대수적 순환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''대수적 순환'''(代數的循環, {{llang|en|algebraic cycle}})은 어떤 대수다양체 ''V''의 부분 다양체들의 [[선형 결합]]으로 나타내어지는 [[호몰로지|호몰로지류]]이다. 이를 이용하여, [[대수적 위상수학]]과 [[대수기하학]]을 연관시킬 수 있다.

== 정의 ==
[[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math> 위의 '''대수적 순환'''들의 [[아벨 군]] <math>Z_\bullet(X)</math>는 <math>X</math>의 [[기약 스킴|기약]] [[축소 스킴|축소]] 닫힌 부분 스킴들로 생성되는 [[자유 아벨 군]]이다. 이는 부분 스킴의 [[크룰 차원]]으로 인하여 등급을 갖는다.

== 타당한 동치 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] 위의 비특이 [[사영 대수다양체]] <math>X</math> 위의 두 대수적 순환
:<math>A=\sum_{Y\subseteq Z}A_YY\in Z(X)</math>
:<math>B=\sum_{Y\subseteq Z}B_YY\in Z(X)</math>
에 대하여, 만약
:<math>\dim(Y\cap Y')=\dim Y+\dim Y'-\dim X\qquad\forall Y,Y'\subseteq Z,\;a_Y\ne0,\;b_{Y'}\ne0</math>
이라면, <math>A</math>와 <math>B</math>가 서로 '''제대로 교차'''({{llang|en|properly intersect}})한다고 한다.

[[대수적으로 닫힌 체]] 위의 비특이 [[사영 대수다양체]] <math>X</math> 위의 대수적 순환들의 '''타당한 동치'''(妥當한 同値, {{llang|en|adequate equivalence relation}})는 <math>Z(X)</math> 위에 정의된, 다음 조건을 만족시키는 [[동치 관계]] <math>\sim</math>이다.
* (선형성) 임의의 <math>m,n\in\mathbb Z</math>, <math>\alpha,\alpha,\beta,\beta'\in Z(X)</math>에 대하여, 만약 <math>\alpha\sim\alpha'</math>, <math>\beta\sim\beta'</math>이라면 <math>m\alpha+n\beta\sim m\alpha'+n\beta'</math>이다.
* (저우 이동 보조 정리) 임의의 <math>\alpha,\beta\in Z(X)</math>에 대하여, <math>\alpha</math>와 동치이며 <math>\beta</math>와 제대로 교차하는 <math>\alpha'\sim\alpha</math>가 존재한다.
* (밂) 임의의 <math>\alpha\in Z(X)</math> 및 <math>\beta\in Z(X\times Y)</math>에 대하여, 만약 <math>\beta</math>와 <math>\alpha\times Y</math>가 제대로 교차하며, 또한 <math>\alpha\sim0</math>이라면, <math>(\pi_Y)_*(\beta\cdot(\alpha\times Y))\sim 0</math>이다. 여기서 <math>\pi_Y\colon X\times Y\to Y</math>는 사영 사상이다.

대수적 순환의 유리 동치는 타당한 동치를 이룬다. 이 밖에도 흔히 쓰이는 타당한 동치로는 다음 네 가지가 있다.
* '''유리 동치'''(有理同値, {{llang|en|rational equivalence}}) <math>\sim_{\text{rat}}</math>
* '''대수적 동치'''(代數的同値, {{llang|en|algebraic equivalence}}) <math>\sim_{\text{alg}}</math>
* '''호몰로지 동치'''(homology同値, {{llang|en|homological equivalence}}) <math>\sim_{\hom}</math>
* '''수치 동치'''(數値同値, {{llang|en|numerical equivalence}}) <math>\sim_{\text{num}}</math>
이들은 더 엉성해지는 순서로 나열하였다. 즉, 예를 들어 서로 유리 동치인 두 대수적 순환은 항상 대수적 동치이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 대수적 동치와 호몰로지 동치는 여차원 1([[인자 (대수기하학)|인자]])인 경우 서로 일치하지만, 더 큰  여차원에서는 서로 일치하지 않으며, 그 차이는 '''[[그리피스 군]]'''({{llang|en|Griffiths group}})으로 측정된다.

=== 유리 동치 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>위의 비특이 [[사영 대수다양체]] <math>X</math> 위의 부분 다양체 <math>A,B\in Z(X)</math>에 대하여, 만약  다음 두 조건을 만족시키는 대수적 순환 <math>V\in Z(X\times\mathbb P^1_K)</math>이  존재한다면, <math>A</math>와 <math>B</math>가 서로 '''유리 동치'''라고 한다.
* <math>[V \cap X \times \{0\}] - [V \cap X \times \{\infty\}] = [A] - [B]</math>
* 사영 사상 <math>V\twoheadrightarrow\mathbb P^1_K</math>는 [[평탄 사상]]이다.

=== 대수적 동치 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>위의 비특이 [[사영 대수다양체]] <math>X</math> 위의 부분 다양체 <math>A,B\in Z(X)</math>에 대하여, 만약  다음 두 조건을 만족시키는
* [[대수 곡선]] <math>C</math>
* <math>C</math> 속의 두 닫힌 점 <math>c,d\in C</math>
* <math>X\times C</math> 속의 대수적 순환 <math>V</math>
가 존재한다면, <math>A</math>와 <math>B</math>가 서로 '''대수적 동치'''라고 한다.
* <math>[V \cap X \times \{c\}] - [V \cap X \times \{d\}] = [A] - [B]</math>
* 사영 사상 <math>V\twoheadrightarrow C</math>는 [[평탄 사상]]이다.

=== 호몰로지 동치 ===
복소수체 위의 대수다양체의 경우, [[특이 호몰로지]]를 정의할 수 있으며, 또한 대수적 순환에서 특이 호몰로지로 가는 사상
:<math>Z(X)\to H^{2\bullet}(X)</math>
이 존재한다. 만약 두 대수적 순환이 같은 특이 호몰로지류에 대응한다면, 이들을 서로 '''호몰로지 동치'''라고 한다.

복소수체가 아닌 체의 경우, 다른 [[베유 호몰로지]] 이론을 사용하여 호몰로지 동치를 정의할 수 있다.

=== 수치 동치 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>위의 비특이 [[사영 대수다양체]] <math>X</math> 위의 부분 다양체 <math>A,B\in Z^k(X)</math>에 대하여, 만약 임의의 <math>k</math>차원 대수적 순환 <math>T</math>에 대하여 다음이 성립한다면, <math>A</math>와 <math>B</math>가 서로 '''수치 동치'''라고 한다.
* <math>\deg(A\cap T)=\deg(B\cap T)</math>

== 저우 환 ==
대수적으로 닫힌 체 위의 사영 대수다양체 <math>X</math> 위의 대수적 순환들의 [[자유 아벨 군]]에 유리 동치에 대한 [[몫군]]을 취하여 얻는 군을 <math>A(X)</math>라고 쓰자. 이는 [[여차원]]에 따라 다음과 같이 등급으로 분해할 수 있다.
:<math>A^\bullet(X) = \bigoplus_{k = 0}^{\dim{X}} A^k(X)</math>
이 위에 다음과 같이 [[교차곱]]을 정의하자.
:<math>[Y] \cdot [Z] = [Y \cap Z]</math>
이 때, 동치류의 대표원 <math>Y</math>, <math>Z</math>는 저우 이동 보조 정리를 사용하여 서로 제대로 교차하게 고른다. 위 정의는 대표원의 선택에 상관없음을 보일 수 있으며, 이는 여차원에 대하여 가법적이다.
:<math>\cdot\colon A^k(X)\times A^l(X)\to A^{k+l}(X)</math>
이에 따라 <Math>(A^k(X),\cdot)</math>은 [[등급환]]을 이루며, 이를 <math>X</math>의 '''저우 환'''([周]環, {{llang|en|Chow ring}})이라고 한다. 이는 일종의 [[코호몰로지 환]]이다.

만약 <math>X</math>가 [[복소수체]] 위의 비특이 사영 대수다양체라면, 저우 환에서 (해석적 위상에 대한) 정수 계수 [[특이 코호몰로지]]로 가는 [[환 준동형]]이 존재하며, 그 [[상 (수학)|상]]은 모두 짝수 차수에 속한다. 일반적으로 이 준동형은 [[단사 함수]]도, (짝수 차수에 국한하여도) [[전사 함수]]도 아니다.
:<math>f\colon A^\bullet(X)\to H^{2\bullet}(X^{\operatorname{an}};\mathbb Z)</math>

== 예 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] 위의 기약 대수다양체 <math>X</math>의 여차원 0의 대수적 순환은 <math>X</math> 자체밖에 없다. 즉, 이로부터 생성되는 군은 <math>\mathbb Z</math>와 동형이며, 유리 동치 · 대수적 동치 · 호몰로지 동치 · 수치적 동치가 일치한다.

[[대수적으로 닫힌 체]] 위의 대수다양체 <math>X</math>의 [[여차원]] 1의 대수적 순환의 군은 [[카르티에 인자]]의 군
:<math>\operatorname{CaDiv}(X)=\operatorname H^1(X;\mathcal K^\times_X/\mathcal O_X^\times)</math>
에 해당된다. 이 경우, 여차원 1의 저우 군(=유리 동치에 대한 몫군)은 [[피카르 군]]이다.
:<math>\operatorname{Pic}(X)=\operatorname H^1(X;\mathcal O_X^\times)</math>
이 경우 대수적 동치와 (정수 계수) 호몰로지 동치는 일치하며, 이에 대한 몫군은 [[네롱-세베리 군]]이다.
:<math>\operatorname{NS}(X)=\operatorname{Pic}(X)/\operatorname{Pic}_0(X)\subset\operatorname H^2_{\text{sing}}(X;\mathbb Z)</math>
수치 동치와 (유리수 계수) 호몰로지 동치는 일치하며, 이에 대한 몫군은 네롱-세베리 군의 [[꼬임 부분군]]에 대한 몫군이다.
:<math>\operatorname{NS}(X)/\operatorname{Tors}(\operatorname{NS}(X))\subset\operatorname H^2_{\text{sing}}(X;\mathbb Q)</math>

== 역사 ==
이 용어는 1950년~60년대 몇가지 근본적인 추측이 이루어지기 시작하여 대수적 순환은 대수기하학의 주요 목표가 되었다. 문제의 본질은 매우 설명하기 쉬워 대수적 순환의 존재를 예측하긴 쉽지만, 현재 그것들을 구성하는 게 무엇인지는 불확실하다. 이러한 대수적 순환의 주요 추측으로는 [[호지 추측]] 및 [[테이트 추측]]이 있다. 또한, 대수적 순환은 [[대수적 K이론]]과도 밀접하게 연관되어 있는 것으로 추측된다.

유리 동치에 대한 저우 움직임 정리와 저우 환의 존재는 [[저우웨이량]]이 1956년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Chow | first1=Wei-Liang | author1-link=저우웨이량 | title=On equivalence classes of cycles in an algebraic variety | url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1956-11_64_3/page/n45 | 날짜=1956-11 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=64 | 호=3 | pages=450–479 | jstor=1969596 | doi=10.2307/1969596|언어=en}}</ref> 타당한 동치 관계의 개념은 피에르 사뮈엘({{llang|fr|Pierre Samuel}})이 1958년에 정의하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Samuel | first=Pierre | title=Relations d’équivalence en géométrie algébrique | journal=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 14–21 August 1958 | publisher=Cambridge University Press | year=1960 | pages=470–487 | url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1958/Main/icm1958.0470.0487.ocr.pdf | 언어=fr | 확인날짜=2015-08-02 | 보존url=https://web.archive.org/web/20170722145343/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1958/Main/icm1958.0470.0487.ocr.pdf# | 보존날짜=2017-07-22 | url-status=dead }}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성=Fulton|이름=William|연도=1998|제목=Intersection theory|판=2|출판사=Springer|isbn=978-0-387-98549-7|mr=1644323|doi=10.1007/978-1-4612-1700-8|zbl=0885.14002|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge|권=2|언어=en}}
* {{서적 인용 | 편집자=B. Brent Gordon, James D. Lewis, Stefan Müller-Stach, Shuji Saito, Noriko Yui | title=The arithmetic and geometry of algebraic cycles. Proceedings of the CRM summer school, June 7–19, 1998, Banff, Alberta, Canada | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-1954-8 | year=2000|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Algebraic cycle}}
* {{eom|title=Chow ring}}
* {{매스월드|id=ChowRing|title=Chow ring}}
* {{nlab|id=algebraic cycle|title=Algebraic cycle}}
* {{nlab|id=Chow group}}
* {{nlab|id=arithmetic Chow group|title=Arithmetic Chow group}}
* {{nlab|id=adequate equivalence relation|title=Adequate equivalence relation}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2009/03/22/the-chow-ring-and-chern-classes/|웹사이트=Rigorous Trivialities|제목=The Chow Ring and Chern Classes|이름=Matt|성=DeLand|날짜=2009-03-22|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/11774/difference-between-equivalence-relations-on-algebraic-cycles|제목=Difference between equivalence relations on algebraic cycles|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/151341/for-which-varieties-is-the-natural-map-from-the-chow-ring-to-integral-cohomology|제목=For which varieties is the natural map from the Chow ring to integral cohomology an isomorphism?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.stackexchange.com/questions/1368402/for-which-varieties-is-the-natural-map-from-the-chow-ring-to-integral-cohomology|제목=For which varieties is the natural map from the Chow ring to integral cohomology an injection?|출판사=StackExchange|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[인자 (대수기하학)]]
* [[코호몰로지]]
* [[호지 이론]]

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:호몰로지 이론]]
[[분류:중국 수학]]