대각합 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서 '''대각합'''(對角合, {{llang|en|trace|트레이스}}, {{llang|de|Spur|슈푸어}})은 [[정사각 행렬]]의 [[주대각선]] 성분들의 합이다. 기호는 tr 또는 Sp.

== 정의 ==
<math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>A</math>의 '''대각합''' <math>\operatorname{tr}(A)</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^nA_{ii}=A_{11}+A_{22}+\cdots+A_{nn}</math>

== 성질 ==
함수로서, 대각합 <math>\operatorname{tr}\colon\operatorname{Mat}(n;K)\to K</math>는 [[선형 범함수]]이다. 즉, 임의의 <math>n</math>차 정사각 행렬 <math>A</math>, <math>B</math>와 [[스칼라 (수학)|스칼라]] <math>c</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)</math>
:<math>\operatorname{tr}(cA)=c\operatorname{tr}(A)</math>
서로 [[전치 행렬]]의 대각합은 서로 같다. 이는 행렬을 전치했을 때 주대각선 성분이 변하지 않기 때문이다.
:<math>\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(A^\operatorname{T})</math>
임의의 <math>m\times n</math> 행렬 <math>A</math> 및 <math>n\times m</math> 행렬 <math>B</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)</math>
{{증명}}
:<math>\operatorname{tr}(AB) = \sum_{i=1}^m (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ji} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m B_{ji} A_{ij} = \sum_{j=1}^n (BA)_{jj} = \operatorname{tr}(BA)</math>
{{증명 끝}}
대각합은 [[닮음 불변량]]이다. 즉, 서로 [[닮음 행렬]]의 대각합은 서로 같다. 즉, 임의의 <math>n</math>차 [[가역 행렬]] <math>P</math> 및 <math>n</math>차 정사각 행렬 <math>A</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}(A)</math>
{{증명}}
:<math>\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}((P^{-1}A)P)=\operatorname{tr}(P(P^{-1}A))=\operatorname{tr}(A)</math>
{{증명 끝}}
행렬의 대각합은 (중복도를 고려한) [[고윳값]]들의 합과 같다. 사실 대각합은 행렬의 [[특성 다항식]]의 한 계수이다.
:<math>\operatorname{tr}(A)=\sum_{\lambda\in\sigma(A)}\lambda</math>

== 같이 보기 ==
* [[스칼라 곡률]]
* [[특성함수 (확률론)]]
* [[체 대각합]]
* [[골든-톰슨 부등식]]
* [[대각합류 작용소]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자=Jin Ho Kwak, Sungpyo Hong|연도=2004|제목=Linear Algebra|출판사 =Birkhäuser|ISBN=0817642943|판=2판|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=MatrixTrace|title=Matrix trace}}

{{전거 통제}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:행렬론]]