대각 사상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''대각 사상'''(對角寫像, {{llang|en|diagonal morphism}})은 어떤 대상에서 그 거듭제곱으로 가는 표준적인 [[사상 (수학)|사상]]이다. 마찬가지로, 어떤 대상의 거듭[[쌍대곱]]에서 원래 대상으로 가는 '''쌍대 대각 사상'''(雙對對角寫像, {{llang|en|codiagonal morphism}})이 존재한다.

== 정의 ==
[[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math> 및 범주 <math>\mathcal C</math> 속의 대상 <math>X</math>와 가 주어졌다고 하자. 만약 <math>\kappa</math>개의 <math>X</math>들의 [[곱 (범주론)|곱]] <math>X^{\times\kappa}</math>이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 [[보편 성질]]에 의하여 항등 사상 <math>\operatorname{id}_X</math>로부터 유도되는 사상
:<math>\operatorname{diag}_X\colon X\to X^{\times\kappa}</math>
이 존재한다. 이를 '''대각 사상'''이라고 한다. 만약 <math>\kappa=1</math>일 경우 이는 [[항등 사상]] <math>\operatorname{id}_X\colon X\to X</math>이며, 만약 <math>\kappa=0</math>일 경우 이는 [[끝 대상]] <math>1\cong X^{\times1}</math>으로 가는 유일한 사상 <math>X\to1</math>이다.

마찬가지로, 만약 <math>\kappa</math>개의 <math>X</math>들의 [[쌍대곱]] <math>X^{\sqcup\kappa}</math>이 존재한다고 하자. 그렇다면, [[쌍대곱]]의 [[보편 성질]]에 의하여 항등 사상 <math>\operatorname{id}_X</math>로부터 유도되는 사상
:<math>\operatorname{diag}_X\colon X^{\sqcup\kappa}\to X</math>
이 존재한다. 이를 '''쌍대 대각 사상'''({{llang|en|codiagonal morphism}})이라고 한다. 만약 <math>\kappa=1</math>일 경우 이는 [[항등 사상]] <math>\operatorname{id}_X\colon X\to X</math>이며, 만약 <math>\kappa=0</math>일 경우 이는 [[시작 대상]] <math>0\cong X^{\sqcup1}</math>에서 <math>X</math>로 가는 유일한 사상 <math>0\to X</math>이다.

== 예 ==
=== 집합의 범주 ===
[[집합]]과 함수의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>는 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이다. 집합 <math>X</math>과 기수 <math>\kappa</math>가 주어졌을 때, [[곱집합]] <math>X^{\times\kappa}</math>으로 가는 대각 함수는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{diag}_X^\kappa\colon X\to X^{\times\kappa}</math>
:<math>\operatorname{diag}_X^\kappa\colon x\mapsto(\overbrace{x,x,\dots,x}^\kappa)\in X^{\times\kappa}</math>
대각 사상의 [[치역]]을 '''대각 부분 집합'''({{llang|en|diagonal subset}})이라고 한다.

<math>\kappa=2</math>이며, <math>X</math>가 [[유한 집합]]이며, <math>X</math>에 임의의 [[전순서]]를 주면 <math>X\times X</math>의 원소는 변의 길이가 <math>|X|</math>인 [[정사각 행렬]]의 한 성분으로 생각할 수 있다. 이 경우, 대각 사상은 모든 원소를 [[정사각 행렬]]의 (왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는) 대각선 위의 성분에 대응시키며, "대각 사상"이라는 이름은 이로부터 유래하였다.
:<math>\begin{pmatrix}
\bullet\\-\\\vdots
\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}
\bullet&-&\cdots\\
-&-&\cdots\\
\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}</math>
:<math>\begin{pmatrix}
-\\\bullet\\\vdots
\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}
-&-&\cdots\\
-&\bullet&\cdots\\
\vdots&\vdots&\ddots
\end{pmatrix}</math>
:<math>\vdots</math>

=== 작은 범주의 범주 ===
[[작은 범주]]와 [[함자 (수학)|함자]]의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math>는 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이다. 이 경우, [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 위의 대각 함자
:<math>\operatorname{diag}_{\mathcal C}\colon \mathcal C\to\mathcal C\times\mathcal C</math>
는 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.
:<math>\operatorname{diag}_{\mathcal C}\colon X\mapsto (X,X)\in\mathcal C\times\mathcal C</math>
:<math>\operatorname{diag}_{\mathcal C}\colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f\times f\colon (X,X)\to (Y,Y)\right)</math>

=== 조각 범주 ===
범주 <math>\mathcal C</math> 속의 대상 <math>A</math> 위의 [[조각 범주]] <math>\mathcal C/A</math>를 생각하자. 조각 범주의 대상 <math>f\colon X\to A</math>의 대각 사상 <math>\operatorname{diag}_f</math>은 (만약 존재한다면) <math>\mathcal C</math>에서 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}
X&\overset{\operatorname{diag}_f}\to&X\times_AX&\overset{\operatorname{proj}_1}\to&X\\
&&{\scriptstyle\operatorname{proj}_12}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\
&&X&\underset f\to&A
\end{matrix}
</math>
즉, 이는 [[당김 (범주론)|당김]] <math>X\times_AX</math>에 대한 대각 사상 <math>X\to X\times_AX</math>을 이룬다.

=== 위상 공간의 범주 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>에서, 대각 사상 <math>\operatorname{diag}_X\colon X\to X\times X</math>은 [[집합]]으로서의 대각 함수와 같으며, 대각 사상은 항상 그 [[상 (수학)|상]]으로의 [[위상 동형]]을 정의한다.

위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[하우스도르프 공간]]이다.
* 대각 사상 <math>X\to X\times X</math>의 [[상 (수학)|상]]이 [[닫힌집합]]이다.

=== 스킴의 범주 ===
[[스킴 (수학)|스킴]]의 범주에서, [[당김 (범주론)|당김]]에 대한 대각 사상 <math>X\to X\times_YX</math>는 다음과 같이 다양한 정의·정리들에 등장한다.
* [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 이에 대한 대각 사상 <math>X\to X\times_YX</math>는 항상 스킴 몰입이다. 즉, 어떤 [[열린 몰입]] <math>\iota_o\colon Z\to X\times_YX</math> 및 [[닫힌 몰입]] <math>\iota_c\colon X\to Z</math>의 합성이다.
* [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 이에 대한 대각 사상 <math>X\to X\times_YX</math>가 [[준콤팩트 함수]]라면 <math>f</math>를 [[준분리 사상]]이라고 한다.
* [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 이에 대한 대각 사상 <math>X\to X\times_YX</math>가 [[닫힌 몰입]]이라면 <math>f</math>를 [[분리 사상]]이라고 한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|96}} 이는 대각 사상의 [[상 (수학)|상]]이 [[닫힌집합]]인 것과 동치이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|96, Corollary II.4.2}}
* [[국소 유한 표시 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 이에 대한 대각 사상 <math>f\colon X\to X\times_YX</math>가 [[열린 몰입]]이라면 <math>f</math>를 [[비분기 사상]]이라고 한다.<ref name="ÉGA4.4">{{저널 인용
 |last         = Grothendieck
 |first        = Alexandre
 |저자링크 = 알렉산더 그로텐디크
 |last2        = Dieudonné
 |first2       = Jean
 |author2-link = 장 디외도네
 |year         = 1967
 |title        = Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie
 |journal      = Publications Mathématiques de l’IHÉS
 |issn         = 0073-8301
 |volume       = 32
 |mr           = 0238860
 |url          = http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_
 |doi          = 10.1007/bf02732123
 |언어       = fr
 |access-date  = 2016-02-26
 |archive-date = 2016-03-03
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20160303224653/http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_
 |url-status   = 
}}</ref>{{rp|65, Corollaire IV.17.4.2(c)}}
* [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 사상을 '''보편 단사 사상'''({{llang|en|universally injective morphism}})이라고 한다.
** 임의의 [[스킴 사상]] <Math>Y'\to Y</math>에 대하여, 밑 변환 <math>X\times_YY'\to Y'</math>이 [[단사 함수]]이다.
** 대각 사상 <math>X\to X\times_YX</math>가 [[전사 함수]]이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=diagonal morphism|title=Diagonal morphism}}
* {{nlab|id=codiagonal|title=Codiagonal}}
* {{nlab|id=diagonal function|title=Diagonal function}}
* {{nlab|id=diagonal functor|title=Diagonal functor}}
* {{nlab|id=diagonal subset|title=Diagonal subset}}
* {{웹 인용|url=http://math.stackexchange.com/questions/1144805/whats-with-the-diagonal-morphism|제목=What's with the diagonal morphism?|출판사=StackExchange|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Hausdorff_Space_iff_Diagonal_Set_on_Product_is_Closed|제목=Hausdorff space iff diagonal set on product is closed|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:범주론]]