대수군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''대수군'''(代數群, {{llang|en|algebraic group}})은 [[대수다양체]]를 이루는 [[군 (수학)|군]]이다.

== 정의 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>k</math>에 대한 '''대수군''' <math>G\to\operatorname{Spec}k</math>는 군 연산
:<math>(-\cdot-)\colon G\times G\to G</math>
:<math>{}^{-1}\colon G\to G</math>
이 갖추어져 있고, 이들이 [[정규함수]](regular function)인 [[대수다양체]]이다. 즉, 대수다양체의 범주에서의 [[군 대상]]이다.

대수군의 '''대수부분군'''({{llang|en|algebraic subgroup}})은 [[자리스키 위상]]에 따라 닫혀 있고, [[부분군]]을 이루며, [[대수다양체]]를 이루는 부분집합이다.

== 분류 ==
'''선형대수군'''({{llang|en|linear algebraic group}})은 [[아핀 대수다양체]]를 이루는 대수군이며, '''[[아벨 다양체]]'''는 [[아벨 군]]을 이루는 대수군이다.

'''슈발레 구조 정리'''({{llang|en|Chevalley’s structure theorem}})<ref>{{저널 인용 | last=Chevalley | first=C. | 저자링크=클로드 슈발레|title=Une démonstration d'un théorème sur les groupes algébriques | mr=0126447 | 날짜=1960 | journal=Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série) | issn=0021-7824 | volume=39 | pages=307–317 | 언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용 | last=Conrad | first=Brian | title=A modern proof of Chevalley's theorem on algebraic groups | url=http://math.stanford.edu/~conrad/papers/chev.pdf | mr=1906417 | 날짜=2002 | journal=Journal of the Ramanujan Mathematical Society | issn=0970-1249 | volume=17 | issue=1 | pages=1–18 | 언어=en}}</ref>에 따라서, 모든 연결 대수군 <math>G</math>은 [[아벨 다양체]] <math>A</math>의 선형대수군 <math>H</math>으로의 [[군 확대]]로 간주할 수 있다. 즉, 모든 대수군 <math>G</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to H\to G\to A</math>
여기서
* <math>H</math>는 <math>G</math>의 [[정규 부분군|정규]] 대수부분군이다.
* <math>A</math>는 [[아벨 다양체]]이다.

== 예 ==
* 모든 [[유한군]]은 자명하게 대수군을 이룬다.
* '''선형대수군'''({{llang|en|linear algebraic group}})은 [[아핀 대수다양체]]를 이루는 대수군이다.
** [[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(n,k)</math>
** [[특수선형군]] <math>\operatorname{SL}(n,k)</math>
** [[심플렉틱 군]] <math>\operatorname{Sp}(2n,k)</math>
** 가역 상[[삼각행렬]]들의 군 <math>\operatorname{Upper}(n,k)</math>
** 비퇴화 [[이차 형식]] <math>q</math>에 대하여, [[직교군]] <math>\operatorname O(q)</math> 및 [[특수직교군]] <math>\operatorname{SO}(q)</math>
* [[아벨 다양체]]는 [[아벨 군]]인 대수군이다.
** [[타원 곡선]]은 1차원 아벨 다양체이다.

반면, 예를 들어 [[유니터리 군]] <math>\operatorname{U}(n)</math>은 복소 대수군이 아니다.

== 같이 보기 ==
* [[보렐 부분군]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Humphreys | first=James E. | title=Linear Algebraic Groups | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-90108-4 | mr=0396773 | 날짜=1972 | 권=21 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Lang | first=Serge | authorlink=서지 랭 | title=Abelian varieties | publisher=Springer | isbn=978-0-387-90875-5 | 날짜=1983 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Mumford | first=David | authorlink=데이비드 멈퍼드 | title=Abelian varieties | publisher=Oxford University Press | isbn=978-0-19-560528-0 | oclc=138290 | 날짜=1970 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Springer | first=Tonny A. | title=Linear algebraic groups | publisher=Birkhäuser  | 판=2nd | series=Progress in Mathematics | isbn=978-0-8176-4021-7 | mr=1642713 | 날짜=1998 | 권=9| 언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Waterhouse | first=William C. | title=Introduction to affine group schemes | publisher=Springer | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-90421-4 | 날짜=1979 | volume=66 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Weil | first=André | authorlink=앙드레 베유 | title=Courbes algébriques et variétés abéliennes | publisher=Hermann | location=Paris | oclc=322901 | 날짜=1971 | 언어=fr}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Algebraic group}}
* {{매스월드|id=AlgebraicGroup|title=Algebraic group}}

[[분류:대수군| ]]