대각지배행렬 문서 원본 보기

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'''대각지배행렬'''(Diagonally dominant matrix)은 모든 행에 대해 [[주대각선]]의 성분이 자신을 제외한 성분들에 대해 우위 조건을 갖는 [[정사각행렬]]이다. 일반적으로, 모든 행에 대해 [[주대각선]]의 성분의 절댓값이 자신을 제외한 성분들의 절댓값의 합보다 크거나 같은 [[정사각행렬]]을 대각지배행렬이라고 한다.

이러한 우위 조건을 대각지배성이라고 한다.

== 대각지배성 ==
:<math>|a_{ii}| \geq \sum_{j\neq i}^{j=n} |a_{ij}| \;</math>

== 예 ==
행렬
:<math> A = \begin{bmatrix}
3 & -2 & 1\\
1 & -3 & 2\\
-1 & 2 & 4\end{bmatrix}
</math>

:<math>|a_{11}| \ge |a_{12}| + |a_{13}|</math>에서 <math>|+3| \ge |-2| + |+1|</math>

:<math>|a_{22}| \ge |a_{21}| + |a_{23}|</math>에서 <math>|-3| \ge |+1| + |+2|</math>

:<math>|a_{33}| \ge |a_{31}| + |a_{32}|</math>에서 <math>|+4| \ge |-1| + |+2|</math>

대각선으로 지배적이다.

: 행렬 <math> B = \begin{bmatrix}
-2 & 2 & 1\\
1 & 3 & 2\\
1 & -2 & 0\end{bmatrix}
</math>

:<math>|b_{11}| < |b_{12}| + |b_{13}|</math>에서 <math>|-2| < |+2| + |+1|</math>

:<math>|b_{22}| \ge |b_{21}| + |b_{23}|</math>에서 <math>|+3| \ge |+1| + |+2|</math>

:<math>|b_{33}| < |b_{31}| + |b_{32}|</math>에서 <math>|+0| < |+1| + |-2|</math>
제 1 및 제 3 행은 대각지배성 조건을 만족시키지 못한다.
즉, 대각선으로 지배적이지 않다.


:행렬 <math> C = \begin{bmatrix}
-4 & 2 & 1\\
1 & 6 & 2\\
1 & -2 & 5\end{bmatrix}
</math>

강하게 대각선으로 지배적이다.

:<math>|c_{11}| > |c_{12}| + |c_{13}|</math>에서 <math>|-4| > |+2| + |+1|</math>

:<math>|c_{22}| > |c_{21}| + |c_{23}|</math>에서 <math>|+6| > |+1| + |+2|</math>

:<math>|c_{33}| > |c_{31}| + |c_{32}|</math>에서 <math>|+5| > |+1| + |-2|</math>

== 같이 보기 ==
* [[가우스-자이델 방법]]

== 참고 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/DiagonallyDominantMatrix.html 매스월드]
* [https://web.archive.org/web/20170802083457/http://www.msharpmath.com/wordpress/wp-content/uploads/2012/09/102-003-%EC%88%98%EC%B9%98%ED%95%B4%EC%84%9D1.pdf m#math.com]
* {{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8 |쪽=144-145}}

[[분류:행렬]]
[[분류:수치선형대수학]]