대수적 수체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
[[대수적 수론]]에서 '''대수적 수체'''(代數的數體, {{llang|en|algebraic number field}}), 줄여서 '''수체'''(數體, {{llang|en|number field}})는 [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>의 [[유한 확대]]이다. 즉, 유리수체에, 어떤 유리수 계수 다항식의 근으로 적을 수 있는 유한 개의 원소들을 첨가하여 얻는 [[체 (수학)|체]]이다.

== 정의 ==
'''대수적 수체''' <math>K</math>는 [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>의 [[유한 확대]]이다. 이는 [[대역체]]의 한 종류이다.

=== 자리 ===
'''오스트롭스키 정리'''(Островский定理, {{llang|en|Ostrowski’s theorem}})에 따르면, 수체 <math>K</math> 위의 자명하지 않은 [[자리 (수론)|자리]]들은 다음과 같다.
* 실수로의 매장 <math>\iota\colon K\hookrightarrow\mathbb R</math>에 대하여, <math>|\cdot|_\iota=|\cdot|_{\mathbb R}\circ\iota</math>. 여기서 <math>|\cdot|_{\mathbb R}</math>는 [[실수]] 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 '''실수 무한 자리'''(實數無限-, {{llang|en|real infinite place}})라고 한다.
* 복소수로의 매장 <math>\iota\colon K\hookrightarrow\mathbb R</math>에 대하여 (<math>\iota(K)\not\subset\mathbb R</math>), <math>|\cdot|_\iota=|\cdot|_{\mathbb C}\circ\iota</math>. 여기서 <math>|\cdot|_{\mathbb C}</math>는 [[복소수]] 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, <math>\iota</math>와 <math>\bar\iota</math>는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 '''복소수 무한 자리'''(複素數無限-, {{llang|en|complex infinite place}})라고 한다.
* 대수적 정수환 <math>\mathcal O_K</math>의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>에 대하여, <math>\mathfrak p</math>진 절댓값의 자리. 이를 '''유한 자리'''(有限-, {{llang|en|finite place}})라고 한다. 무한 자리와 마찬가지로, 이들은 [[p진수체]]의 [[대수적 폐포]] <math>\bar{\mathbb Q}_p</math>로의 매장과 대응한다. 즉, <math>\mathfrak p\mid(p)</math>라면, <math>\mathfrak p</math>진 자리는 매장 <math>K\hookrightarrow\bar{\mathbb Q}_p</math>을 정의하며, [[절대 갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb Q}_p/\mathbb Q_p)</math>의 작용에 의하여 관련되는 매장들은 같은 위치를 정의한다.

예를 들어, [[유리수체]]의 자리의 목록은 다음과 같다.
* 자명 자리 <math>|\cdot|_0</math>
* 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>p</math>진 자리 <math>|\cdot|_p</math>
* 하나의 실 무한 자리 <math>|\cdot|_\infty</math>

수체 <math>K</math>에서, 실수 자리의 수를 <math>r_1</math>, 복소수 자리의 수를 <math>r_2</math>라고 한다. 이 경우, 다음이 성립한다.
:<math>[K:\mathbb Q]=r_1+2r_2</math>
이는 <math>K</math>에서 복소수체로 가는 [[체의 확대]]의 수와 같다. (각 복소수 자리는 [[복소켤레]]를 취할 수 있으므로, 두 번 중복해서 센다.)

대수적 수체 <math>K</math>는 [[대역체]]이므로, 다음과 같은 '''곱 공식'''({{llang|en|product formula}})이 성립한다.<ref name="Neukirch">{{서적 인용|성=Neukirch|이름=Jürgen|저자링크=위르겐 노이키르히|기타=Norbert Schappacher 역|날짜=1999|제목=Algebraic number theory|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|issn=0072-7830|권=322|출판사=Springer|isbn=978-3-540-65399-8|zbl=0956.11021|mr=1697859|doi=10.1007/978-3-662-03983-0|언어=en}}</ref>{{rp|185, Proposition III.1.3}}
:<math>\prod_v|a|_v=1, \forall a\in K^\times</math>
여기서 <math>\textstyle\prod_v</math>는 <math>K</math>의 모든 자리에 대한 곱이며, <math>|-|_v</math>는 주어진 자리에 대응하는 정규화 절댓값이다. 또한, 위 곱에서 오직 유한 개의 항을 제외한 나머지는 모두 1이어서 곱이 잘 정의된다. 예를 들어, 유리수
:<math>a=s\prod_pp^{n_p},\;s\in\{\pm1\}</math>
의 경우
:<math>|a|_\infty=\prod_pp^{n_p}</math>
:<math>|a|_p=p^{-n_p}</math>
이므로
:<math>|a|_\infty|a|_2|a|_3\cdots=\prod_pp^{n_p}\cdot\prod_pp^{-n_p}=1</math>
이다.

=== 수체의 대수적 성질 ===
[[가산 무한]] 체의 유한 확대이므로, 모든 대수적 수체는 [[가산 무한 집합]]이다.

모든 대수적 수체는 유리수체의 확대로서 다음 조건을 만족시킨다.
* 정의에 따라 [[유한 확대]]이며, 따라서 [[대수적 확대]]이다. 그 차수는 <math>r_1+2r_2</math>와 같다 (<math>r_1</math>은 실수 자리의 수, <math>r_2</math>는 복소수 자리의 수).
* 유리수체의 [[체의 표수|표수]]는 0이므로, [[분해 가능 확대]]이다.
그러나 [[정규 확대]](즉, [[갈루아 확대]])가 아닌 수체가 존재한다.

대수적 수체 <math>K</math>에 [[이산 위상]]을 주면, 그 덧셈군은 [[위상군]]을 이룬다. 이 경우, 그 [[폰트랴긴 쌍대군]] <math>\hat K</math>는 다음과 같은 [[아델 환]]의 몫이다.
:<math>\hat K\cong\mathbb A_K/K</math>

== 대수적 정수환의 덧셈 구조 ==
{{참고|대수적 정수}}
대수적 수체 <math>K</math>의 '''대수적 정수환'''(代數的整數環, {{llang|en|ring of algebraic integers}}) <math>\mathcal O_K</math>는 <math>\mathbb Z\subset K</math>의, <math>K</math> 속에서의 [[정수적 원소]]들의 환이다. 즉, 다음과 같다.
:<math>\mathcal O_K=\{a\in K\colon\exists p(x)\in\mathbb Z[x] \colon p \mbox{ is monic; }p(a)=0\}</math>
이는 <math>K</math>의 [[부분환]]을 이룬다.

대수적 수체 <math>K</math>의 [[대수적 정수환]]은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환(절댓값이 1 이하인 원소들의 집합)들의 [[교집합]]과 같다.<ref>{{서적 인용| last=Cassels | first=J.W.S. | authorlink=존 윌리엄 스콧 캐셀스| title=Local fields | zbl=0595.12006 | series=London Mathematical Society Student Texts | volume=3 | publisher=Cambridge University Press | 날짜=1986 | isbn=0-521-31525-5 |언어=en}}</ref>{{rp|192}}

모든 대수적 수체 <math>K</math>의 대수적 정수환 <math>\mathcal O_K</math>은 [[크룰 차원]]이 1인 [[데데킨트 정역]]이다. 즉, 다음이 성립한다.
*<math>\mathcal O_K</math>는 [[정수적으로 닫힌 정역]]이다.
*<math>\mathcal O_K</math>는 [[뇌터 환]]이다.
* 0 이 아닌 모든 영이 아닌 [[소 아이디얼]]은 [[극대 아이디얼]]이다. 즉, 이 환의 [[크룰 차원]]은 1이다.
[[대수기하학]]적 관점에서는 그 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]을 취해 1차원 [[아핀 스킴]]으로 여길 수 있다.

모든 대수적 수체 <math>K</math>에서, 다음이 성립한다.
:<math>\mathcal O_K\cap\mathbb Q=\mathbb Z</math>
:<math>K=\operatorname{Frac}\mathcal O_K</math>
여기서 <math>\operatorname{Frac}</math>은 [[분수체]]를 뜻한다.

=== 정수 기저 ===
대수적 수체의 대수적 정수환 <math>\mathcal O_K</math>의 덧셈군은 유한 생성 [[자유 아벨 군]]이며, 그 계수는 <math>K/\mathbb Q</math>의 차수와 같다.
:<math>\operatorname{rank}\mathcal O_K=[K:\mathbb Q]=r_1(K)+2r_2(K)</math>
차수 ''n''의 수체 <math>K</math>의 '''정수 기저'''({{llang|en|integral basis}})는 <math>\mathcal O_K</math>의 (자유 아벨 군으로서의) [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>\{b_1,\dots,b_n\}</math>이다. 따라서 <math>K</math>의 모든 대수적 정수들을
:<math>\sum_{i=1}^nk_ib_i</math> (<math>k_i\in\mathbb Z</math>)
로 유일하게 나타낼 수 있고, <math>K</math>의 모든 원소들을
:<math>\sum_{i=1}^nr_ib_i</math> (<math>r_i\in\mathbb Q</math>)
의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.

일부 수체의 경우, 정수 기저가
:<math>b_i=b_1^i, \forall i=1,\dots,r_1+2r_2</math>
가 되게 잡을 수 있다. 이러한 정수 기저를 '''거듭제곱 정수 기저'''({{llang|en|power integral basis}})라고 하고, 거듭제곱 정수 기저를 갖는 수체를 '''단일생성체'''({{llang|en|monogenic field}})라고 한다. 모든 [[이차 수체]]와 [[원분체]]는 단일생성체이지만, 3차 수체 가운데는 단일생성체가 아닌 체가 존재한다.

=== 정칙 표현 ===
{{참고|체 노름}}
{{참고|체 대각합}}
<math>n</math>차 수체 <math>K</math>의 정수 기저 <math>v_1,\dots,v_n\subset\mathcal O_K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K의 임의의 원소 x를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>x v_i = \sum a_{ij} v_j.</math>
따라서 x를 곱하는 연산을 유리수 계수 [[정사각 행렬]]
:<math>X = (a_{ij})_{i,j=1,\dots,n}</math>
로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v<sub>1</sub>, ..., v<sub>n</sub>에 대한 '''정칙 표현'''(正則表現, {{llang|en|regular representation}})이라 한다. 행렬의 [[대각합]]이나 [[행렬식]] 및 [[고유 다항식]] 등의 [[불변량 (수학)|불변량]]은 <math>x</math>가 무엇인지에 따라 결정되며, 기저에는 의존하지 않는다.

<math>X</math>의 [[고유 다항식]]
:<math>\det(\lambda-X)=\lambda^n+c_1\lambda^{n-1}+\cdots+c_n</math>
은 <math>x</math>를 근으로 갖는 [[일계수 다항식]]이다. 이 경우, <math>X</math>의 대각합과 행렬식은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{tr}X=-c_1</math>
:<math>\det X=(-1)^nc_n</math>
이 경우, <math>X</math>의 대각합은 <math>\operatorname T_{K/\mathbb Q}(x)</math>로 쓰고, '''<math>x</math>의 [[체 대각합|대각합]]'''이라고 한다. 마찬가지로, <math>X</math>의 행렬식은 <math>\operatorname N_{K/\mathbb Q}(x)</math>로 쓰고, '''<math>x</math>의 [[체 노름|노름]]'''이라 한다.

대각합과 노름은 다음의 성질들을 따른다.
* (대각합의 선형성) <math>\operatorname T_{K/\mathbb Q}(ax+by)=a\operatorname T_{K/\mathbb Q}(x)+b\operatorname T_{K/\mathbb Q}(y)\qquad\forall x,y\in K,\;a,b\in\mathbb Q</math>
* (노름의 승법성) <math>\operatorname N_{K/\mathbb Q}(axy)=a^n\operatorname N_{K/\mathbb Q}(x)\operatorname N_{K/\mathbb Q}(y)\qquad\forall x,y\in K,\;a\in\mathbb Q</math>

=== 판별식 ===
수체의 '''판별식'''(判別式, {{llang|en|discriminant}})은 그 대수적 정수가 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 대수적 정수들을 갖는다. 구체적인 정의는 다음과 같다.

수체 <math>K</math>의 대수적 정수환 <math>\mathcal O_K</math>의 정수 기저 <math>\{b_1,\dots,b_r\}\subset O_K</math>를 고르자 (<math>r=r_1+2r_2</math>). <math>K</math>의 실수 자리와 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.
:<math>\sigma_1^{\mathbb R},\dots,\sigma_{r_1}^{\mathbb R}\colon K\hookrightarrow\mathbb R</math>
:<math>\sigma_1^{\mathbb C},\dots,\sigma_{r_2}^{\mathbb C}\colon K\hookrightarrow\mathbb C</math>
그렇다면 다음과 같은 <math>r\times r</math> [[정사각 행렬]]을 정의할 수 있다.
:<math>
M=\begin{pmatrix}
\sigma_1^{\mathbb R}(b_1)&\cdots\sigma_{r_1}^{\mathbb R}(b_1)&\sigma_1^{\mathbb C}(b_1)&\cdots\sigma_{r_2}^{\mathbb C}(b_1)&\bar\sigma_1(b_1)&\cdots&\bar\sigma_{r_2}(b_1)\\
\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\
\sigma_1^{\mathbb R}(b_r)&\cdots\sigma_{r_1}^{\mathbb R}(b_r)&\sigma_1^{\mathbb C}(b_r)&\cdots\sigma_{r_2}^{\mathbb C}(b_r)&\bar\sigma_1(b_r)&\cdots&\bar\sigma_{r_2}(b_r)\\
\end{pmatrix}
</math>
이 행렬의 [[행렬식]]의 제곱은 정수 기저나 자리들의 순서에 의존하지 않으며, 이를 <math>K</math>의 '''판별식''' <math>\Delta_K</math>라고 한다.
:<math>\Delta_K=(\det M)^2</math>

수체의 판별식 <math>\Delta_K</math>는 다음과 같은 성질을 가진다.
* '''브릴 정리'''({{llang|en|Brill’s theorem}}): 수체의 판별식의 부호는 <math>\operatorname{sgn}\Delta_K=(-1)^{r_2(K)}</math>이다. (판별식은 항상 0이 아니다.)
* '''슈티켈베르거 정리'''({{llang|en|Stickelberger’s theorem}}): 수체의 판별식은 4에 대한 나머지가 항상 0이나 1이다.
*:<math>\Delta_K\equiv 0,1\pmod 4</math>
* '''민코프스키 하한'''({{llang|en|Minkowski’s bound}}): 다음과 같은 부등식이 성립한다. 여기서 <math>r=r_1+2r_2=[K:\mathbb Q]</math>이다.
*:<math>\sqrt{|\Delta_K|}\ge\frac{r^r}{r!}\left(\frac\pi4\right)^{r_2}</math>
* '''민코프스키 정리'''({{llang|en|Minkowski’s theorem}}): 유리수체가 아닌 수체의 판별식의 [[절댓값]]은 항상 2 이상이다. (유리수체의 판별식은 1이다.) 이는 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.
*:<math>|\Delta_K|\ge2\qquad(K\ne\mathbb Q)</math>
* '''에르미트-민코프스키 정리'''({{llang|en|Hermite–Minkowski theorem}}): 주어진 판별식을 가진 수체(의 동형류)의 수는 유한하다. 이 역시 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.

== 대수적 정수환의 곱셈 구조 ==
=== 디리클레 가역원 정리 ===
<math>K</math>에 속한 [[1의 거듭제곱근]]들로 구성된 근은 대수적 정수환의 [[꼬임 부분군]]이며, <math>\operatorname{Tors}(\mathcal O_K^\times)</math>라고 하자. 이는 항상 유한 [[순환군]]이다. 즉, <math>K</math>에 속한 [[1의 거듭제곱근]]들의 수가 <math>w_K</math>라고 하면
:<math>\operatorname{Tors}(\mathcal O_K^\times)=\operatorname{Cyc}(w_K)</math>이다.

'''디리클레 가역원 정리'''(Dirichlet可逆元定理, {{llang|en|Dirichlet unit theorem}})에 따르면, <math>K</math>의 대수적 정수환 <math>\mathcal O_K</math>의 [[가역원군]] <math>\mathcal O_K^\times</math>은 [[유한 생성 아벨 군]]이며, 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\mathcal O_K^\times\cong\operatorname{Cyc}(w_k)\oplus\mathbb Z^{\oplus(r_1+r_2-1)}</math>
즉, 가역원군의 [[꼬임 부분군]]에 대한 [[몫군]]은 유한 생성 [[자유 아벨 군]]이며, 그 [[계수 (아벨 군)|계수]]는 <math>r_1+r_2-1</math>이다. 예를 들어, 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 수체 !! 가역원군 !! 실수 자리 수 <math>r_1</math> !! 복소수 자리 수 <math>r_2</math> !! 가역원군의 크기 !! 차수
|-
| <math>\mathbb Q</math> || <math>\{\pm1\}</math> || 1 || 0 || 0 || 1
|-
| <math>\mathbb Q(\sqrt d)</math> (<math>d</math>는 양의 무제곱 정수) || || 2 || 0 || 1 || 2
|-
| <math>\mathbb Q(\sqrt{-d})</math> (<math>d</math>는 양의 무제곱 정수) || || 0 || 1 || 0 || 2
|-
| <math>\mathbb Q(i)</math> ([[가우스 정수]]) || <math>\{\pm1,\pm i\}</math>  || 0 || 1 || 0 || 2
|-
| <math>\mathbb Q(\omega)/(\omega^2+\omega+1)</math> ([[아이젠슈타인 정수]]) || <math>\{\pm1,\pm \omega,\pm\omega^2\}</math>  || 0 || 1 || 0 || 2
|}

=== 가역원 기준 ===
수체의 '''가역원 기준'''(可逆元基準, {{llang|en|regulator|레귤레이터}})은 수체의 가역원이 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 가역원들을 가진다. 가역원 기준은 [[유수 공식]]에 등장한다. 구체적인 정의는 다음과 같다.

대수적 정수환 <math>\mathcal O_K</math>의 [[가역원군]] <math>\mathcal O_K^\times</math>이 주어졌다고 하자. <math>K</math>에 속하는 [[1의 거듭제곱근]]들의 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(m)=\{1,\zeta_m,\zeta_m^2,\dots\}</math>에 대한 [[몫군]]
:<math>\mathcal O_K^\times/\operatorname{Cyc}(r)</math>
을 생각하자. 이 군의 생성원
:<math>\mathcal O_K^\times/\operatorname{Cyc}(r)=\langle u_1,\dots,u_r\rangle</math>
을 고르자. 디리클레 가역원 정리에 따라서, <math>r=r_1(K)+r_2(K)-1</math>이다 (<math>r_1(K)</math>은 실수 자리의 수, <math>r_2(K)</math>는 복소수 자리의 수).

<math>K</math>의 실수 자리 및 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.
:<math>\sigma^{\mathbb R}_1,\dots,\sigma_{r_1}^{\mathbb R}\colon K\hookrightarrow\mathbb R</math>
:<math>\sigma_1^{\mathbb C},\dots,\sigma^{\mathbb C}_{r_2}\colon K\hookrightarrow\mathbb C</math>
그렇다면 다음과 같은 <math>r\times(r+1)</math>행렬을 생각하자.
:<math>M=\begin{pmatrix}
\ln|\sigma_1^{\mathbb R}(u_1)|&\cdots&\ln|\sigma_{r_1}^{\mathbb R}(u_1)|&2\ln|\sigma_1^{\mathbb C}(u_1)|&\cdots&2\ln|\sigma_{r_2}^{\mathbb C}(u_1)|\\
\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\
\ln|\sigma_1^{\mathbb R}(u_r)|&\cdots&\ln|\sigma_{r_1}^{\mathbb R}(u_r)|&2\ln|\sigma_1^{\mathbb C}(u_r)|&\cdots&2\ln|\sigma_{r_2}^{\mathbb C}(u_r)|\\
\end{pmatrix}
</math>
<math>M</math>의 임의의 행의 원소들의 합은 (가역원의 [[체 노름]]의 [[절댓값]]은 항상 1이므로) 0이다.
:<math>\sum_jM_{i,j}=\ln\left|f_1(u_i)\cdots f_{r_1}(u_i)g_1(u_i)^2\cdots g_{r_2}(u_i)^2
\right|=\ln|\operatorname N_{K/\mathbb Q}(u_i)|=0\quad\forall i=1,\dots,r</math>
<math>M</math>에서 임의의 한 열 <math>M_{-,j}</math>을 제거한 <math>r\times r</math> 정사각 행렬을 <math>M_{-,\hat j}</math>라고 하자. 각 행의 합이 0이므로, [[행렬식]] <math>\det M_{-,\hat j}</math>는 <math>j</math>에 의존하지 않으며, 또한 이는 생성원 <math>u_i</math>의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이를 <math>K</math>의 '''가역원 기준''' <math>\operatorname{Reg}_K</math>라고 한다.
:<math>\operatorname{Reg}_K=\det M_{-,\hat j}\quad\forall j=1,\dots,r+1</math>

=== 유일 인수 분해의 실패 ===
{{본문|유수 공식}}
대수적 수체의 정수환은 [[유일 인수 분해 정역]]이 아닐 수 있다. 대수적 수체는 [[데데킨트 정역]]이므로, 유일 인수 분해 정역인 수체는 항상 [[주 아이디얼 정역]]이다.

유일 인수 분해가 실패하는 수체의 경우, [[아이디얼 유군]] <math>H_K</math> 및 그 크기인 유수(類數) <math>h_K=|H_K|</math>를 정의할 수 있다. 대수적 수체의 아이디얼 유군은 항상 [[유한군]]이며, 유수는 [[데데킨트 제타 함수]]의 [[유수 (복소해석학)|유수]](留數)로부터 [[유수 공식]]을 통해 계산할 수 있다.

=== 분기화 ===
{{본문|분기화}}
[[대수기하학]]적으로, 포함 관계 <math>\mathbb Z\hookrightarrow\mathcal O_K</math>는 반대로 [[스킴 (수학)|스킴]] 사상 <math>\operatorname{Spec}\mathcal O_K\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) [[피복 공간]]으로 볼 수 있다. 이 경우, '''분기화'''({{llang|en|ramification}})가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 [[소수 (수론)|소수]]로 생성되는 [[주 아이디얼]]이 대수적 정수환에서는 [[소 아이디얼]]이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.

수체 <math>K/\mathbb Q</math> 및 소수 <math>p\in\mathbb Z^+</math>가 주어졌을 때, <math>p</math>로 생성되는 [[주 아이디얼]]은 <math>\mathcal O_K</math>에서 다음과 같이 [[소 아이디얼]]들의 곱으로 인수 분해된다.
:<math>(p)=\mathfrak p_1^{e_1}\mathfrak p_2^{e_2}\dotsb\mathfrak p_k^{e_k}</math>
여기서 <math>e_i</math>를 <math>K</math>의 <math>\mathfrak p_i</math>에서의 '''분기 지표'''({{llang|en|ramification index}})라고 한다.

이 경우, <math>p</math>는 다음과 같이 세 가지로 분류된다.
* 만약 <math>e_i>1</math>인 <math>\mathfrak p_i</math>가 존재한다면, <math>p</math>는 '''분기화된다'''({{llang|en|ramified}}).
* 만약 모든 <math>e_i=1</math>이라면, <math>p</math>는 '''분기화되지 않는다'''({{llang|en|unramified}})
** 만약 <math>k=1</math>이라면, <math>p</math>는 '''분해되지 않는다'''({{llang|en|unsplit}}).
** 만약 <math>k>1</math>이지만 <math>e_1=e_2=\dots=e_k=1</math>이라면, <math>p</math>는 (다른 소수들의 곱으로) '''분해된다'''({{llang|en|split}}).

수체 <math>K/\mathbb Q</math>에서, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 소수 <math>p</math>는 분기화된다.
* <math>\mathcal O_K/(p)=\prod_i\mathcal O_K/\mathfrak p_i^{e_i}</math>는 0이 아닌 [[멱영원]]을 갖는다. ([[중국인의 나머지 정리]])
* <math>p\mid\Delta_K</math>. 여기서 <math>\Delta_K</math>는 <math>K</math>의 판별식이다.
판별식의 소인수의 수는 유한하므로, 따라서 오직 유한 개의 소수만이 분기화된다.

[[대수기하학]]적으로, 포함 관계 <math>\mathbb Z\hookrightarrow\mathcal O_K</math>는 반대로 [[스킴 (수학)|스킴]] 사상 <math>\operatorname{Spec}\mathcal O_K\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) [[피복 공간]]으로 볼 수 있다. 이 경우, '''분기화'''({{llang|en|ramification}})가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 [[소수 (수론)|소수]]로 생성되는 [[주 아이디얼]]이 대수적 정수환에서는 [[소 아이디얼]]이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.

== 수체의 기타 불변량 ==
위에 정의된 [[불변량]] (차수, 실수 및 복소수 자리의 수, 판별식, 가역원 기준, [[아이디얼 유군]] 등) 밖에도, 수체 <math>K</math>에 대응되는 주요 불변량들은 다음이 있다.
* <math>K</math>의 '''[[종수체]]'''({{llang|en|genus field}}) <math>G/K</math>. 이는 <math>K</math>의 [[아벨 확대]]이다. 그 [[갈루아 군]]은 '''종수군'''({{llang|en|genus group}})이라고 하며, 종수체의 차수는 '''종수'''({{llang|en|genus}}) <math>g(K)=[G:K]</math>라고 한다. 이는 양의 정수이며, [[대수 곡선]]의 종수와 유사한 성질을 보인다.
* <math>K</math>의 '''[[힐베르트 유체]]'''({{llang|en|Hilbert class field}}) <math>E/K</math>. 이 역시 <math>K</math>의 [[아벨 확대]]이다. <math>E/K</math>의 [[갈루아 군]]은 <math>K</math>의 아이디얼 유군과 같다.
* <math>K</math>의 '''[[데데킨트 제타 함수]]''' <math>\zeta_K(s)</math>. 이는 [[유리형 함수]]이며, 다른 불변량들에 대한 다양한 정보를 담고 있다.
* '''[[아델 환]]''' <math>\mathbb A_K</math>. 이는 [[위상환]]을 이룬다. 그 [[가역원군]]은 '''[[이델 군]]'''이라고 한다. 이들은 [[유체론]]에 자주 등장한다.

== 예 ==
다음과 같은 예들이 있다.
* [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>
* [[이차 수체]]
* [[원분체]]
* <math>\mathbb Q(\sqrt[3]2)</math>는 [[정규 확대]]가 아닌 수체이다. 이는 <math>x^3-2</math>의 3개의 근 가운데 한 개만을 포함하기 때문이다.
* <math>x^3-x^2-2x-8</math>의 한 근으로 생성되는 수체는 단일생성체가 아닌 3차 수체이다.

=== 유리수체 ===
{{본문|유리수}}
유리수체 <math>\mathbb Q</math>는 자명한 대수적 수체이다. 이는 차수가 1인 유일한 수체이다.

'''오스트롭스키 정리'''({{llang|en|Ostrowski’s theorem}})에 따르면, 유리수체 <math>\mathbb Q</math>는 다음과 같은 자리들을 가진다.
* 자명한 자리
*:<math>|x|=\begin{cases}0&x=0\\1&x\ne0\end{cases}</math>
* 표준 자리 (통상적인 [[절댓값]])
* [[소수 (수론)|소수]] ''p''에 대하여, [[p진수|''p''진 자리]]
*:<math>\begin{cases}|0|&=0\\|p^na/b|_p=p^{-n}\end{cases}</math>
*:(<math>a,b,p</math>는 [[서로소 정수|서로소]])
특히, <math>\mathbb Q</math>는 실수 자리 1개와 복소수 자리 0개를 갖는다.
:<math>r_1(\mathbb Q)=1</math>
:<math>r_2(\mathbb Q)=0</math>
유리수체의 대수적 정수환은 [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>이며, 이는 [[주 아이디얼 정역]]이다. 다시 말해, 유리수체의 대수적 정수환에서는 [[유일 인수 분해 정역|유일 인수 분해]]가 성립하며, 그 [[아이디얼 유군]]은 [[자명군]]이며, 그 유수는 1이다.

유리수체에서 [[체 대각합]]과 [[체 노름]]은 [[항등 함수]]이다.
:<math>\operatorname T_{\mathbb Q/\mathbb Q}(x)=\operatorname N_{\mathbb Q/\mathbb Q}(x)=x</math>
유리수체의 대수적 정수환 <math>\mathbb Z</math>의 정수 기저는 <math>\{1\}</math>을 고를 수 있다. 이는 자명하게 거듭제곱 정수 기저를 이루며, 따라서 유리수체는 자명하게 단일생성체를 이룬다. 유리수체의 판별식은 다음과 같이 자명하게 1이며, 민코프스키 하한에 따라서 판별식이 1인 유일한 수체이다.
:<math>\Delta_{\mathbb Q}=\left(\det\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}\right)^2=1</math>

유리수체의 대수적 정수환의 [[가역원군]]은 <math>\{\pm1\}</math>이며, 이는 [[1의 거듭제곱근]]으로만 구성된다. 즉, 디리클레 가역원 정리가 자명하게 성립한다. 유리수체의 가역원 기준은 (0×0 행렬의 [[행렬식]]이므로) 1이다.
:<math>\operatorname{Reg}_{\mathbb Q}=1</math>
유리수체의 [[데데킨트 제타 함수]]는 [[리만 제타 함수]] <math>\zeta(s)</math>이다. 리만 제타 함수의 <math>s=1</math>에서의 [[유수 (복소해석학)|유수]]는 1이며, 이 경우 [[유수 공식]]은 다음과 같이 성립한다.
:<math>1=\frac{2^{r_1(\mathbb Q)}(2\pi)^{r_2(\mathbb Q)}h_{\mathbb Q}\operatorname{Reg}_{\mathbb Q}}{|\operatorname{Tors}(\mathcal O_{\mathbb Q}^\times)|\sqrt{|\Delta_{\mathbb Q}|}}
=\frac{2^1\cdot(2\pi)^0\cdot1\cdot1}{2\cdot\sqrt{|1|}}=1</math>

=== 이차 수체 ===
{{본문|이차 수체}}
[[제곱 인수가 없는 정수]] <math>d</math>에 대하여, [[이차 수체]]
:<math>\mathbb Q(\sqrt d)=\mathbb Q+\sqrt d\mathbb Q=\mathbb Q[x]/(x^2-d)</math>
를 정의할 수 있다. 이는 유리수체의 2차 확대이다. 이 경우, <math>d</math>가 양수일 경우 '''실수 이차 수체''', 음수일 경우 '''허수 이차 수체'''라고 한다. 특수한 예로, [[가우스 유리수]]체 <math>\mathbb Q(i)=\mathbb Q+i\mathbb Q=\mathbb Q[x]/(x^2-1)</math>가 있다. 다른 예로, <math>\mathbb Q(\sqrt{-5})</math>는 그 대수적 정수환이 [[유일 인수 분해 정역]]이 아닌 이차 수체이다. 예를 들어, <math>6=2\cdot3=(1+\sqrt-5)(1-\sqrt-5)</math>이다.

기저를 <math>\{1,\sqrt d\}</math>로 잡으면, 각 원소
:<math>a+b\sqrt d\in\mathbb Q(\sqrt d)</math>
는 다음과 같은 2×2 [[정사각 행렬]]로 적을 수 있다.
:<math>a+b\sqrt d\mapsto\begin{pmatrix}
a&db\\
b&a
\end{pmatrix}</math>
이 경우 대각합과 노름은 다음과 같다.
:<math>T(a+b\sqrt d)=2a</math>
:<math>N(a+b\sqrt d)=a^2-db^2</math>

[[이차 수체]]의 판별식은 다음과 같다. 제곱 없는 정수 <math>d</math>에 대하여,
:<math>\Delta_{\mathbb Q(\sqrt d)}=\begin{cases}d&d\equiv1\pmod4\\4d&d\equiv 2,3\pmod4\end{cases}</math>
이다. 이차 수체의 판별식과 같은 정수를 '''기본 판별식'''({{llang|en|fundamental discriminant}})이라고 한다. 양의 기본 판별식들은 다음과 같다.
:1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, … {{OEIS|A003658}}
음의 기본 판별식들은 다음과 같다.
:−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, … {{OEIS|A003657}}

=== 원분체 ===
{{본문|원분체}}
원분체는 유리수체에 [[1의 거듭제곱근]] <math>\zeta_n</math>을 추가하여 정의한다.
:<math>\mathbb Q(\zeta_n)=\mathbb Q[x]/(x^n-1)</math>
특수한 예로, [[아이젠슈타인 유리수]] <math>\mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb Q+\mathbb Q(\zeta_3)</math>가 있다.

<math>n>2</math>일 때, [[원분체]] <math>\mathbb Q(\zeta_n)</math>의 판별식은 다음과 같다.
:<math>\Delta_{\mathbb Q(\zeta_n)} = (-1)^{\varphi(n)/2}n^{\varphi(n)}\prod_{p|n} p^{-\varphi(n)/(p-1)}</math>
여기서
* <math>\varphi(n)</math>은 [[오일러 피 함수]]이다.
* <math>\prod_{p|n}</math>은 <math>n</math>의 소인수들에 대한 곱이다.

=== 대수적 수체가 아닌 확대 ===
다음과 같은 [[체의 확대]]들은 대수적 수체가 아니다.
* <math>\mathbb Q(\pi)/\mathbb Q</math>는 [[초월 확대]]이므로 수체가 아니다.
* <math>\mathbb R/\mathbb Q</math>나 <math>\mathbb C/\mathbb Q</math> 역시 초월 확대이므로 수체가 아니다.
* <math>\mathbb Q(x)/\mathbb Q</math> 역시 [[초월 확대]]이므로 수체가 아니다.
* [[대수적 수]]의 체를 <math>\bar\mathbb Q</math>라고 하자. <math>\bar\mathbb Q/\mathbb Q</math>는 대수적 확대이지만, 무한 차수의 확대이므로 수체가 아니다.
* <math>\mathbb C/\mathbb R</math>는 유리수체의 확대가 아니므로 수체가 아니다.

== 같이 보기 ==
* [[국소체]]
* [[대역체]]
* [[아델 환]]
* [[하세-민코프스키 정리]]
* [[버치-스위너턴다이어 추측]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
*{{서적 인용
| last=Lang
| first=Serge
| authorlink=서지 랭
| title=Algebraic number theory
| edition=2판
| publisher=Springer
| 날짜=1994
| series=Graduate Texts in Mathematics
| volume=110
| place=New York
| isbn=978-0-387-94225-4
| mr=1282723
|언어=en
}}
* {{서적 인용|이름=Kenneth|성=Ireland|공저자=Michael Rosen|제목=A classical introduction to modern number theory|판=2판|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=84|issn=0072-5285|출판사=Springer|날짜=1990|doi=10.1007/978-1-4757-2103-4|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Algebraic number field}}
* {{eom|title=Number field}}
* {{eom|title=Abelian number field}}
* {{eom|title=Non-Abelian number field}}
* {{eom|title=Discriminant|first= I.V.|last=Proskuryakov}}
* {{eom|title=Regulator of an algebraic number field}}
* {{매스월드|id=NumberField|title=Number field}}
* {{매스월드|id=RingofIntegers|title=Ring of integers}}
* {{매스월드|id=NumberFieldOrder|title=Number field order}}
* {{매스월드|id=Regulator|title=Regulator}}
* {{매스월드|id=FundamentalUnit|title=Fundamental unit}}
* {{nlab|id=number field|title=Number field}}
* {{nlab|id=ring of integers|title=Ring of integers}}
* {{nlab|id=regulator of a number field|title=Regulator of a number field}}
* {{nlab|id=genus of a number field|title=Genus of a number field}}
* {{수학노트|title=디리클레 단위 정리와 수체의 regulator}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/13240/do-finite-places-of-a-number-field-also-correspond-to-embeddings|제목=Do finite places of a number field also correspond to embeddings?|언어=en|웹사이트=Math Overflow}}

[[분류:대수적 수론]]