIFF 중 적절함). 이 정리는 ''<math>n\geq 5</math>''에 대한 [[푸앵카레 추측]]을 증명했다.

''<math>M</math>''과 ''<math>N</math>''이 단순 연결되어 있다고 가정하지 않으면 ''h'' -보충 경계는 원통일 필요가 없다. 독립적으로 마주르,<ref>Mazur 1963</ref> Stallings 및 바르덴에 의한<ref>Barden 1963</ref> ''s-''보충 경계 정리는 일반적인 상황을 설명한다. ''h'' -보충 경계는 포함 관계 ''<math>M\subset W</math>''의 화이트헤드 비틀림이 사라질 때, 그리고 그 때에만 원통이다. 이것은 단순 연결성 가설이 관련 화이트헤드 군이 자명하다는 것을 암시하기 때문에 ''h'' -보충 경계 정리를 일반화한다. 사실 ''s'' -보충 경계 정리는 ''h'' -보충 경계의 동치류와 화이트헤드 군의 원소 사이에 전단사 대응이 있음을 의미한다.

''h'' -보충 경계의 존재와 관련된 명백한 질문은 그들의 고유성이다. 등가의 자연스러운 개념은 동위 [[호모토피|원소]]이다. 진 세르프는 차원이 최소 5인 ''<math>M</math>''차원의 단순하게 연결된 매끄러운 다양체에 대해 ''h'' -보충 경계의 동위 원소는 준등방성이라는 약한 개념과 같다는 것을 증명했다.<ref>Cerf 1970</ref> 해쳐와 Wagoner는 유사 동위원소 공간의 구성 원소를 연구하고 이를 <math>K_0(\Z\pi)</math>의 몫과 연관시켰다.<ref>Hatcher and Wagoner 1973</ref>

''s'' -보충 경계 정리에 대한 적절한 문맥은 ''h'' -보충 경계의 분류 공간이다. ''<math>M</math>''이 CAT 다양체이면 ''H'' <sup>CAT</sup> ( ''M'' )은 ''<math>M</math>''에서 ''h'' -보충 경계의 다발을 분류하는 공간이다. ''s'' -보충 경계 정리는 이 공간의 연결된 구성원소 집합이''<math>\pi_1(M)</math>''의 화이트헤드 군이라는 진술로 재해석될 수 있다. 이 공간에는 화이트헤드 군보다 더 많은 정보가 포함되어 있다. 예를 들어, 자명한 보충 경계의 연결된 구성 원소는 ''<math>M</math>''의 가능한 원통를 설명하고 특히 다양체와 ''<math>M\times[0,1]</math>'' 사이의 호모토피의 유일성을 방해한다. 이러한 질문에 대한 고려를 통해 발트하우젠은 공간에 대한 대수적 ''<math>K</math>''이론을 도입했다.<ref>Waldhausen 1978</ref> ''<math>M</math>''의 대수적 ''<math>K</math>''이론은 <math>K_1(\Z\pi_1(M))</math>이 ''<math>M</math>''에 대해 수행하는 것과 본질적으로 고차 ''<math>K</math>''군에 대해 동일한 역할을 수행하도록 정의되는 공간 ''<math>A(M)</math>''이다. 특히, 발트하우젠은 사상 ''<math>K_1(\Z\pi_1(M))\rightarrow \text{Wh}(\pi_1(M))</math>''일반화 하고 이의 호모토피 올이 호몰로지 이론이다.

''<math>A</math>'' 이론을 완전히 발전시키기 위해 발트하우젠은 ''<math>K</math>''이론의 토대에서 상당한 발전을 이루었다. 발트하우젠은 발트하우젠 범주를 도입했고 발트하우젠 범주 ''<math>\mathcal C</math>''에 대해 그는 ''<math>\mathcal C</math>''에서 여올화 사슬로 정의된 간단한 범주 ''<math>\mathcal S.\mathcal C</math>'' (''<math>\mathcal S</math>''는 세갈을 나타냄)를 도입했다.<ref>Waldhausen 1985</ref> 이것은 완전열의 아날로그를 불러올 필요로부터 ''<math>K</math>''이론의 기초를 해방시켰다.

=== 대수적 ''K'' 이론에서의 대수적 위상 수학와 대수 기하학 ===
퀼런은 그의 학생인 케네스 브라운에게 ''<math>K</math>''이론이 예를 제공할 [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]] [[층 (수학)|층]] 이론을 만드는 것이 가능할 것이라고 제안했다. ''<math>K</math>''이론 스펙트럼 층은 다양한 열린 부분 집합 각각에 해당 열린 부분 집합의 ''<math>K</math>''이론을 연관시킨다. 브라운은 그의 논문을 위해 그러한 이론을 발전시켰다. 동시에 게르스텐도 같은 생각을 가지고 있었다. 1972년 가을 시애틀 회의에서 그들은 <math>\mathcal K_n</math>의 층 코호몰로지에서 수렴하는 [[스펙트럼 열]]을 함께 발견했다. 전체 공간의 ''<math>K</math>''군에 대한 ''X''의 ''<math>K_n</math>''군의 층. 이것은 현재 [[Brown–Gersten spectral sequence|브라운–게르스텐 스펙트럼 열]]라고 한다.<ref>Brown–Gersten 1973</ref>

''<math>K</math>''군의 층에 대한 게르스텐의 작업에 영향을 받은 스펜서 블로흐는 규칙적인 곡면에서 코호몰로지 군 <math>H^2(X, \mathcal K_2)</math>이 ''<math>X</math>''에서 여차원 2인 순환의 저우 군 <math>CH^2(X)</math>와 동형이다.<ref>Bloch 1974</ref> 이에 영감을 받아 게르스텐은 [[분수체]] ''<math>F</math>''가 있는 [[정칙 국소환|정칙 국소 환]] ''<math>R</math>''에 대해 ''<math>K_n(R)</math>''이 모든 ''<math>n</math>''에 대해 ''<math>K_n(F)</math>''에 삽입된다고 추측했다. 곧 퀼런은 ''<math>R</math>''이 체를 포함할 때 이것이 사실임을 증명했고<ref>Quillen 1973</ref> 이를 사용하여 모든 ''<math>p</math>''에 대해 다음을 증명했다.

: <math>H^p(X, \mathcal K_p) \cong \operatorname{CH}^p(X)</math>

이것은 ''블로흐의 공식''으로 알려져 있다. 그 이후로 게르스텐의 추측에 진전이 있었지만 일반적인 경우는 여전히 미해결이다.

리히텐바움은 숫자 체의 제타 함수의 특수 값이 체의 정수 환의 ''<math>K</math>''군으로 표현될 수 있다고 추측했다. 이러한 특별한 값은 정수 환의 [[에탈 코호몰로지]]와 관련이 있는 것으로 알려져 있다. 따라서 퀼런은 리히텐바움의 추측을 일반화하여 위상 ''<math>K</math>''이론에서 아티야-히르체부르흐 스펙트럼 열과 같은 스펙트럼 열의 존재를 예측했다.<ref>Quillen 1975</ref> 퀼런이 제안한 스펙트럼 열은 환 ''<math>R</math>''의 에탈 코호몰로지에서 시작하여 ''<math>R</math>''의 ''<math>K</math>''이론의 {{수학 변수|l}}-adic 완성에 접하는 ''<math>R</math>''에서 반전할 수 있는 소수 {{수학 변수|l}}에서 완료한 후 충분히 높은 각도에서 시작한다. 리히텐바움이 연구한 사례에서 스펙트럼 열은 퇴화하여 리히텐바움의 추측을 산출한다.

소수 {{수학 변수|l}}에 국한해야 할 필요성은 브로우더에게 유한 계수가 있는 ''<math>K</math>''이론의 변형이 있어야 한다고 제안했다.<ref>Browder 1976</ref> 그는 ''<math>\Z/l\Z</math>'' 선형 공간인 ''<math>K</math>''이론 군 ''<math>K_n(R;\Z/l\Z)</math>''를 도입했으며 위상 ''<math>K</math>''이론에서 보트 원소의 아날로그를 발견했다. Soule은 이 이론을 사용하여 대수 ''<math>K</math>''이론의 원소를 [[에탈 코호몰로지]]의 동치류로 가져간 위상 수학 천 특성류의 아날로그인 "에탈 [[천 특성류]]"를 구성했다.<ref>Soulé 1979</ref> 대수적 ''<math>K</math>''이론과 달리, 에탈 코호몰로지는 계산 가능성이 높으므로 에탈 천 특성류는 ''<math>K</math>''이론의 원소 존재를 감지하는 데 효과적인 방법을 제공했다. 윌리엄 G. 드와이어와 에릭 프리드랜더는 에탈 ''<math>K</math>''이론이라는 에탈 위상 수학를 위한 ''<math>K</math>''이론을 발명했다.<ref>Dwyer–Friedlander 1982</ref> 복소수에 대해 정의된 다형체의 경우, 에탈 ''<math>K</math>''이론은 위상 ''<math>K</math>''이론과 동형이다. 더욱이 에탈 ''<math>K</math>''이론은 퀼런이 추측한 것과 비슷한 스펙트럼 열를 인정했다. 토마슨은 1980년경 보트 원소를 뒤집은 후 유한 계수를 갖는 대수 ''<math>K</math>''이론이 에탈 ''<math>K</math>''이론과 동형이 된다는 것을 증명했다.<ref>Thomason 1985</ref>

1970년대와 1980년대 초반에 걸쳐 단수 다형체에 대한 ''K'' 이론은 여전히 충분한 토대가 부족했다. 퀼런의 ''K-'' 이론이 올바른 군을 제공한다고 믿었지만 이러한 군이 예상되는 성질을 모두 가지고 있는지는 알려지지 않았다. 이를 위해 대수 ''<math>K</math>''이론을 재구성해야 했다. 이것은 토마슨이 그의 죽은 친구 토마스 트로바우에게 공동 공로를 인정한 긴 논문에서 이루어졌다. 그는 꿈에서 그에게 핵심 아이디어를 주었다고 말했다.<ref>Thomason and Trobaugh 1990</ref> 토마슨은 발트하우젠의 ''<math>K</math>''이론 구성을 그로텐디크의 Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 6권에 설명된 교차 이론의 기초와 결합했다. 거기에서 ''<math>K_0</math>''은 대수적 다형체에 대한 다발의 복소수로 설명되었다. 토마슨은 층들의 [[유도 범주]]에서 작업하는 경우 다발의 복합체이 다형체의 열린 부분 집합에서 전체 다형체로 확장될 수 있는 경우에 대한 간단한 설명이 있음을 발견했다. 발트하우젠의 ''<math>K</math>''이론 구성을 유도 범주에 적용함으로써 토마슨은 대수적 ''<math>K</math>''이론이 코호몰로지 이론의 모든 예상 성질을 가짐을 증명할 수 있었다.

1976년에 케이스 데니스는 [[호흐실트 호몰로지]]를 기반으로 ''<math>K</math>''이론을 계산하는 완전히 새로운 기술을 발견했다.<ref>Dennis 1976</ref> 이것은 ''<math>K</math>''이론에서 호흐실트 호몰로지에 이르는 동형사상인 데니스 대각합 사상의 존재를 기반으로 한다. 데니스 대각합 사상은 유한 계수가 있는 ''<math>K</math>''이론의 계산에 성공한 것처럼 보였지만 합리적인 계산에는 덜 성공적이었다. 굿윌리는 그의 "함수 계산법"에 동기를 부여받아 ''<math>K</math>''이론과 호흐실트 상동론의 중간 이론의 존재를 추측했다. 그는 이 이론을 위상 수학적 호흐실트 호몰로지이라고 불렀는데, 그 이유는 그것의 그라운드 환이 구형 스펙트럼이어야 하기 때문이다(호모토피를 기준으로 연산이 정의되는 환으로 본다). 1980년대 중반에 복스테트는 거의 모든 굿윌리의 추측 성질을 만족시키는 위상학적 호흐실트 호몰로지를 정의했으며, 이는 ''<math>K</math>''군의 추가 계산을 가능하게 했다.<ref>Bokstedt 1986</ref> 데니스 대각합 사상의 복스테트 버전은 스펙트럼 ''<math>K\rightarrow THH</math>'' 의 변환이었다. 이 변환은 [[순환 호몰로지]]와의 관계를 제안하는 ''THH'' 에 대한 원형 작용의 고정점을 통해 고려되었다. [[노비코프 추측]]의 대수적 ''<math>K</math>''이론적 유추를 증명하는 과정에서 복스테트, 샹 및 메드센은 호흐실트 호몰로지에 대한 순환 호몰로지과 동일한 관계를 갖는 위상적 호흐실트 호몰로지를 갖는 위상 순환 호몰로지를 도입했다.<ref>Bokstedt–Hsiang–Madsen 1993</ref> 데니스는 위상 수학적 순환 호몰로지를 통해 위상 수학적 호흐실트 호몰로지에 사상하여 훨씬 더 자세한 계산 도구를 제공한다. ''1996''년에 둔다스, 굿윌리, 맥카티는 위상 순환 호몰로지이 정확한 의미에서 대수적 ''<math>K</math>''이론과 동일한 국소 구조를 갖는다는 것을 증명했다. "계산이 이어진다.<ref>Dundas–Goodwillie–McCarthy 2012</ref>

== 같이 보기 ==
* [[K이론]]
* [[위상 K이론]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=The ''K''-book: an introduction to algebraic ''K''-theory|이름=Charles A.|성=Weibel|isbn=978-0-8218-9132-2|출판사=American Mathematical Society|날짜=2013-05-18|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=145|url=https://math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html|언어=en|zbl=1273.19001 }}
* {{서적 인용|제목=Algebraic ''K''-theory and its applications|이름=Jonathan|성=Rosenberg|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=147|날짜=1994|doi=10.1007/978-1-4612-4314-4|isbn=978-1-4612-8735-3|출판사=Springer|issn=0072-5285|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Vasudevan|성=Srinivas|제목=Algebraic K-theory|총서=Progress in Mathematics|권=90|출판사=Birkhäuser|날짜=1996|mr=1382659|doi=10.1007/978-0-8176-4739-1|isbn=978-0-8176-4736-0|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Handbook of ''K''-theory|editor1-first=Eric M.|editor1-last=Friedlander|editor2-first=Daniel R.|editor2-last=Grayson|isbn=978-3-540-23019-9|doi=10.1007/978-3-540-27855-9|날짜=2005|출판사=Springer|url=http://www.math.illinois.edu/K-theory/handbook/|언어=en|access-date=2016-02-15|archive-date=2015-12-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20151219232613/http://www.math.illinois.edu/K-theory/handbook/|url-status=}}
** {{서적 인용|이름=Gunnar|성=Carlsson|장=Deloopings in algebraic ''K''-theory|장url=http://www.math.illinois.edu/K-theory/handbook/1-003-038.pdf|제목=Handbook of ''K''-theory|editor1-first=Eric M.|editor1-last=Friedlander|editor2-first=Daniel R.|editor2-last=Grayson|isbn=978-3-540-23019-9|doi=10.1007/978-3-540-27855-9_1|날짜=2005|출판사=Springer|쪽=3–37|언어=en|access-date=2016-02-15|archive-date=2015-05-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20150514040642/http://www.math.illinois.edu/K-theory/handbook/1-003-038.pdf|url-status=}}
** {{서적 인용|이름=Charles|성=Weibel|장=Algebraic ''K''-theory of rings of integers in local and global fields|장url=http://www.math.illinois.edu/K-theory/handbook/1-139-190.pdf|제목=Handbook of ''K''-theory|editor1-first=Eric M.|editor1-last=Friedlander|editor2-first=Daniel R.|editor2-last=Grayson|isbn=978-3-540-23019-9|doi=10.1007/978-3-540-27855-9_5|날짜=2005|출판사=Springer|쪽=139–190|언어=en|access-date=2016-02-15|archive-date=2015-05-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20150514040652/http://www.math.illinois.edu/K-theory/handbook/1-139-190.pdf|url-status=}}
* {{서적 인용|제목=Topics in algebraic and topological ''K''-theory|총서=Lecture Notes in Mathematics|issn=0075-8434|권=2008|doi=10.1007/978-3-642-15708-0|isbn=978-3-642-15707-3|출판사=Springer|날짜=2011|editor1-first=Guillermo|editor1-last=Cortiñas|언어=en}}
** {{서적 인용|이름=Marco|성=Schlichting|장=Higher algebraic K-theory (after Quillen, Thomason and others)|제목=Topics in algebraic and topological ''K''-theory|총서=Lecture Notes in Mathematics|issn=0075-8434|권=2008|쪽=167–241|doi=10.1007/978-3-642-15708-0_4|isbn=978-3-642-15707-3|출판사=Springer|url=http://homepages.warwick.ac.uk/~masiap/research/SedanoSLN2008.pdf|날짜=2011|editor1-first=Guillermo|editor1-last=Cortiñas|언어=en}}
** {{서적 인용|장=Algebraic v. topological ''K''-theory: a friendly match|이름=Guillermo|성=Cortiñas
|제목=Topics in algebraic and topological ''K''-theory|총서=Lecture Notes in Mathematics|issn=0075-8434|권=2008|쪽=103–165|doi=10.1007/978-3-642-15708-0_3|arxiv=0903.3983|bibcode=2009arXiv0903.3983C|isbn=978-3-642-15707-3|출판사=Springer|날짜=2011|editor1-first=Guillermo|editor1-last=Cortiñas|언어=en|zbl=1216.19002|mr=2762555}}
* {{서적 인용|제목=Higher regulators, algebraic ''K''-theory, and zeta functions of elliptic curves|이름= Spencer J.|성=Bloch|총서=Centre de Recherches Mathématiques Monograph Series|권=11|url=http://bookstore.ams.org/crmm-11/|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-2973-8|날짜=2000|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Algebraic ''K''-theory of rings from a topological viewpoint|이름=Dominique|성=Arlettaz|총서=Publications Matemàtiques|권=44|호=1|쪽=3–84|mr=1775748|zbl=0956.19003|날짜=2000|url=http://dmle.cindoc.csic.es/revistas/detalle.php?numero=3908|issn=0214-1493|언어=en|확인날짜=2016-02-15|보존url=https://web.archive.org/web/20120704114209/http://dmle.cindoc.csic.es/revistas/detalle.php?numero=3908#|보존날짜=2012-07-04|url-status=dead}}
* {{저널 인용|제목=18 lectures on ''K''-Theory|이름=Ioannis P.|성=Zois|arxiv=1008.1346|bibcode=2010arXiv1008.1346Z|날짜=2010-08|언어=en}}
* {{서적 인용|장=The development of algebraic K-theory before 1980|이름=Charles A.|성=Weibel|장url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0343/|제목=Algebra, ''K''-theory, groups, and education: on the occasion of Hyman Bass’s 65th birthday|url=http://bookstore.ams.org/conm-243/|총서=Contemporary Mathematics|권=243|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-1087-3|날짜=1999|editor1-first= T. Y.|editor1-last=Lam|editor2-first=A. R.|editor2-last=Magid|쪽=211–238|doi=10.1090/conm/243/03695|mr=1732049|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Hyman|성=Bass|저자링크=하이먼 배스|장=Algebraic ''K''-theory: a historical survey|장url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1974.1/Main/icm1974.1.0277.0284.ocr.pdf|제목=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vancouver, 1974. Volume 1|쪽=277–283|isbn=0-919558-04-6|editor1-first=Ralph Duncan|editor1-last=James|출판사=Canadian Mathematical Congress|날짜=1975|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1974.1/Main/icm1974.1.0277.0284.ocr.pdf }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Algebraic K-theory}}
* {{nlab|id=algebraic K-theory|title=Algebraic K-theory}}
* {{nlab|id=Quillen Q-construction}}
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* {{nlab|id=K-theory of a stable (infinity,1)-category}}
** {{nlab|id=Waldhausen (infinity,1)-category}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/364/motivation-for-algebraic-k-theory|제목=Motivation for algebraic K-theory|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/1006/motivation-interpretation-for-quillens-q-construction|제목=Motivation/interpretation for Quillen's Q-construction|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:K이론]]
[[분류:대수기하학]]