닮음 (기하학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Similar-geometric-shapes.svg|섬네일|300px|닮은 도형들은 같은 색이 칠해져 있다.]]

[[기하학]]에서 '''닮음'''({{llang|en|similarity}}) 또는 '''상사'''(相似)는 [[유클리드 공간]]의 모든 [[각 (수학)|각]]을 보존하며 모든 [[거리 함수|거리]]를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 [[아핀 변환]]이다. 모든 닮음은 [[고정점]]을 가지는 닮음과 [[등거리 변환]]의 [[함수의 합성|합성]]으로 나타낼 수 있다. [[평행 이동]], [[회전 (기하학)|회전]], [[반사 (기하학)|반사]] 등이 이러한 등거리 변환이 될 수 있다.

두 도형의 하나에 닮음에 대한 [[상 (수학)|상]]을 취하여 다른 하나를 얻을 수 있다면 이 두 도형을 서로 '''닮음'''이라고 한다. 닮은 도형은 모양은 같거나 거울상이되 크기는 다를 수 있다. 예를 들어, 두 삼각형이 서로 닮음일 필요충분조건은 세 대응각의 크기가 각각 같고, 세 대응변의 길이의 비가 모두 같다.

위상수학에서는 더 나아가 구와 원뿔과 원기둥과 정육면체를 닮은 도형으로 간주한다. 정확하게는 위상동형(homeomorphism) 관계의 도형이다. 두 [[원 (기하학)|원]], 두 [[직각이등변삼각형]], 변의 개수 혹은 각의 개수가 같은 두 [[정다각형]], 중심각의 크기 혹은 호의 길이가 같은 두 [[부채꼴]], 두 [[구 (기하학)|구]], 면의 개수가 같은 두 [[정다면체]] 등은 모두 항상 닮음이다. 또, 닮음의 조건(위)를 나타내면 SSS 닮음(세 변의 길이의 비가 각각 같다.), SAS 닮음(두 변의 길이의 비가 같고 그 [[끼인각]]의 크기가 같다.), AA 닮음(두 각의 크기가 같다, 삼각형의 내각의 합은 180도이므로 두 각의 크기가 같으면 나머지 한 각의 크기도 구할 수 있다.)이다.

== 정의 ==
양의 실수 <math>k\in\mathbb R^+</math>가 주어졌다고 하자.

'''비 <math>k</math>의 닮음'''({{llang|en|similarity with ratio <math>k</math>}})는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 <math>S\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n</math>이다.
* 임의의 <math>\mathbf x,\mathbf y\in\mathbb R^n</math>에 대하여, <math>\Vert S(\mathbf x)-S(\mathbf y)\Vert=k\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert</math>

이는 [[유클리드 공간]]의 가역 [[아핀 변환]]을 이룬다.<ref name="Borceux">{{서적 인용
|성=Borceux
|이름=Francis
|제목=An Algebraic Approach to Geometry
|언어=en
|출판사=Springer
|위치=Switzerland
|날짜=2014
|isbn=978-3-319-01732-7
|doi=10.1007/978-3-319-01733-4
}}</ref>{{rp|171}}

=== 중심닮음 ===
[[파일:Geom_podobnost_stejnolehlest.svg|섬네일|중심닮음을 취한 오각형]]
점 <math>\mathbf x_0\in\mathbb R^n</math> 및 실수 <math>k\in\mathbb R</math>가 주어졌다고 하자.

'''중심 <math>\mathbf x_0</math> 및 비 <math>k</math>의 중심닮음(호모세티)'''({{llang|en|central similarity (homothety) with center <math>\mathbf x_0</math> and ratio <math>k</math>}})은 다음과 같은 함수이다.
:<math>H_{\mathbf x_0,k}\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n</math>
:<math>H_{\mathbf x_0,k}\colon\mathbf x\mapsto\mathbf x_0+k(\mathbf x-\mathbf x_0)\qquad\forall\mathbf x\in\mathbb R^n</math>

== 성질 ==
[[아핀 변환]] <math>S\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.<ref name="Borceux" />{{rp|172}}
* <math>S</math>는 닮음이다.
* (각의 보존) 임의의 <math>\mathbf x,\mathbf y\in\mathbb R^n</math>에 대하여, <math>\textstyle
\frac{S(\mathbf x)\cdot S(\mathbf y)}{\Vert S(\mathbf x)\Vert\Vert S(\mathbf y)\Vert}=
\frac{\mathbf x\cdot\mathbf y}{\Vert\mathbf x\Vert\Vert\mathbf y\Vert}</math>
* (직각의 보존) 임의의 <math>\mathbf x,\mathbf y\in\mathbb R^n</math>에 대하여, <math>\mathbf x\cdot\mathbf y=0</math>라면, <math>S(\mathbf x)\cdot S(\mathbf y)=0</math>

비 <math>k</math>의 닮음은 <math>d</math>차원 도형의 초부피를 <math>k^d</math>배 확대(축소)한다.

비가 <math>k</math>인 중심닮음은 비가 <math>|k|</math>인 닮음이다. 이는 <math>k>0</math>일 경우 방향을 보존하며, <math>k<0</math>일 경우 방향을 반전한다. 반대로, 비 <math>k</math>의 닮음이 고정점 <math>\mathbf x_0</math>을 가진다면, 이는 중심 <math>\mathbf x_0</math> 및 비 <math>\pm k</math>의 중심닮음이다.

원점을 중심으로 하는 중심닮음은 [[선형 변환]]이다. 그 임의의 기저에 대한 행렬은 비가 <math>k</math>일 경우 <math>k_{n\times n}</math>이다.

모든 닮음은 중심닮음과 [[등거리 변환]]의 [[함수의 합성|합성]]으로 나타낼 수 있다.<ref name="Borceux" />{{rp|171}}

=== 삼각형의 닮음 ===
두 삼각형 <math>ABC</math>와 <math>A'B'C'</math>의 닮음은 Similarity의 라틴어 머릿글자 '''S를 옆으로 눕힌 기호(∽)'''를 사용한다. <math>\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'</math>와 같이 표기한다.

두 삼각형 <math>ABC</math> 및 <math>A'B'C'</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* <math>\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'</math>. 즉, 두 삼각형은 서로 닮음이다.
* <math>\textstyle\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}</math>. 즉, 세 쌍의 대응변의 길이가 비례한다. 이를 '''변변변 닮음'''({{llang|en|SSS similarity}})이라고 한다.
* <math>\textstyle\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}</math>이며 <math>\angle C=\angle C'</math>. 즉, 두 쌍의 대응변의 길이가 비례하며, 그 사잇각의 크기가 같다. 이를 '''변각변 닮음'''({{llang|en|SAS similarity}})이라고 한다.
* <math>\angle A=\angle A'</math>이며 <math>\angle B=\angle B'</math>. 즉, 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같다. 이를 '''각각 닮음'''({{llang|en|AA similarity}})이라고 한다.

서로 닮음인 삼각형의 세 대응변의 길이의 비가 모두 <math>k</math>라면, 넓이의 비는 <math>k^2</math>이다.

== 예 ==
모든 [[등거리 변환]]은 비 1의 닮음이다. 따라서 [[합동 (기하학)|합동]]은 닮음의 특수한 경우다.

평면 <math>\mathbb R^2</math> 위에서, 원점 <math>(0,0)</math>을 중심으로 하고 2를 비로 하는 중심닮음은 행렬로 표기하면 다음과 같다.
:<math>\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\mapsto\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}\qquad\forall(x,y)\in\mathbb R^2</math>

== 같이 보기 ==
* [[합동 (기하학)]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Similarity}}
* {{eom|title=Homothety}}

{{전거 통제}}

[[분류:유클리드 기하학]]