단체 호몰로지 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수적 위상수학]]에서 '''단체 호몰로지'''({{llang|en|Simplicial homology}})는 [[단체 복합체]]의 [[호몰로지|호몰로지 군]]들로 이뤄진 열이다. 복합체에서 주어진 차원의 구멍 수에 대한 개념을 표현한다. 이는 차원 0인 경우에 [[연결 공간|연결 성분]]의 수를 의미하는 개념을 임의의 차원으로 일반화한다.

단체 호몰로지는 <math>n</math>차원 삼각형이라 할 수 있는 ''<math>n</math>''-[[단체 (수학)|단체]]들로 구성된 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 연구하는 방법으로 생겨났다. 여기에는 점(0-단체), [[선분]](1-단체), 삼각형(2-단체) 및 사면체(3-단체)가 포함된다. 정의에 따르면 그러한 공간은 [[단체 복합체]](보다 정확하게는 추상적인 단체 복합체의 기하학적 구현 )와 [[위상동형사상|위상동형]]이다. 이러한 동형은 주어진 공간의 삼각 분할 이라고 한다. 모든 매끄러운 [[다양체]]를 포함하여 관심 있는 많은 위상 공간을 삼각 분할할 수 있다.(케언즈 및 [[존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드|화이트헤드]])<ref>{{인용|출판사=[[American Mathematical Society]]}}</ref> {{참고 쪽|sec.5.3.2}}

단체 호몰로지는 임의의 추상 단체 복합체에 대한 간단한 방식에 의해 정의된다. 단체 호몰로지는 연관된 위상 공간에만 의존한다는 것은 주목할 만한 사실이다.<ref>{{인용|출판사=[[Springer-Verlag]]}}</ref> {{참고 쪽|sec.8.6}} 결과적으로 한 공간을 다른 공간과 구별하는 계산 가능한 방법을 제공한다.

== 정의 ==
[[파일:Simplicial_homology_-_exactness_of_boundary_maps.svg|오른쪽|섬네일| 2-단체의 경계(왼쪽)와 1-사슬의 경계(오른쪽)의 경계를 취한다. 둘 다 0이며, 0 단체의 양수와 음수가 모두 한 번 발생하는 합이다. 경계의 경계는 항상 0이다. 자명하지 않은 사이클는 경계의 합이 0이라는 점에서 단체의 경계처럼 닫혀 있지만 실제로는 단체 또는 사슬의 경계가 아니다. 자명한 1사이클는 0에서 <math>H_1</math>, 오른쪽 중간에 있는 1사이클는 왼쪽에 있는 2-단체의 경계와의 합과 호몰로지이다.]]

=== 향 ===
단체 호몰로지를 정의하는 핵심 개념은 단체의 [[방향 (다양체)|향]]이라는 개념이다. 정의에 따라 <math>k</math>-단체의 방향은 <math>(v_0,\dots,v_k)</math>로 쓰여진 꼭지점의 순서로 지정되며, 두 순서가 [[홀수와 짝수|짝수]] 순열만큼 다름과 동일한 방향을 정의함이 동치라는 규칙이 있다. 따라서 모든 단체는 정확히 두 방향을 가지며, 두 정점의 순서를 전환하면 방향이 반대 방향으로 변경된다. 예를 들어, 1-단체 방향을 선택하면 가능한 두 방향 중 하나를 선택하고 2-단체 방향을 선택하면 "시계 반대 방향"이 어떤 의미여야 하는지를 선택하는 것과 같다.

=== 사슬 ===
<math>S</math>를 단체 복합체라고 하자. 단체 <math>k</math>-사슬은 유한 [[자유 아벨 군|형식 합]]

: <math>\sum_{i=1}^N c_i \sigma_i </math>

이다. 여기서 각각의 <math>c_i</math>는 정수이고 <math>\sigma_i</math>는 유향 <math>k</math>-단체이다. 이 정의에서 각 방향 단체는 방향이 반대인 단체의 음수와 같다고 선언한다. 예를 들어,

: <math> (v_0,v_1) = -(v_1,v_0).</math>

<math>S</math>의 <math>k</math>-사슬 군은 <math>C_k</math>로 표시된다. 이것은 <math>S</math>의 <math>k</math>-단체 집합와 일대일 대응의 기저를 갖는 [[자유 아벨 군]]이다. 기저를 명시적으로 정의하려면 각 단체의 방향을 선택해야 한다. 이를 수행하는 한 가지 표준 방법은 모든 꼭짓점의 순서를 선택하고 각 단체에 해당 꼭짓점의 유도된 순서에 해당하는 방향을 지정하는 것이다.

=== 경계 및 사이클 ===
<math>\sigma=(v_0\dots,v_k)</math>를 <math>C_k</math>의 기저 원소로 볼 수 있는 유향 <math>k</math>-단체라고 하자. '''경계 연산자'''

: <math>\partial_k: C_k \rightarrow C_{k-1}</math>

는 다음과 같이 정의된 준동형사상이다.

: <math>\partial_k(\sigma)=\sum_{i=0}^k (-1)^i (v_0, \dots, \widehat{v_i}, \dots ,v_k)</math>

여기서 향이 주어진 단체

: <math>(v_0, \dots, \widehat{v_i}, \dots ,v_k)</math>

는 {{수학|''i''<sup>th</sup>}} 점을 삭제하여 얻은 {{수학|''σ''}} 의 {{수학|''i''<sup>th</sup>}} 면이다.

<math>C_k</math>에서 부분군의 원소는

: <math>Z_k := \ker \partial_k</math>

'''사이클''' 라고하며 하위 군

: <math>B_k := \operatorname{im} \partial_{k+1}</math>

'''경계'''로 구성되어 있다고 한다.

=== 경계의 경계 ===
왜냐하면 <math>(-1)^{i+j-1}(v_0, \dots, \widehat{v_i}, \dots, \widehat\widehat{v_j} ,\dots, v_k) = - (-1)^{i+j}(v_0, \dots, \widehat\widehat{v_i}, \dots, \widehat{v_j} ,\dots, v_k)</math>, 어디 <math>\widehat\widehat{v_x}</math> ''두 번째'' 면이 제거되고 <math>\partial^2 = 0</math> . 이것은 기하학적 용어로 모든 것의 경계에는 경계가 없다는 뜻이다. 동등하게, 아벨 군

: <math>(C_k, \partial_k)</math>

[[사슬 복합체]]를 형성한다. 또 다른 동등한 진술은 <math>B_k</math>가 <math>Z_k</math>에 포함된다는 것이다.

예를 들어, 정점이 <math>w,x,y,z</math> 방향인 사면체를 고려하자. 정의에 따라 경계는 <math>xyz-wyz+wxz-wxy</math>로 지정된다. 이 경계의 경계는 <math>(yz-xz+xy)-(yz-wz+wy)+(xz-wz+wx)-(xy-wy_wx)=0</math> 로 지정된다.
[[파일:Triangles_for_simplical_homology.jpg|섬네일|165x165픽셀| 2개의 1구멍이 있는 단체 복합체]]

=== 호몰로지 군 ===
<math>S</math>의 <math>k</math>번 째 호몰로지 군 <math>H_k</math>는 [[몫군|몫]] 아벨 군

: <math>H_k(S) = Z_k/B_k</math>

으로 정의된다. 호몰로지 군 <math>H_k(S)</math>은 경계가 아닌 <math>''S''</math> 위에 <math>k</math>-사이클이 있을 때 정확히 0이 아니다. 어떤 의미에서 이것은 복합체에 <math>k</math>차원 구멍이 있음을 의미한다. 예를 들어 상에 표시된 한 모서리를 따라 두 개의 삼각형(내부가 없음)을 붙여서 얻은 복합체 <math>S</math>를 고려하자. 각 삼각형의 가장자리는 순환을 형성하도록 방향을 지정할 수 있다. 이 두 사이클는 경계가 아닌 구성에 의한 것이다(모든 2-사슬이 0이므로). 호몰로지 군 <math>H_1(S)</math>는 언급된 두 사이클에 의해 주어진 기저로 <math>\Z^2</math>와 동형임을 계산할 수 있다. 이것은 <math>S</math>가 두 개의 "1차원 구멍"을 가지고 있다는 비공식적인 생각을 정확하게 만든다.

구멍의 차원은 다를 수 있다. <math>k</math>번 째 호몰로지 군의 랭크

: <math>\beta_k = \operatorname{rank} (H_k(S))\,</math>

는 <math>S</math>의 <math>k</math>번 째 [[베티 수]]라고 한다. 이것은 <math>S</math>의 <math>k</math>차원 구멍 수를 측정한다.

== 예 ==
=== 삼각형의 호몰로지 군 ===
<math>S</math>를 단체 복합체로 보는 내부가 없는 삼각형이라고 하자. 따라서 <math>S</math>는 우리가 <math>v_0, v_1, v_2</math>라고 부르는 3개의 정점과 1차원 단사슬 3개의 모서리를 가진다. <math>S</math>의 호몰로지 군을 계산하기 위해 사슬 군 <math>C_k</math>를 설명하는 것으로 시작한다:

* <math>C_k</math>는 기저 <math>(v_0), (v_1), (v_2)</math>를 가지고 <math>\Z^3</math>와 동형이다.
* <math>C_1</math>는 유향 1-단체들 <math>(v_0, v_1)</math>, <math>(v_0, v_2)</math>, <math>(v_1, v_2)</math>을 기저로 가지고 <math>\Z^3</math>와 동형이다.
* <math>C_2</math>는 자명군이다. 왜냐하면 내부가 없는 삼각형이므로 여기엔 <math>(v_0, v_1, v_2)</math> 같은 단체가 없기 때문이다. 더 높은 차원의 사슬군들도 마찬가지로 자명군이다.

'''경계 준동형사상''' <math>\partial : C_1\rightarrow C_0</math>은 다음과 같이 지정된다.

: <math> \partial(v_0,v_1) = (v_1)-(v_0)</math>
: <math> \partial(v_0,v_2) = (v_2)-(v_0)</math>
: <math> \partial(v_1,v_2) = (v_2)-(v_1)</math>

<math>C_{-1}=0</math>이므로 모든 0-사슬은 사이클이다(즉, <math>Z_0=C_0</math>); 또한, 0-경계의 군 <math>B_0</math>은 이 방정식의 오른쪽에 있는 세 개의 원소에 의해 생성되어 <math>C_0</math> 의 2차원 하위 군을 생성한다. 따라서 '''0번째 호몰로지 군 <math>H_0(S)=Z_0/B_0</math>'''는 <math>\Z</math>와 동형이며, (예를 들어) 0-사이클 <math>(v_0)</math>의 상에 의해 주어진 기준을 갖는다. 실제로 세 꼭짓점 모두 몫 군에서 같아진다. 이것은 <math>S</math>가 [[연결 공간]]이라는 사실을 나타낸다.

다음으로, 1-사이클의 군은 위의 동형사상 ∂의 커널이며, <math>\Z</math>와 동형이며 (예를 들어) <math>(v_0,v_1)-(v_0,v_2)+(v_1,v_2)</math>. (사진은 이 1-사이클이 가능한 두 방향 중 하나로 삼각형 주위를 돌고 있음을 보여준다.) <math>C_2=0</math>이므로 1-경계 군은 0이므로 '''첫 번째 호몰로지 군''' <math>H_1(S)</math>는 <math>\Z/0\cong \Z</math>와 동형이다. 이것은 삼각형에 하나의 1차원 구멍이 있다는 생각을 정확하게 만든다.

다음으로, 정의상 2-사이클이 없기 때문에 <math>C_2=0</math>( [[자명군]])이다. 따라서 '''두 번째 호몰로지 군''' <math>H_2(S)</math>는 0이다. 0 또는 1이 아닌 모든 <math>i</math>에 대해 <math>H_i(S)</math>도 마찬가지이다. 따라서 삼각형의 호몰로지 연결성은 0이다(<math>k</math> 까지 감소된 호몰로지 군이 자명한 가장 큰 <math>k</math>이다).

=== 고차원 단체의 호모롤지 군 ===
<math>S</math>를 단체 복합체로 보는 내부가 없는 [[사면체]]라고 하자. 따라서 <math>S</math>는 0차원 정점 4개, 1차원 모서리 6개, 2차원 면 4개를 갖다. 사면체의 호몰로지 군 구성은 여기에 자세히 설명되어 있다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.youtube.com/watch?v=l7QWg0UzBRA&list=PL6763F57A61FE6FE8&index=39|제목=More homology computations|성=Wildberger|이름=Norman J.|날짜=2012|보존url=https://web.archive.org/web/20230501072939/https://www.youtube.com/watch?v=l7QWg0UzBRA&list=PL6763F57A61FE6FE8&index=39|보존날짜=2023-05-01|url-status=|확인날짜=2023-05-01}}</ref><math>H_0(S)\cong H_2(S)\cong\Z</math>이며 다른 모든 군은 자명하다. 따라서 사면체의 호몰로지 연결성은 0이다.

사면체가 내부를 포함한다면 <math>H_2(S)</math>도 자명한 것이다.

일반적으로 <math>S</math>가 <math>d</math>차원 단체이면 다음이 성립한다.

* <math>S</math>가 내부 없이 고려된다면 <math>H_0(S)=\Z</math>, <math>H_{d-1}(S)=\Z</math>, 그리고 다른 모든 호몰로지들은 자명하다.
* <math>S</math>를 내부와 함께 고려하면 <math>H_0(S)=\Z</math>이고 다른 모든 호몰로지는 자명하다.

== 단체 사상 ==
<math>S</math>와 ''<math>T</math>''를 [[단체 복합체]] 라고 한다. <math>S</math>에서 ''<math>T</math>''로의 '''단체 사상''' ''<math>f</math>''는 <math>S</math>의 정점 집합에서 ''<math>T</math>''의 정점 집합으로의 함수이므로 <math>S</math>의 각 단체(정점 집합으로 표시됨)의 상은 ''<math>T</math>''의 단체이다. 단체 사상 <math>f:S\rightarrow T</math>는 각 정수 ''<math>k</math>''에 대한 호몰로지 군<math>H_k(S)\rightarrow H_k(T)</math>의 동형을 결정한다. 이것은 <math>S</math>의 사슬 복합체에서 ''<math>T</math>''의 사슬 복합체까지의 [[사슬 복합체|사슬 사상]]와 관련된 동형이다. 명시적으로 이 사슬 사상은 다음과 같이 ''<math>k</math>''-사슬에 제공된다.

: <math>f((v_0, \ldots, v_k)) = (f(v_0),\ldots,f(v_k))</math>

<math>f(v_0), \ldots, f(v_k)</math>모두 유일하면 <math>f((v_0, \ldots, v_k)) =0</math>.

이 구조는 단체 호몰로지를 단체 복합체에서 아벨 군으로 가는 [[함자 (수학)|함자]]로 만든다. 이것은 [[브라우어르 고정점 정리]]와 단체 호몰로지의 위상 불변성을 포함하여 이론의 적용에 필수적이다.

== 관련된 호몰로지들 ==
'''[[특이 호몰로지]]'''는 계산보다는 이론에 더 잘 적용되는 관련 이론이다. 특이 호몰로지는 모든 위상 공간에 대해 정의되며 삼각 분할이 아닌 위상에만 의존한다. 삼각 분할할 수 있는 공간에 대한 단체 호몰로지에 동의한다.<ref>{{인용|출판사=[[Cambridge University Press]]}}</ref> {{참고 쪽|thm.2.27}}그럼에도 불구하고 단체 복합체의 단체 호몰로지를 자동으로 효율적으로 계산할 수 있기 때문에 단체 호몰로지는 상 분석, [[의학촬영|의료 영상]] 및 [[데이터 분석|자료 분석]] 전반과 같은 실생활에 적용하는 데 중요해졌다.

또 다른 관련 이론은 '''[[세포 호몰로지]]'''이다.

== 응용 ==
많은 컴퓨터 응용 프로그램의 표준 시나리오는 토폴로지 기능을 찾으려는 점(측정, 비트맵의 어두운 픽셀 등) 모음이다. 호몰로지는 단체 복합체와 같은 조합 데이터에서 쉽게 계산할 수 있기 때문에 이러한 기능을 검색하는 정성적 도구 역할을 할 수 있다. 그러나 데이터 점은 먼저 삼각분할 되어야 한다. 즉, 데이터를 단체하고 복잡한 근사치로 대체해야 한다. 지속적인 호몰로지 계산<ref>{{저널 인용|제목=Topological Persistence and Simplification|저널=[[Discrete & Computational Geometry]]|성=Edelsbrunner|이름=H.|성2=Letscher|이름2=D.|url=https://geometry.stanford.edu/paper.php?id=elz-tps-02|연도=2002|권=28|쪽=511–533|doi=10.1007/s00454-002-2885-2|성3=Zomorodian|이름3=A.}}<br />{{저널 인용|제목=Towards computing homology from finite approximations|저널=Topology Proceedings|성=Robins|이름=V.|url=http://topology.nipissingu.ca/tp/reprints/v24/tp24222.pdf|날짜=Summer 1999|권=24|쪽=503–532}}</ref>은 해상도가 변경될 때 지속되는 호몰로지 [[동치관계|동치류]](구멍)를 등록하는 다양한 해상도에서의 호몰로지 분석을 포함한다. 이러한 기능은 복잡한 데이터에서 분자 구조, X선의 종양 및 클러스터 구조를 감지하는 데 사용할 수 있다.

보다 일반적으로, 단체 호몰로지는 [[데이터 마이닝|자료 채굴]] 분야의 기술인 위상 자료 분석에서 중심적인 역할을 한다.

== 컴퓨터 프로그램 구현 ==
* 영구 호몰로지 계산을 위한 [[MATLAB]] 도구 상자인 Plex( [[Vin de Silva]], Gunnar Carlsson )는 [https://web.archive.org/web/20070222070444/http://math.stanford.edu/comptop/programs/ 이 사이트에서 구할 수 있다.]
* [[C++]]의 독립 실행형 구현은 [http://www.sas.upenn.edu/~vnanda/perseus/index.html Perseus], [http://www.mrzv.org/software/dionysus/ Dionysus] 및 [https://bitbucket.org/phat-code/phat PHAT] 소프트웨어 프로젝트의 일부로 사용할 수 있다.
* [[파이썬|Python]]의 경우 [https://scikit-tda.org/ scikit-tda], [https://github.com/scikit-tda/persim Persim], [https://github.com/giotto-ai/giotto-tda giotto-tda] 및 [https://gudhi.inria.fr/ GUDHI]와 같은 라이브러리가 있으며 후자는 [[기계 학습]]을 위한 위상수학적 기능 생성을 목표로 한다. 이들은 PyPI 저장소에서 찾을 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[호몰로지]]
* [[단체 복합체]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://math.stanford.edu/comptop/ 과학적 컴퓨팅에서 위상수학적 방법] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20081014085149/http://math.stanford.edu/comptop/}}
* [http://www.math.gatech.edu/~chomp/ 전산 호몰로지]

[[분류:대수적 위상수학]]