닫힌 원순서 집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[순서론]]에서 '''닫힌 원순서 집합'''(-原順序集合, {{llang|en|closed preordered set}})이란 모든 [[사슬 (순서론)|사슬]]이 [[상계 (수학)|상계]]를 갖는 [[원순서 집합]]이다.

== 정의 ==
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 '''정렬 사슬'''은 [[정렬 전순서 집합]]을 이루는 [[사슬 (순서론)|사슬]]이다. <math>X</math>의 정렬 사슬들의 집합을 <math>\operatorname{woChain}(X)</math>로 표기하자.

[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''닫힌 원순서 집합'''({{llang|en|closed proset}})이라고 한다.
:임의의 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>C\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>C</math>가 [[정렬 전순서 집합]]이라면, <math>C</math>는 [[상계 (수학)|상계]] <math>x\in X</math>를 갖는다.
사실, 모든 [[전순서 집합]]은 [[공종 집합|공종]] [[정렬 전순서 집합]]을 가지므로, 위 정의에서 "정렬 사슬"을 모든 사슬에 대하여 강화시킬 수 있다.

보다 일반적으로, 순서수 <math>\lambda\in\operatorname{Ord}</math>에 대하여, [[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''<math>\lambda</math>-닫힌 원순서 집합'''({{llang|en|<math>\lambda</math>-closed proset}})이라고 한다.<ref name="Kunen"/>{{rp|214, Definition VII.6.12}}
:임의의 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>C\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>C</math>가 [[정렬 전순서 집합]]이며 그 순서형이 <math>\lambda</math> 미만이라면, <math>C</math>는 [[상계 (수학)|상계]] <math>x\in X</math>를 갖는다.
만약 <math>\lambda>|X|</math>라면, <math>X</math>가 <math>\lambda</math>-닫힌 원순서 집합인 것은 닫힌 원순서 집합인 것과 [[동치]]이다.

== 성질 ==
=== 초른 보조정리 ===
{{본문|초른 보조정리}}
'''[[초른 보조정리]]'''에 따르면, 닫힌 원순서 집합 <math>(X,\lesssim)</math>에 대하여, <math>X=\downarrow\max X</math>이다. 여기서 <math>\downarrow</math>는 [[하폐포]]이며, <math>\max X</math>는 <math>X</math>의 [[극대 원소]]들의 집합이다.

=== 부르바키-비트 정리 ===
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>가 닫힌 원순서 집합이라고 하자. 또한, [[자기 함수]] <math>f\colon X\to X</math>가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
:<math>\forall x\in X\colon f(x)\gtrsim x</math>
'''부르바키-비트 정리'''(Bourbaki-Witt定理, {{llang|en|Bourbaki–Witt theorem}})에 따르면, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>f</math>는 <math>\uparrow x</math>에 속한, 하나 이상의 [[고정점]]을 갖는다.
:<math>\exists y\in X\colon f(y)=y\gtrsim x</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''초른의 보조 정리를 통한 증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, [[초른의 보조 정리]]를 사용하여 <math>m\in\uparrow x\cap\max X</math>을 고를 수 있다. 그렇다면 [[극대 원소]]의 정의에 의하여 <math>f(m)\sim m\gtrsim x</math>이다.
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''직접적인 증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>x\in X</math>가 주어졌다고 하자. [[함수]]
:<math>g\colon\operatorname{woChain}(X)\to X</math>
가, <math>X</math> 속의 정렬 사슬을 그 [[상계 (수학)|상계]]에 대응시킨다고 하자 (<math>g(\varnothing)=x</math>).

[[귀류법]]을 사용하여, <math>X</math>가 닫힌 원순서 집합이며, 임의의 <math>y\gtrsim x</math>에 대하여 <math>f(y)\gtrsim y\not\gtrsim f(y)</math>라고 하자. 그렇다면, 임의의 순서수 <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math>에 대하여 다음과 같은 [[점렬]]을 재귀적으로 정의하자.
:<math>x_\alpha=\begin{cases}f(x_\beta)&\exists \beta\colon\beta+1=\alpha\\
g(\{x_\beta\colon\beta<\alpha\})&\nexists\beta\colon\beta+1=\alpha
\end{cases}
</math>
귀류법 가정 아래 <math>\{x_\beta\colon\beta<\alpha\}</math>는 [[정렬 전순서 집합]]이다. 따라서, 이는 순서 보존 함수 <math>x_\bullet\colon\operatorname{Ord}\to X</math>를 정의한다. 그런데 모든 순서수의 [[고유 모임]] <math>\operatorname{Ord}</math>은 집합이 될 수 없으므로, <math>x_{\alpha+1}\sim f(x_\alpha)\sim x_\alpha</math>인 <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math>가 존재한다. 이는 귀류법 가정과 모순이다.
</div></div>

=== 강제법 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[ZFC]]의 [[표준 추이적 모형]] <math>M</math>
* 두 [[집합]] <math>X,Y\in M</math>
* <math>\lambda\in\operatorname{Card}^M</math>. 여기서 <math>\operatorname{Card}^M\subseteq\operatorname{Ord}\cap M</math>는 <math>M</math>에서 [[기수 (수학)|기수]]가 되는 [[순서수]]들의 집합이다.
* [[원순서 집합]] <math>P\in M</math>
* <math>P</math>의 [[부분 집합]] <math>G\subseteq M</math>
또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.
* <math>M\models (|X|<\lambda)</math>
* <math>M\models(</math><math>P</math>는 <math>\lambda</math>-닫힌 원순서 집합이다<math>)</math>
* <math>M\models(</math><math>G</math>는 <math>P</math>의 [[포괄적 순서 아이디얼]]이다<math>)</math>
그렇다면, <math>X\to Y</math> 함수들은 <math>M</math>과  [[강제법 모형]] <math>M[G]</math> 사이에서 [[절대 논리식|절대적]]이다. 즉, <math>M[G]</math> 속의 임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>는 이미 <math>M</math>의 원소이다.<ref name="Kunen">{{서적 인용|title=Set theory: an introduction to independence proofs|성=Kunen|이름=Kenneth|저자링크=케네스 쿠넌|publisher=North-Holland|날짜=1980|isbn=978-0-444-86839-8|url=http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|총서=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|권=102|zbl=0534.03026|mr=597342|언어=en|확인날짜=2016-08-14|보존url=https://web.archive.org/web/20160911102401/http://store.elsevier.com/Set-Theory-An-Introduction-To-Independence-Proofs/K_-Kunen/isbn-9780444868398/|보존날짜=2016-09-11|url-status=dead}}</ref>{{rp|214, Theorem 2.6.14}}
:<math>(Y^X)^{M[G]}=(Y^X)^M</math>

특히, 이와 같은 경우 <math>M</math> 속의, <math>\lambda</math> 이하의 [[공종도]] 및 <math>\lambda</math> 이하의 [[기수 (수학)|기수]]들이 보존된다.<ref name="Kunen"/>{{rp|215, Corollary 2.6.15}}

== 역사 ==
부르바키-비트 정리는 1950년대 말에 [[니콜라 부르바키]]<ref>{{저널 인용 | 이름=Nicolas |성= Bourbaki|저자링크=니콜라 부르바키 | title=Sur le théorème de Zorn | journal = Archiv der Mathematik | 권=2 | 호=6 | year=1949 | pages=434–437|issn=0003-889X | doi=10.1007/BF02036949 | 언어=fr}}</ref>와 [[에른스트 비트]]<ref>{{저널 인용 | 이름=Ernst|성= Witt|저자링크=에른스트 비트 | title=Beweisstudien zum Satz von M. Zorn. Herrn Erhard Schmidt zum 75. Geburtstag gewidmet | 저널 = Mathematische Nachrichten | volume=4 | year=1951 | pages=434–438 | doi=10.1002/mana.3210040138|언어=de}}</ref>가 증명하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:순서론]]