닫힌 그래프 정리 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서 '''닫힌 그래프 정리'''(닫힌graph定理, {{llang|en|closed graph theorem}})는 [[하우스도르프 공간]]으로 가는 [[연속 함수]]의 그래프가 [[닫힌집합]]이라는 정리다.

== 정의 ==
두 [[집합]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>의 '''그래프'''는
:<math>\operatorname{graph}f=\{(x,f(x))\}\subseteq X\times Y</math>
이다.

'''닫힌 그래프 정리'''에 따르면, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>와 [[하우스도르프 공간]] <math>Y</math> 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>\operatorname{graph}f\subseteq X\times Y</math>는 [[닫힌 집합]]이다.<ref>{{서적 인용 | last=Rudin | first=Walter | authorlink=월터 루딘 | 제목=Functional analysis | url=https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi | publisher=McGraw-Hill | isbn=978-0-07-054236-5 | 날짜=1991 | zbl=0867.46001 | 총서=International Series in Pure and Applied Mathematics|판=2판 |언어=en}}</ref>{{rp|50, Proposition 2.14}}

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>f\colon X\to Y</math>가 [[연속 함수]]라고 하자. 임의의 점
:<math>(x,y)\in X\times Y\setminus\operatorname{graph}f</math>
이 <math>X\times Y\setminus\operatorname{graph}f</math>에 포함되는 [[근방]]을 갖는다는 것을 보이면 족하다. 정의에 따라, <math>f(x)\ne y</math>이다. <math>Y</math>가 [[하우스도르프 공간]]이므로, <math>T(x)</math> 및 <math>y</math>를 포함하는 [[서로소 집합|서로소]] [[열린 근방]] <math>U\ni f(x)</math>, <math>V\ni y</math>가 존재한다. <math>f</math>가 연속 함수이므로, <math>f^{-1}(U)\times V\subseteq X\times Y\setminus\operatorname{graph}f</math>는 <math>(x,y)</math>를 포함하는 [[근방]]이다.
</div>
</div>

[[함수해석학]]에서는 [[바나흐 공간]]에 대하여 적용되는 더 강한 형태의 [[바나흐 공간#성질|닫힌 그래프 정리]]가 존재한다. 이는 [[바나흐-샤우데르 정리]]의 따름정리이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Closed-graph theorem}}
* {{매스월드|id=ClosedGraphTheorem|title=Closed graph theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상수학 정리]]
[[분류:함수해석학 정리]]