닫힌 몰입 문서 원본 보기

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[[스킴 이론]]에서 '''닫힌 몰입'''(-沒入, {{llang|en|closed immersion}})은 [[스킴 사상]] 가운데, [[정의역]]을 [[공역]]의 [[닫힌집합]]으로 대응시키며, [[정의역]]의 정칙 함수가 국소적으로 [[공역]]에 확장될 수 있게 하는 것이다. 대수학적으로, 이는 국소적으로 [[아이디얼]]에 대한 [[몫환]]을 취하는 꼴의 [[스킴 사상]]에 해당한다.

== 정의 ==
[[스킴 (수학)|스킴]] <math>Y</math>, <math>X</math> 사이의 사상 <math>f\colon Y\to X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 '''닫힌 몰입'''이라고 한다.
* <math>f</math>는 <math>f(Y)</math>와 <math>Y</math> 사이의 [[위상 동형]]이며, <math>f(Y)</math>는 [[닫힌집합]]이며, <math>f^{\#}\colon\mathcal O_X\to f_*\mathcal O_Y</math>는 [[전사 사상]]이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer-Verlag| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|85}} (이는 모든 점 <math>x\in X</math>에서 [[줄기 (수학)|줄기]] 사상 <math>\mathcal O_{X,x}\to\mathcal O_{Y,x}</math>가 [[전사 함수]]인 것과 동치이다.)
* <math>X</math> 속의 임의의 아핀 [[열린집합]] <math>\operatorname{Spec}A\hookrightarrow X</math>에 대하여, <math>f^{-1}(\operatorname{Spec}A) = \operatorname{Spec}(A/\mathfrak i)</math>가 되는 어떤 [[아이디얼]] <math>\mathfrak i \subseteq A</math>가 존재한다.
* <math>X</math> 위의 어떤 한 아핀 [[열린 덮개]] <math>X =\textstyle\bigcup_{i\in I}\operatorname{Spec}A_i</math>에 대하여, <math>f^{-1}(\operatorname{Spec}A_i) = \operatorname{Spec}(A/\mathfrak i_i)</math>가 되는 어떤 [[아이디얼]]들 <math>\mathfrak i_i \subseteq A_i</math>가 존재한다.
* 어떤 [[준연접]] [[아이디얼 층]] <math>\mathcal I \subseteq\mathcal O_X</math>에 대하여, <math>f_*\mathcal O_Y = \mathcal O_X/\mathfrak I</math>이며, 이는 스킴의 [[동형 사상]] <math>Z \cong \operatorname{\underline{Proj}}(\mathcal O_X/\mathcal I)</math>을 정의한다. (여기서  <math>\operatorname{\underline{Proj}}</math>는 [[상대 사영 스펙트럼]]이다.)

스킴 <math>X</math>의 '''닫힌 부분 스킴'''({{llang|en|closed subscheme}})은 <math>X</math> 위의 스킴의 범주 <math>\operatorname{Sch}/X</math>에서, 닫힌 몰입들의 동치류이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|85}}  즉, 두 닫힌 몰입 <math>f\colon Y\to X</math>, <math>f'\colon Y'\to X</math>에서, <math>f'=i\circ f</math>인 동형 <math>i\colon Y\to Y'</math>이 존재한다면 같은 부분 스킴으로 여긴다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
모든 닫힌 몰입은 [[유한 사상]]이며, [[분리 사상]]이며, [[준콤팩트 함수]]이다 (즉, [[연속 함수]]로서, [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[열린집합]]의 원상이 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[열린집합]]이다).

=== 연산에 대한 닫힘 ===
임의의 세 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math> 및 [[스킴 사상]]
:<math>X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ</math>
가 주어졌다고 하자. 만약 <math>g\circ f</math>가 닫힌 몰입이며, <math>g</math>가 [[분리 사상]]이라면, <math>f</math> 역시 닫힌 몰입이다.

두 닫힌 몰입의 [[함수의 합성|합성]]은 닫힌 몰입이다. 닫힌 몰입의 밑 전환은 닫힌 몰입이다.

=== 스킴 상 ===
[[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>f</math>의 '''스킴 상'''({{llang|en|scheme-theoretic image}})은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[스킴 (수학)|스킴]] <math>Z</math>
* 닫힌 몰입 <math>i\colon Z \to Y</math>. 또한, 어떤 스킴 사상 <math>g \colon X\to Z</math>에 대하여 <math>f = i \circ g</math>라고 하자.
이는 다음 [[보편 성질]]을 만족시켜야 한다.
* 임의의 스킴 <math>Z'</math> 및 닫힌 몰입 <math>i'\colon Z'\to Y</math> 및 스킴 사상 <math>g'\colon X\to Z'</math>에 대하여, 만약 <math>f = i' \circ g'</math>라면, <math>i = i' \circ h</math>인 스킴 사상 <math>h \colon Z\to Z'</math>이 존재한다.
모든 [[스킴 사상]]은 스킴 상을 갖는다. (정의에 따라 이는 [[동형 사상]] 아래 유일하다.)

특히, [[열린 부분 스킴]]의 '''스킴 폐포'''({{llang|en|scheme-theoretic closure}})는 그 포함 사상의 스킴 상이다.

== 예 ==
임의의 [[가환환]] <math>R</math> 및 그 [[아이디얼]] <math>\mathfrak i\subseteq R</math>에 대하여, [[몫환]] 준동형 <math>q\colon R\twoheadrightarrow R/\mathfrak i</math>에 대응하는, [[아핀 스킴]] 사이의 [[스킴 사상]] <math>\operatorname{Spec}q\colon\operatorname{Spec}(R/\mathfrak i)\to \operatorname{Spec}R</math>는 닫힌 몰입이다.

== 같이 보기 ==
* [[세그레 매장]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=closed subscheme|title=Closed subscheme}}
* {{nlab|id=closed immersion of schemes|title=Closed immersion of schemes}}

{{전거 통제}}

[[분류:스킴 이론]]