대수곡면 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''대수곡면'''(代數曲面, {{llang|en|algebraic surface}})은 2차원의 [[대수다양체]]이다. 복소 대수곡면은 [[위상수학]]적 [[다양체]]로 간주한다면 실수 2차원의 [[곡면]]이 아니라 실수 4차원의 다양체를 이루게 된다.

== 정의 ==
<math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하자. <math>K</math> 위의 '''대수곡면'''은 2차원 <math>K</math>-[[대수다양체]]이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>

== 분류 ==
대수곡면의 [[쌍유리 동치]]류의 완전한 분류는 매우 어려운 문제이다. 이에 대한 부분적인 분류가 존재하며, '''엔리퀘스-고다이라 분류'''({{llang|en|Enriques–Kodaira classification}})라고 한다. 이는 모든 대수곡면을 10종으로 분류한다. 이 가운데 9종은 특수한 곡면들이고, 대부분의 곡면들은 "일반형 곡면"으로 뭉뚱그려 분류한다. 9종의 특수한 곡면들은 [[호지 수]] 및 [[모듈라이 공간]]이 알려져 있지만, 일반형 곡면들은 잘 알려져 있지 않다.

엔리퀘스-고다이라 분류는 모든 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 복소 해석 곡면을 그 사영 최소 모형({{llang|en|minimal model}})의 [[고다이라 차원]]에 따라 10종으로 분류하며, 다음과 같다. 10종 가운데 8종만이 대수곡면을 이룰 수 있다.
* 고다이라 차원 −∞
** [[유리 곡면]]
** [[선직면]], 종수가 2 이상인 경우 (종수가 1인 선직면은 [[히르체브루흐 곡면]]으로, 유리곡면에 속한다)
** 제7종 곡면({{llang|en|surfaces of class VII}}, 대수곡면이 아님)
* 고다이라 차원 0
** [[K3 곡면]]
** 복소 [[원환면]] ([[아벨 다양체|아벨 곡면]])
** [[고다이라 곡면]] (대수곡면이 아님)
** [[엔리퀘스 곡면]]
** [[초타원 곡면]](hyperelliptic surface)
* 고다이라 차원 1
** [[타원 곡면]]
* 고다이라 차원 2
** [[일반형 곡면]]({{llang|en|surfaces of general type}})

== 성질 ==
모든 [[비특이 대수다양체|비특이]] [[완비 대수다양체|완비]] 대수곡면은 [[사영 대수다양체]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark 4.10.2b}} 그러나 특이 완비 대수곡면은 사영 대수다양체가 아닐 수 있다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark 4.10.2c}}

=== 불변량 ===
대수곡면의 [[산술 종수]]와 [[기하 종수]]는 [[쌍유리 동치]]에 대한 불변량이다. 대수곡면의 경우, [[대수 곡선]]의 경우와 달리 [[산술 종수]]
:<math>p_{\text{g}}=h^{0,2}=h^{2,0}</math>
와 [[기하 종수]]
:<math>p_{\text{a}}=h^{0,2}-h^{0,1}=\chi(X;\mathcal O_X)-1</math>
가 다르다. 이 두 수의 차를 '''비정칙수'''(非正則數, {{llang|en|irregularity}})
:<math>q=h^{0,1}</math>
라고 하며, 이는 [[곡면]]의 [[피카르 다양체]]의 차원과 같다. 나머지 호지 수 <math>h^{1,1}</math>은 쌍유리 동치에 대한 불변량이 아닌데, 이는 [[부풀리기]]를 가하면 [[사영 직선]]이 추가되어 <math>h^{1,1}</math>이 증가하기 때문이다.

=== 교차 이론 ===
대수곡면의 교차 이론은 자명하지 않은 경우 [[여차원]]이 항상 1이므로 일반적인 [[대수적 순환]] 대신 [[인자 (대수기하학)|인자]]를 사용할 수 있어, 고차원의 경우보다 더 단순하다.

[[대수적으로 닫힌 체]] 위의 [[비특이 대수다양체|비특이]] 대수곡면 <math>X</math> 위에, [[인자 (대수기하학)|인자]]들의 선형 [[동치류]]들의 군은 [[피카르 군]] <math>\operatorname{Pic}(X)</math>과 같다. 그렇다면, 다음 성질들을 만족시키는 유일한 함수
:<math>{\cdot}\colon\operatorname{Pic}(X)\times\operatorname{Pic}(X)\to\mathbb Z</math>
가 존재한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|357–358, Theorem V.1.1}}
* (<math>\mathbb Z</math>-겹선형성 및 대칭성) 임의의 <math>A,B,C\in\operatorname{Pic}(X)</math> 및 <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여,
** <math>A\cdot B=B\cdot A</math>
** <math>(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C</math>
** <math>(nA)\cdot B=n(A\cdot B)</math>
* (정규화) 임의의 두 곡선 <math>C,D\subset X</math>에 대하여, 만약 <math>C</math>와 <math>D</math>가 횡단 교차({{llang|en|transversal intersection}})한다면, <math>[C]\cdot[D]=|C\cap D|</math>
여기서 횡단 교차는 각 <math>x\in C\cap D</math>에서, <math>C</math>와 <math>D</math>에 대응하는 [[아이디얼 층]]의 <math>x</math>에서의 줄기 <math>\mathfrak c,\mathfrak d\subseteq\mathcal O_{X,x}</math>가 주어졌을 때, <math>\mathfrak a+\mathfrak b</math>가 <math>\mathcal O_{X,x}</math>의 유일한 [[극대 아이디얼]]이라는 뜻이다.

구체적으로, '''베르티니 정리'''({{llang|en|Bertini theorem}})에 따라, 임의의 인자 <math>\sum_iC_i</math> 및 곡선 <math>D</math>에 대하여, 모든 <math>C_i</math>와 횡단 교차하며 <math>D</math>와 선형 동치인 비특이 곡선 <math>D'</math>을 찾을 수 있다. 이를 통해 인자의 [[교차수]]를 간단히 정의할 수 있다.

=== 리만-로흐 정리 ===
[[대수 곡선]]과 마찬가지로, 대수곡면에 대해서도 [[리만-로흐 정리]]의 한 형태가 성립한다. 이는 [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]]의 특수한 경우이다. 대수곡면 <math>X</math> 위에 [[가역층]] <math>\mathcal L</math>이 주어졌을 때, 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따라 다음이 성립한다.
:<math>\chi(X;\mathcal L)=\frac12c_1(\mathcal L)^2+\frac12c_1(\mathcal L)c_1(X)+\frac1{12}(c_1(X)^2+c_2(X))</math>
이는 다음과 같은 두 개의 식으로 분해할 수 있다. 우선, <math>\mathcal L</math>에 의존하지 않는 항들은 <math>\mathcal L=\mathcal O_X</math>를 대입하여 다음과 같이 쓸 수 있으며, 이를 '''뇌터 공식'''({{llang|en|Noether formula}})이라고 한다.
:<math>\chi(X;\mathcal O_X)=\frac1{12}(c_1(X)^2+c_2(X))=\frac1{12}\left(K_X.K_X+\frac1{12}(K_X.K_X+\chi_{\operatorname{top}}(X)\right)</math>
여기서 <math>K_X.K_X</math>는 <math>X</math>의 [[표준 인자]] <math>K</math>의 [[자기 교차수]]이며, <math>\chi_{\operatorname{top}}(X)</math>는 <math>X</math>의 위상수학적 오일러 지표이다. 이를 사용하면, 곡면 리만-로흐 정리는 다음과 같다.
:<math>\chi(X;\mathcal L)=\frac12c_1(\mathcal L)^2+\frac12c_1(\mathcal L)c_1(X)+\chi(X;\mathcal O_X)</math>
<math>\mathcal L</math>에 대응하는 [[인자 (대수기하학)|인자]]를 <math>D</math>라고 하면, 다음과 같다.
:<math>\chi(X;\mathcal L)=\frac12(D.D)-\frac12(D.K)+\chi(X;\mathcal O_X)</math>

=== 특이점의 해소 ===
만약 대수곡면 <math>X</math>를 한 점에서 [[부풀리기]]하여, 비특이 대수곡면 <math>X'</math>을 얻으면, 그 특이 곡선 <math>E</math>의 자기 [[교차수]]는
:<math>[E]\cdot[E]=-1</math>
이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|386, Proposition V.3.1}} 반대로, 자기 교차수가 <math>-1</math>인 모든 [[유리 곡선]] <math>E\subset X'</math>에 대하여, <math>E</math>를 특이 곡선으로 하는 [[부풀리기]] <math>X\to X'</math>가 존재한다 ('''카스텔누오보 조건''' {{llang|en|Castenuovo’s criterion}}).<ref name="Hartshorne"/>{{rp|414, Theorem V.5.7}} 이러한 조건을 만족시키는 유리 곡선을 '''제1종 예외 곡선'''({{llang|en|exceptional curve of the first kind}})이라고 한다.

[[대수적으로 닫힌 체]] 위의 두 대수곡면 <math>X</math>, <math>X'</math> 사이의 모든 [[쌍유리 동치]]
:<math>X-\!\to X'</math>
는 유한 개의 [[부풀리기]] 및 쪼그라뜨리기(부풀리기의 역)의 합성으로 나타낼 수 있다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|412–413, Theorem V.5.5}} (이는 3차원 이상에서는 성립하지 않는다. 또한, 일반적으로 대수곡면은 무한 개의 제1종 예외 곡선을 가질 수 있다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|418, Remark V.5.8.1}}) 이에 따라, 대수곡면의 특이점의 해소 이론은 비교적 간단하다.

대수곡면 <math>X</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''상대적 최소 모형'''({{llang|en|relatively minimal model}})이라고 한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|418}}
* 임의의 [[쌍유리 사상]] <math>f\colon X-\!\to X'</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>가 <math>X</math> 전체에 정의된다면, <math>f</math>는 대수다양체의 [[동형]]이다.
대수곡면 <math>X</math>가 스스로의 쌍유리 동치류 속의 유일한 상대적 최소 모형이라면, '''최소 모형'''({{llang|en|minimal model}})이라고 한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|418}}
(임의의 [[체의 표수]]의) [[대수적으로 닫힌 체]] 위의 대수곡면은 항상 하나 이상의 상대적 최소 모형과 [[쌍유리 동치]]이며,<ref name="Hartshorne"/>{{rp|418, Theorem V.5.8}} [[유리 곡면]]이나 [[선직면]]이 아닌 대수곡면은 최소 모형을 갖는다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|419, Remark 5.8.4}}

== 예 ==
대표적인 대수곡면으로는 다음이 있다.
* [[유리 곡면]]
** [[사영 평면]]
** [[델 페초 곡면]]
* [[이차 곡면]]
* [[타원 곡면]]
* [[K3 곡면]]
* [[아벨 다양체|아벨 곡면]]

=== 공간 곡면 ===
3차원 [[사영 공간]] <math>\mathbb P^3</math> 속에서 <math>d</math>차 [[동차다항식]]의 영점으로 정의되는 대수곡면을 생각하자. 만약 이 대수곡면이 [[비특이 대수다양체]]라면, 그 호지 수는 다음과 같다.<ref>{{웹 인용|url=http://homepages.warwick.ac.uk/~maseap/arith/notes/primogiorno.pdf|제목=Classification and the Minimal Model Program; the Hodge diamond|이름=Damiano|성=Testa|언어=en|확인날짜=2015-07-20|archive-date=2016-03-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20160305044507/http://homepages.warwick.ac.uk/~maseap/arith/notes/primogiorno.pdf|url-status=}}</ref>
{| style="text-align:center"
| || || 1
|-
| || 0 || || 0
|-
| <math>\binom{d-1}3</math> || || <math>\tfrac13d(2d^2-6d+7)</math> || || <math>\binom{d-1}3</math>
|-
| || 0 || || 0
|-
| || || 1
|}
낮은 차수의 공간 곡면은 다음과 같다.
* 공간 1차 곡면은 [[사영 평면]]이다.
* 공간 [[2차 곡면]]은 두 [[사영 직선]]의 곱 <math>\mathbb P^1\times\mathbb P^1</math>이다.
* 공간 3차 곡면은 [[델 페초 곡면]] <math>\operatorname{dP}_6</math>이다. 즉, 6개의 점이 [[부풀리기|부풀려진]] [[사영 평면]]이다.
* 공간 4차 곡면은 [[K3 곡면]]이다.
* 5차 이상의 곡면은 일반형 곡면이다.

== 역사 ==
[[이차 곡면]]은 고대 그리스에서부터 이미 활발히 연구되었다. [[대수 곡선]]의 분류가 알려지면서, 19세기 말에 [[알프레트 클렙슈]]와 [[막스 뇌터]]는 대수곡면의 연구를 제창하였다. 20세기 초에 이탈리하 학파의 [[페데리고 엔리퀘스]]는 모든 대수곡면을 10종으로 분류하였으나, 이탈리아 학파의 방식은 엄밀하지 않았다.

1930년대에 [[오스카 자리스키]]는 대수곡면의 [[특이점 (대수기하학)|특이점]]의 해소를 증명하였다. 1950년대에 [[고다이라 구니히코]]가 엔리퀘스의 분류를 엄밀히 증명하였고, 이는 오늘날 '''엔리퀘스-고다이라 분류'''로 불린다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Zariski | first=Oscar | authorlink=오스카 자리스키 | title=Algebraic surfaces | publisher=Springer | series=Classics in Mathematics | isbn=978-3-540-58658-6 | mr=1336146 | 날짜=1995 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | 제목=Complex algebraic surfaces|판=2|이름=Arnaud|성= Beauville|날짜=1996|총서=London Mathematical Society Student Texts|권=34|isbn=978-052149510-3|출판사=Cambridge University Press|doi=10.1017/CBO9780511623936|언어=en}}
* {{저널 인용 | 제목=Today's menu: geometry and resolution of singular algebraic surfaces|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=47|날짜=2010|쪽=373–417 |mr=2651084 |이름=E. |성=Faber|공저자= H. Hauser |issn=0273-0979|언어=en}}
* {{저널 인용 | 제목=Chapters on algebraic surfaces|이름=Miles|성=Reid|arxiv=alg-geom/9602006|bibcode=1996alg.geom..2006R|날짜=1996|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[대수 곡선]]

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{eom|title=Algebraic surface}}
* {{매스월드|id=AlgebraicSurface|title=Algebraic surface}}
{{전거 통제}}

[[분류:대수곡면| ]]