대수다양체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|대수 구조 다양체|[[대수기하학]]에서 방정식의 해의 집합|일련의 항등식들을 만족시키는 [[대수 구조]]들의 [[모임 (집합론)|모임]]}}
[[대수기하학]]에서 '''대수다양체'''(代數多樣體, {{llang|en|algebraic variety}})는 국소적으로 [[다항식]]들로 주어지는 [[방정식]]들의 영점 집합처럼 보이는 공간이다. 고전적 대수기하학에서 다루는 기본적인 대상이다. 미분다양체, 복소다양체, 사교다양체 등은 위상다양체의 일종이나, 대수다양체는 일반적으로 위상다양체가 아님에 주의하라. 영어는 variety와 manifold로, 또한 많은 나라에서 둘은 다른 이름으로 구별되나, 기존 한국어 번역은 둘 다 다양체로 번역하는 바람에 오해의 여지가 생겼다.

==  정의 ==
<math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하자.

=== 층 이론을 통한 정의 ===
[[다항식환]] <math>K[x_1,\dots,x_n]</math>의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\subseteq K[x_1,\dots,x_n]</math>에 대하여,
:<math>V(\mathfrak p)=\{x\in K^n\colon p(x)=0\forall p\in\mathfrak p\}</math>
라고 하자. 이 위에는 [[자리스키 위상]] 및 [[다항함수]]들의 [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal O_{V(\mathfrak p)}</math>을 정의할 수 있다.

<math>K</math>에 대한 '''대수다양체''' <math>(X,\mathcal O_X)</math>는 다음과 같은 [[순서쌍]]이다.<ref name="Arapura">{{서적 인용|이름=Donu|성=Arapura|날짜=2012|제목=Algebraic geometry over the complex numbers|출판사=Springer|총서=Universitext|isbn=978-1-4614-1808-5|doi=10.1007/978-1-4614-1809-2|zbl=1235.14001|issn=0172-5939|언어=en}}</ref>{{rp|32, Definition 2.4.1, 2.4.4}}
* <math>X</math>는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.
* <math>\mathcal O_X</math>는 <math>X</math> 위의, 결합 가환 <math>K</math>-대수들의 [[층 (수학)|층]]이다.
이 데이터는 다음 세 조건들을 만족시켜야 한다.
* (국소 아핀 조건) <math>X</math> 위에, 다음 조건을 만족시키는 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>가 존재한다.
** 각 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>(U_i,\mathcal O_X|_{U_i})</math>는 <math>K^n</math> 위의 어떤 아이디얼 <math>\mathfrak p_i\subset K[x_1,\dots,x_n]</math>과 [[동형]]이다.
* (기약성) <math>X</math>는 [[기약 공간]]이다.
* (분리성) [[대각 부분 집합]] <math>\Delta\subset X\times X</math>가 [[닫힌집합]]이다.

국소적으로 아핀 대수다양체와 동형인 [[환 달린 공간]]이다. 즉, [[환 달린 공간]] <math>X</math> 위에 [[열린 덮개]] <math>\{U_\alpha\}</math>가 존재하여, <math>U_\alpha</math> 각각이 아핀 대수다양체를 이루는 경우다.

=== 스킴 이론을 통한 정의 ===
이 정의는 [[스킴 (수학)|스킴 이론]]을 사용하여 서술할 수 있다. [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대하여, '''<math>K</math>-대수다양체'''는 다음 조건들을 모두 만족시키는 <math>K</math>-스킴 <math>X\to\operatorname{Spec}K</math>이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|105}}
* [[기약 스킴]]이다. 이는 대수다양체를 기약 대수 집합으로 국한시키는 것이며, 위상 공간으로서의 [[연결 공간|연결성]]보다 더 강한 조건이다.
* [[축소 스킴]]이다. 이는 <math>K[x,y]/(y^2)</math>와 같은 [[멱영원]]의 부재를 의미한다. 이러한 멱영원은 기하학적으로 [[싹 (수학)|싹]]으로 해석할 수 있다.
* [[분리 스킴]]이다. 예를 들어, 두 개의 아핀 직선 <math>\mathbb A^1_K</math>을, 0을 제외한 열린 집합 <math>\mathbb A^1_K\setminus\{0\}</math>에서 이어붙여, 원점이 두 개가 있는 아핀 직선을 만들 수 있는데, 이는 분리 스킴이 아니다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|75–76, Example 2.3.6}} 이는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[하우스도르프 공간|하우스도르프 조건]]에 대응한다.
* 사상 <math>X\to\operatorname{Spec}K</math>는 [[유한형 사상]]이다. 이는 대수다양체가 국소적으로 [[다항식환]] <math>K[x_1,x_2,\dots,x_n]</math>의 몫대수의 꼴임을 뜻하며, 이에 따라 대수다양체는 유한한 차원을 갖는다.

== 종류 ==
고전적 [[대수기하학]]에서는 보통
* '''아핀 다양체'''(affine多樣體, {{llang|en|affine variety}})
* '''준아핀 다양체'''(準affine多樣體, {{lang|en|quasi-affine variety}})
* '''사영 다양체'''(射影多樣體, {{llang|en|projective variety}})
* '''준사영 다양체'''(準射影多樣體, {{llang|en|quasi-projective variety}})
를 정의한다.

=== 아핀 다양체 ===
<math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]] ([[복소수|복소수체]] 등)라고 하자. <math>\mathbb A_K^n=\operatorname{Spec}K[x_1,\dots,x_n]</math>이 <math>K</math>에 대한 [[아핀 공간]]이라고 하자. 그렇다면 다음을 정의할 수 있다.
* '''아핀 대수 집합'''은 <math>\mathbb A^n_K</math>의 축소 [[닫힌 부분 스킴]]이다.
* '''아핀 다양체'''는 <math>\mathbb A^n_K</math>의 기약 축소 [[닫힌 부분 스킴]]이다.
* '''준아핀 다양체'''는 어떤 아핀 다양체의 기약 축소 [[열린 부분 스킴]]이다.
고전적으로, <math>S</math>가 [[다항식환]] <math>K[x_1,\dots,x_n]</math>의 부분 집합이라고 할 때, <math>V(S)\subset\mathbb A^n</math>가 <math>S</math>의 원소들의 근의 [[교집합]]이라고 하자. 즉
:<math>V(S)=\{x|f(x)=0\forall f\in S\}</math>
이다. 그렇다면 '''아핀 대수 집합'''(affine代數集合, {{lang|en|affine algebraic set}}) <math>X\subset\mathbb A^n</math>이란 <math>X=V(S)</math>인 <math>S\subset K[x_1,\dots,x_n]</math>이 존재하는 부분 집합이다. '''아핀 다양체'''는 두 개의 아핀 대수 집합의 자명하지 않는 [[합집합]](즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 아핀 대수 집합이다.

아핀 대수 집합에는 [[자리스키 위상]]이라는 자연스러운 [[위상 공간 (수학)|위상]]이 존재한다. 따라서 모든 아핀 대수 집합은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 이룬다.

'''준아핀 다양체'''는 아핀 다양체의 ([[자리스키 위상]]에 따라) [[열린 집합]]이다.

=== 사영 다양체 ===
<math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]] ([[복소수체]] 등)라고 하자. <math>\mathbb P_K^n=\operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dots,x_n]</math>이 <math>K</math>에 대한 [[사영 공간]]이라고 하자. 그렇다면 다음을 정의할 수 있다.
* '''사영 대수 집합'''은 <math>\mathbb P^n_K</math>의 축소 [[닫힌 부분 스킴]]이다.
* '''사영 다양체'''는 <math>\mathbb P^n_K</math>의 기약 축소 [[닫힌 부분 스킴]]이다.
* '''준사영 다양체'''는 어떤 사영 다양체의 기약 축소 [[열린 부분 스킴]]이다.
고전적으로, <math>S\subset K[x_1,\dots,x_n]</math>이 [[동차 다항식]]으로만 이루어져 있다고 하자. 그렇다면 <math>V(S)</math>가 <math>S</math>의 원소들의 근의 교집합이라고 하자. 즉
:<math>V(S)=\{x|f(x)=0\forall f\in S\}</math>
이다. (다항식이 [[동차 다항식]]이 아닌 경우에는 [[사영 공간]]에서의 근을 정의할 수 없다.) '''사영 대수 집합'''(射影代數集合, {{llang|en|projective algebraic set}}) <math>X\subset\mathbb A^n</math>이란 <math>X=V(S)</math>인 [[동차 다항식]] 부분 집합 <math>S\subset K[x_1,\dots,x_n]</math>이 존재하는 부분 집합이다. '''사영 다양체'''는 두 개의 사영 대수 집합의 자명하지 않는 [[합집합]](즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분 집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 사영 대수 집합이다. '''준사영 다양체'''는 사영 다양체의 ([[자리스키 위상]]에 따라) [[열린 집합]]이다.

== 성질 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 대수다양체들에 대하여, 다음 포함 관계가 성립한다.
:아핀 다양체 ⊊ 준아핀 다양체  ⊊ 준사영 다양체 ⊊ 대수다양체 ⊊ <math>K</math>-[[스킴 (수학)|스킴]]
:사영 다양체 ⊊ 준사영 다양체 ⊊ 대수다양체 ⊊ <math>K</math>-[[스킴 (수학)|스킴]]
:아핀 다양체 ⊊ 아핀 대수 집합 ⊊ <math>K</math>-[[스킴 (수학)|스킴]]
:사영 다양체 ⊊ 사영 대수 집합 ⊊ <math>K</math>-[[스킴 (수학)|스킴]]
이는 [[아핀 공간]] <math>\mathbb A^n</math>이 [[사영 공간]] <math>\mathbb P^n</math>의 [[자리스키 위상|자리스키]] [[열린 집합]]이기 때문이다.

일반적으로 아핀 다양체는 사영 다양체일 필요가 없고, 반대로 사영 다양체는 아핀 다양체일 필요가 없다. 아핀/사영 다양체가 아닌 아핀/사영 대수 집합은 대수다양체가 아니다. 또한, 준사영 다양체가 아닌 대수다양체가 존재한다.<ref name="Nagata"/>

=== 영점 정리 ===
{{본문|힐베르트 영점 정리}}
[[힐베르트 영점 정리]]에 따르면, 아핀 다양체 <math>X=\operatorname{Spec}R</math>의 부분 대수다양체들은 [[정역]] <math>R</math>의 [[소 아이디얼]]들과 [[일대일 대응]]하며, <math>X</math>의 부분 대수 집합들은 <math>\Gamma(X,\mathcal O_X)</math>의 [[반소 아이디얼]]들과 [[일대일 대응]]한다.

마찬가지로, 사영 다양체 <math>X=\operatorname{Proj}R</math>의 부분 대수다양체들은 [[등급환]] <math>R</math>의 동차 소 아이디얼과 일대일 대응하며, 부분 대수 집합들은 <math>R</math>의 동차 [[반소 아이디얼]]들과 일대일 대응한다.

이는 범주론적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대한 아핀 다양체의 범주 <math>\operatorname{Aff}_K</math>의 [[반대 범주]] <math>\operatorname{Aff}_K^{\operatorname{op}}</math>는 다음과 같은 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|20, Corollary 3.8}}
* 대상은 [[정역]]인 유한 생성 <math>K</math>-[[단위 결합 대수]]이다.
* 사상은 <math>K</math>-[[단위 결합 대수]]의 [[준동형]]이다.

== 역사 ==
아핀 다양체는 고대부터 [[유클리드 공간]]의 [[초곡면]]으로 오랫동안 연구되었다. 이후 [[복소수]]의 등장으로 대수기하학이 [[대수적으로 닫힌 체]]에서 훨씬 더 쉽다는 사실이 발견되었고, 또 [[사영기하학]]이 발달하면서 사영 공간 속의 (준)사영 다양체의 개념이 대두되었다.

"국소적으로 아핀 다양체와 동형인 공간"이라는, 대수다양체의 추상적인 정의는 [[앙드레 베유]]가 1946년에 제안하였다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark 4.10.2}}<ref>{{서적 인용|성=Weil|이름=André|저자링크=앙드레 베유|연도=1946|제목=Foundations of Algebraic Geometry|기타=American Mathematical Society Colloquium Publications 29|위치=Providence, Rhode Island|출판사=American Mathematical Society|언어=en}}</ref> 베유는 원래 추상적 대수다양체의 개념을 [[야코비 다양체]]를 정의하려고 정의했는데,<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark 4.10.2}}<ref>{{서적 인용|이름=A.|성=Weil|저자링크=앙드레 베유|제목="Courbes algébriques et variétés abéliennes. Variétés abéliennes et courbes algébriques|출판사=Hermann|날짜=1946|mr=0029522|zbl= 0208.49202|언어=fr}}</ref> 베유는 야코비 다양체가 사실 (준)사영 대수다양체라는 것을 보일 수 없었다. 이후 1954년에 [[저우웨이량]]이 사실은 사영 다양체라는 것을 보였고,<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark 4.10.2}}<ref>{{저널 인용|이름=W.L.|성=Chow|저자링크=저우웨이량|제목=The Jacobian variety of an algebraic curve|url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1954_76/page/n453|저널=American Journal of Mathematics|권= 76|날짜= 1954|쪽=453–476|mr=0061421|zbl=0056.14404|언어=en}}</ref> 1956년에 [[나가타 마사요시]]가 준사영 다양체가 아닌 대수다양체가 존재함을 증명하였다.<ref name="Nagata">{{저널 인용|성=Nagata|이름=M.|저자링크=나가타 마사요시|제목=On the imbedding problem of abstract varieties in projective varieties|저널=Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics|권=30|호=1|쪽=71–82|mr=88035|zbl=0075.16003|url=
http://projecteuclid.org/euclid.kjm/1250777138|언어=en}}</ref>

베유 이후, 1955년에 [[장피에르 세르]]가 대수다양체를 [[환 달린 공간]]의 개념을 사용하여 재정의하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.2307/1969915|이름=Jean-Pierre|성=Serre|저자링크=장피에르 세르|제목=Faisceaux algébriques cohérents|저널={{lang|en|Annals of Mathematics}}|연도=1955|월=3|권=61|호=2|쪽=197-278|url=http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf|언어=fr|access-date=2012-12-21|archive-date=2011-07-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20110717012046/http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf|url-status=}}</ref> 이 정의는 [[복소수]]에 대한 기존의 복소 대수기하학을 임의의 [[체 (수학)|체]] 위에서도 할 수 있는 토대를 마련하였다. 이후 [[알렉산더 그로텐디크]]의 [[스킴 (수학)|스킴 이론]]이 등장하면서, 대수다양체는 적절한 성질을 만족시키는 [[스킴 (수학)|스킴]]으로 다시 한 번 재정의되었다.

== 같이 보기 ==
* [[다양체]]
* [[매끄러운 다양체]]
* [[복소다양체]]
* [[대수 곡선]]
* [[대수 곡면]]
* [[스킴 (수학)]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{포털|수학}}
* {{eom|title=Algebraic variety}}
* {{eom|title=Projective algebraic set}}
* {{eom|title=Affine variety}}
* {{eom|title=Affine algebraic set}}
* {{매스월드|id=AlgebraicVariety|title=Algebraic variety}}
* {{매스월드|id=AffineVariety|title=Affine variety}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/algebraic+variety|제목=Algebraic variety|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/projective+variety|제목=Projective variety|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/affine+variety|제목=Affine variety|웹사이트=nLab|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수다양체| ]]
[[분류:대수기하학]]