대수적 수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 넘어옴|대수적 정수|[[대수적 수체]] 속의 대수적 정수|대수적 정수환}}
[[파일:Algebraic number in the complex plane.png|섬네일|right|[[복소평면]] 속의, 유리수 계수 1차~4차 다항식의 근인  대수적 수들의 분포. 1차 다항식의 근은 녹색, 2차는 적색, 3차는 하늘색, 4차는 청색으로 채색하였다.]]
[[파일:Algebraic integers.gif|섬네일|right|낮은 차수의 대수적 정수의 분포. 낮은 차수의 다항식의 해는 붉은 색의 점, 비교적 고차 다항식의 해는 푸른 색의 점으로 나타내었다.]]

[[수론]]에서 '''대수적 수'''(代數的數, {{llang|en|algebraic number}})는 [[유리수]] 계수의 [[일계수 다항식]]의 근을 이루는 [[복소수]]이다.

== 정의 ==
복소수 <math>z\in\mathbb C</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다. 이를 만족시키는 복소수를 '''대수적 정수'''(代數的整數, {{llang|en|algebraic integer}})라고 한다.
* <math>p(z)=0</math>이지만 <math>p\ne0</math>인 [[일계수 다항식]] <math>p\in\mathbb Z[x]</math>가 존재한다.
* <math>[\mathbb Q(z):\mathbb Q]</math>는 유한하며, 또한 <math>\mathbb Z[z]</math>는 [[유한 생성 아벨 군]]이다
* <math>[\mathbb Q(z):\mathbb Q]</math>는 유한하며, 또한 <math>zM\subset M\subset\mathbb C</math>인 [[유한 생성 아벨 군]] <math>M</math>이 존재한다.
대수적 정수의 집합은 [[정역]]을 이루며, <math>\mathcal O_{\bar{\mathbb Q}}</math>로 쓴다.

복소수 <math>z\in\mathbb C</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 복소수를 '''대수적 수'''라고 한다.
* <math>p(z)=0</math>이지만 <math>p\ne0</math>인 [[일계수 다항식]] <math>p\in\mathbb Q[x]</math>가 존재한다.
* <math>a/b=z</math>인 대수적 정수 <math>a,b\in\mathcal O_{\bar{\mathbb Q}}</math>가 존재한다 (<math>b\ne0</math>).
대수적 수들의 집합은 [[체 (수학)|체]]를 이루며, <math>\bar{\mathbb Q}</math>라고 쓴다. 정의에 따라, 이는 대수적 정수들의 [[정역]]의 [[분수체]]이다.
:<math>\bar{\mathbb Q}=\operatorname{Frac}\mathcal O_{\bar{\mathbb Q}}</math>

대수적 수가 아닌 [[복소수]]를 '''[[초월수]]'''(超越數, {{llang|en|transcendental number}})라 한다.

일반적으로, 주어진 수가 대수적인지 여부를 증명하는 것은 매우 어렵다. 예를 들어, <math>\pi+e</math>와 같은 경우에도 현재 초월수인지의 여부가 증명되지 않았다.

== 성질 ==
=== 대수적 수의 체 ===
대수적 수의 체는 [[가산 무한 집합]]이다.
:<math>|\bar{\mathbb Q}|=\aleph_0</math>
[[복소수체]]의 [[집합의 크기|크기]]는 <math>2^{\aleph_0}>\aleph_0</math>이므로, 대부분의 복소수는 대수적 수가 아니다.

대수적 수의 집합은 체를 이룬다. 즉, 대수적 수들의 합 · 곱 · 역수는 대수적 수이다. 또한, 임의의 대수적 수 <math>a\in\bar{\mathbb Q}</math> 및 유리수 <math>b\in\mathbb Q</math>에 대하여, <math>a^b</math>는 (만약 정의된다면) 대수적 수이다. 그러나 <math>b</math>가 무리수일 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다. '''겔폰트-슈나이더 정리'''({{llang|en|Gelfond-Schneider theorem}})에 따르면, 대수적 수 <math>a</math> 및 무리수 <math>b</math>에 대하여, 만약 <math>a\ne 0</math>이며 <math>a\ne 1</math>이라면 <math>a^b</math>는 초월수이다.

대수적 수의 [[체의 표수|표수]]는 0이며, [[유리수체]]의 [[대수적 폐포]]이다. 모든 대수적 수는 어떤 [[대수적 수체]]에 속한다. 즉, 대수적 수의 집합은 (복소수체로의 매장을 부여한) 모든 [[대수적 수체]]들의 합집합과 같다.

대수적 수의 체를 유리수체의 [[체의 확대|확대체]]로 보았을 때, <math>\bar{\mathbb Q}/\mathbb Q</math>는 무한 차수의 [[갈루아 확대]]이다. 이 확대의 [[갈루아 군]]은 [[유리수체]]의 [[절대 갈루아 군]]이다.

=== 대수적 정수의 환 ===
대수적 정수의 [[가환환]]은 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[베주 정역]]이다. (즉, 두 [[주 아이디얼]]의 합이 [[주 아이디얼]]이다.)
* (스스로의 [[분수체]] 속에서) [[정수적으로 닫힌 정역]]이다.
* [[크룰 차원]]이 1차원이다. (대수적 정수의 집합은 정수환 <math>\mathbb Z</math>의 <math>\mathbb C</math> 속에서의 [[정수적 폐포]]이며, 이는 [[크룰 차원]]을 보존한다.)
* [[뇌터 환]]이 아니다. (따라서 [[데데킨트 정역]]이나 [[주 아이디얼 정역]]이 아니다.) 예를 들어, [[주 아이디얼]]들의 열 <math>(2^{2^{-1}}), (2^{2^{-2}}), (2^{2^{-3}}),\dots</math>은 무한 상승 사슬을 이룬다.
* [[유일 인수 분해 정역]]이 아니다.
따라서, 대수적 정수의 인수 분해는 일반적으로 유일하지 않지만, 유한 개의 대수적 정수의 [[최대공약수]]를 정의할 수 있다.

모든 대수적 정수는 어떤 [[대수적 수체]]의 [[대수적 정수환]]의 원소이며, 그 역 또한 성립한다. 즉, 대수적 정수의 집합은 모든 대수적 수체의 대수적 정수환들의 [[합집합]]이다.

== 예 ==
<math>2 + \sqrt 3</math>은 <math>x^2 - 4x + 1=0</math>의 근이므로 대수적 정수이다. [[허수단위]] <math>i</math>는 <math>x^2 + 1=0</math>의 근이므로 대수적 정수이다.

5차 이상의 일반적인 방정식의 해는 거듭제곱근으로 나타낼 수 없지만, 만약 방정식의 계수들이 모두 대수적 수인 경우 그 해는 대수적 수이다.

=== 초월수의 예 ===
[[원주율]] <math>\pi</math>나 [[자연로그의 밑]] <math>e</math>는 [[초월수]]이다. 또한 다음과 같은 수가 초월수임이 알려져 있다.
* <math>e^a</math> (<math>a\in\bar{\mathbb Q}\setminus\{0\}</math>)
* [[원주율]] <math>\pi</math>
** '''원적문제'''(圓積問題, {{llang|en|squaring the circle}})는 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형을 작도하는 문제이다. <math>\pi</math>가 초월수임에 따라 이는 불가능하다.
* <math>e^\pi</math>
* <math>2^\sqrt2</math>
* <math>i^i</math>. (복소수 거듭제곱은 [[분지 절단]]에 따라 달라지지만, 가능한 모든 분지에 대하여 이는 초월수이다. 예를 들어, 한 분지에서는 <math>i^i=\exp(i\pi/2)^i=\exp(-\pi/2)</math>이다.)
* 0이 아닌 [[유리수]] <math>a\in\mathbb Q\setminus\{0\}</math>에 대하여 <math>\sin a</math>, <math>\cos a</math>, <math>\tan a</math>.
* 1이 아닌 양의 유리수 <math>a\in\mathbb Q^+\setminus\{1\}</math>에 대하여, <math>\ln a</math>
그러나 <math>\pi+e</math>는 초월수임이 알려져 있지 않다. 만약 [[샤누엘 추측]]({{llang|en|Schanuel’s conjecture}})이 참이라면, <math>\pi+e</math>는 초월수이다.

다음과 같은 실수는 '''리우빌 상수'''({{llang|en|Liouville’s constant}})라고 하며, 초월수이다.
:<math>\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000....</math>

== 역사 ==
고대 수학에서는 대수적 수의 개념이 존재하지 않았다. 그러나 정수의 비로 나타낼 수 없는 수([[무리수]])의 발견과 거듭제곱근 및 사칙 연산으로 나타낼 수 없는 수([[아벨-루피니 정리]])의 발견 이후, 모든 수가 정수 또는 유리수 계수의 다항식의 근으로 나타낼 수 있는지, 즉 초월수가 존재하는지의 여부가 대두되었다.

[[레온하르트 오일러]]는 대수적 수와 초월수를 최초로 구분하였고, 초월수의 존재를 추측하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.2307/2690369|title=Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler|journal=Mathematics Magazine|volume=76|issue=5|date=1943-12|pages=292–299|jstor=2690369|last2=Dudley|first2=Underwood|이름1=Paul|성1=Erdős|authorlink1=에르되시 팔}}</ref> 1844년에 [[조제프 리우빌]]은 최초의 초월수의 예로 리우빌 상수를 제시하였다.<ref>{{저널 인용|이름=J.|성=Liouville|저자링크=조제프 리우빌|제목=Mémoires et communications des Membres et des correspondants de l’Académie|저널=Comptes Rendus de l’Académie des Sciences|권=18|날짜=1844|쪽=883-885|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=J.|성=Liouville|저자링크=조제프 리우빌|제목=Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n’est ni algébrique ni même réductible à des irrationnelles algébriques|저널=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées |issn=0021-7824|권=16|날짜=1851|쪽=133-142|언어=fr}}</ref>

리우빌 상수는 초월수의 존재를 증명하기 위해 특별히 만들어진 수이다. 수학에 자연스럽게 등장하는 수 가운데 처음으로 초월수임이 증명된 수는 [[자연로그의 밑|상수 e]]이며, 이는 [[샤를 에르미트]]가 1873년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|성=Hermite|이름=C.|저자링크=샤를 에르미트|제목=Sur la fonction exponentielle|저널=Comptes Rendus de l’Académie des Sciences|권=77|쪽=18–24|날짜=1873|jfm=05.0248.01|언어=fr}}</ref> 1882년에는 [[페르디난트 폰 린데만]]이 [[원주율]] 또한 초월수임을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Ferdinand von|성=Lindemann|저자링크=페르디난트 폰 린데만|제목=Über die Ludolph’sche Zahl|저널= Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften|권=2|쪽=679–682|날짜=1882|jfm=14.0369.02|언어=de}}</ref> 이것은 고대 그리스 수학의 난제였던 원적문제가 불가능함을 보여주었다.

1874년에 [[게오르크 칸토어]]는 실수 또는 복소수의 집합이 [[비가산 집합]]임을 증명하여, 대부분의 복소수가 초월수임을 보였다 ([[칸토어의 정리]]).

[[다비트 힐베르트]]는 1893년에 <math>\pi</math>와 <math>e</math>의 초월성에 대한 간단한 새로운 증명을 발견하였다.<ref>{{저널 인용|이름=David|성=Hilbert|저자링크=다비트 힐베르트|제목=Ueber die Transcendenz der Zahlen ''e'' und π|저널=Mathematische Annalen|권=43|호=2–3|쪽=216-219|doi=10.1007/BF01443645|issn=0025-5831|url=http://www.cs.toronto.edu/~yuvalf/Hilbert%20Ueber%20die%20Transzendenz%20der%20Zahlen%20e%20und%20pi.pdf|jfm=25.0734.01|언어=de}}</ref>
1900년에 힐베르트는 [[힐베르트의 문제들|힐베르트의 23 문제]] 가운데 7번째 문제로, 만약 <math>a</math>가 0 또는 1이 아닌 대수적 수이며 <math>b</math>가 무리 대수적 수일 경우 <math>a^b</math>가 초월수인지 여부를 제시하였다.
{{인용문2|에르미트의 [[지수 함수]]에 대한 수론 정리와 린데만의 그 확장은 만대(萬代)의 수학자들이 칭송할 것입니다. 이와 더불어, 이 정리를 더 일반화하는 문제가 자연스럽게 대두됩니다. 나는 우리가 공격할 다음 표적으로서, 다음과 같은 문제를 제시하고자 합니다. 해석학에서 중요한 몇몇 초월 함수가 대수적 수에 대하여 대수적인 값을 갖는 것은 매우 특이하고 흥미로운 현상입니다. 반대로, 일반적인 초월 함수는 심지어 대수적 수에 대해서도 초월수 값을 가진다고 추측할 수 있습니다. 모든 대수적 수에 대하여 유리수 값을 갖는 [[전해석 함수|전해석]] 초월 함수가 알려져 있기는 합니다. 그렇지만 <math>e^{i\pi z}</math>와 같은 [[지수 함수]]의 경우, 유리수 <math>z</math>에 대하여 대수적 값을 갖지만, 대수적  무리수 <math>z</math>에 대해서는 항상 초월수일 확률이 매우 높습니다. […] 이러한 종류의 문제의 해결은 혁신적인 기법, 특히 무리수와 초월수에 대한 새 통찰을 가져올 것입니다.<br>
{{lang|de|Hermites arithmetische Sätze über die Exponentialfunction und ihre Weiterführung durch Lindemann sind der Bewunderung aller mathematischen Generationen sicher. Aber zugleich erwächst uns die Aufgabe, auf dem betretenen Wege fortzuschreiten. Ich möchte daher eine Klasse von Problemen kennzeichnen, die meiner Meinung nach als die nächstliegenden hier in Angriff zu nehmen sind. Wenn wir von speciellen, in der Analysis wichtigen transcendenten Functionen erkennen, daß sie für gewisse algebraische Argumente algebraische Werte annehmen, so erscheint uns diese Thatsache stets als besonders merkwürdig und der eingehenden Untersuchung würdig. Wir erwarten eben von transcendenten Funktionen, daß sie für algebraische Argumente im Allgemeinen auch transcendente Werte annehmen, und obgleich uns wohl bekannt ist, daß es thatsäcblich ganze transcendente Functionen giebt, die für alle algebraischen Argumente sogar rationale Werte besitzen, so werden wir es doch für höchst wahrscheinlich halten, daß z.B. die Exponentialfunction e<sup>iπz</sup> die offenbar für alle rationalen Argumente z stets algebraische Werte hat, andrerseits für alle irrationalen algebraischen Argumente z stets transcendente Zahlenwerte annimmt. […] Es ist gewiß, daß die Lösung dieser und ähnlicher Probleme uns zu ganz neuen Methoden und zu neuen Einblicken in das Wesen specieller irrationaler und transcendenter Zahlen führen muß.
}}|<ref>{{서적 인용|이름=David|성=Hilbert|장=Mathematische Probleme|제목=ICM Paris 1900|장url=https://www.math.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html|언어=de|access-date=2015-08-28|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304034123/https://www.math.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html}}</ref>}}
이 문제는 [[1934년]]에 겔폰트-슈나이더 정리에 의해 참임이 밝혀졌다. 이 결과는 1960년에 [[앨런 베이커]]에 의해 확장되었다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | first=Alan | last=Baker | 저자링크=앨런 베이커 |title=Transcendental number theory | url=https://archive.org/details/transcendentalnu0000bake | publisher=Cambridge University Press | year=1975 | isbn=0-521-20461-5 | zbl=0297.10013 |doi=10.1017/CBO9780511565977|언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Mahler | first=Kurt | title=Lectures on transcendental numbers | series=Lecture Notes in Mathematics | issn=0075-8434 | volume=546 | publisher=Springer | year=1976 | isbn=3-540-07986-6 | zbl=0332.10019 | doi=10.1007/BFb0081107 | 언어=en }}
* {{서적 인용 | last1=Burger | first1=Edward B. | last2=Tubbs | first2=Robert | title=Making transcendence transparent. An intuitive approach to classical transcendental number theory | publisher=Springer | year=2004 | isbn=978-1-4419-1948-9 | zbl=1092.11031|doi=10.1007/978-1-4757-4114-8|언어=en }}
* {{서적 인용 | 제목= Transcendental numbers| url= https://archive.org/details/transcendentalnu0000murt|성=Murty|이름=M. Ram|성2=Rath|이름2=Purusottam|doi=10.1007/978-1-4939-0832-5|isbn=978-1-4939-0831-8|날짜=2014|출판사=Springer|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Algebraic number}}
* {{eom|title=Transcendental number}}
* {{매스월드|id=AlgebraicNumber|title=Algebraic number}}
* {{매스월드|id=AlgebraicInteger|title=Algebraic integer}}
* {{매스월드|id=TranscendentalNumber|title=Transcendental number}}
* {{매스월드|id=LiouvillesConstant|title=Liouville's constant}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Algebraic_Number|제목=Definition: algebraic number|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Set_of_Algebraic_Numbers_is_Countable|제목=Set of algebraic numbers is countable|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2015-08-28|보존url=https://web.archive.org/web/20140208210717/http://www.proofwiki.org/wiki/Set_of_Algebraic_Numbers_is_Countable|보존날짜=2014-02-08|url-status=dead}}
* {{수학노트|title=무리수와 초월수}}
* {{저널 인용|url=http://www.ddanzi.com/?module=file&act=procFileDownload&file_srl=1062243&sid=4efc3df510d04c3caedac43a15996cf7|제목=초월수의 역사와 미해결 문제|저자1=박춘성|저자2=안수엽|저널=한국수학사학회지|권=23|호=3|쪽=57–78|날짜=2010년 8월}}
* {{네이버캐스트|561|초월수 e, π}}

== 같이 보기 ==
* [[대수적 수체]]
* [[대수적 정수환]]
* [[겔폰트-슈나이더 정리]]
* [[대수적 확대]]
* [[초월 확대]]

{{수 체계}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 수| ]]