단체 집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[호모토피 이론]]에서 '''단체 집합'''(單體集合, {{llang|en|simplicial set}})은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 조합론적인 표현의 일종이다.<ref>{{서적 인용 | last1=Goerss | first1=Paul G. | last2=Jardine | first2=John Frederick | title=Simplicial homotopy theory | publisher=Birkhäuser | series=Progress in Mathematics | isbn=978-3-7643-6064-1 | 날짜=1999 | volume=174 |언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용 | last1=Gelfand | first1=Sergei I. | last2=Manin | first2=Yuri I. |저자링크2=유리 마닌| title=Methods of homological algebra | doi=10.1007/978-3-662-12492-5 | 출판사=Springer-Verlag | 총서 = Springer Monographs in Mathematics | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | 이름=Edward B. | 성= Curtis | doi=10.1016/0001-8708(71)90015-6 | 제목=Simplicial homotopy theory|저널=Advances in Mathematics|권=6|호=2|날짜=1971-04 |쪽=107–209|mr=279808|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=An elementary illustrated introduction to simplicial sets|arxiv=0809.4221|이름=Greg|성=Friedman|날짜=2012|bibcode=2008arXiv0809.4221F|저널=Rocky Mountain Journal of Mathematics|권=42|호=2|쪽=353–423|doi=10.1216/RMJ-2012-42-2-353|mr=2915498|zbl=06035442|issn=0035-7596|언어=en}}</ref> 위상 공간이나 [[단체 복합체]] 등과 달리, 단체 집합의 범주는 [[토포스]]를 이루므로, 그 속에서 [[호모토피 이론]]을 전개하기가 용이하다.

== 정의 ==
'''단체 집합'''은 집합과 함수의 범주 <math>\operatorname{Set}</math> 속의 [[단체 대상]], 즉 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>X_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to\operatorname{Set}</math>
이다. 마찬가지로, '''첨가 단체 집합'''(添加單體集合, {{llang|en|augmented simplicial set}})은 <math>\operatorname{Set}</math> 속의 [[첨가 단체 대상]], 즉 함자
:<math>X_\bullet \colon\triangle_+^{\operatorname{op}} \to\operatorname{Set}</math>
이다.

여기서 <math>\triangle</math>은 [[단체 범주]]이며, <math>\triangle_+</math>는 [[첨가 단체 범주]]이다.

다시 말해, <math>X_{-1}=S</math>인 첨가 단체 집합 <math>X_\bullet</math>은 [[조각 범주]] <math>\operatorname{Set}/S</math> 위의 단체 대상과 같다.

== 연산 ==
=== 범주론적 연산 ===
단체 집합의 범주는 [[토포스]]이므로, 이 속에서 정의되는 모든 연산을 취할 수 있다. 특히, [[곱 (범주론)|곱]] · [[쌍대곱]] · [[밂 (범주론)|밂]] 등이 모두 존재한다.

단체 집합의 범주에서, [[시작 대상]]은 [[공집합]]
:<math>\varnothing_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Set}</math>
:<math>\varnothing_\bullet \colon n \mapsto \varnothing\qquad\forall n \in\triangle</math>
이며, [[끝 대상]]은 [[한원소 공간]]
:<math>1_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Set}</math>
:<math>1_\bullet \colon n \mapsto \{\bullet\}\qquad\forall n\in\triangle </math>
이다. (여기서 <math>\{\bullet\}</math>은 [[한원소 집합]]이다.) 즉, 이는 각 차원에서 하나의 단체만을 가지며, 모든 단체가 퇴화 단체인 단체 집합이다.

=== 기하학적 실현과 특이 단체 ===
단체 집합의 범주 <math>\operatorname s(\operatorname{Set})</math>와 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math> 사이에 다음과 같은 두 개의 함자들이 존재하며, 이들은 [[수반 함자]]를 이룬다.
:<math>\operatorname s(\operatorname{Set})\, \overset S{\underset{|\cdot|}\leftrightarrows} \,\operatorname{Top}</math>
:<math>|\cdot|\dashv\operatorname{Sing}</math>
여기서 <math>\operatorname{Sing}</math>을 '''특이 단체 함자'''(特異單體函子, {{llang|en|singular simplex functor}}), <math>|\cdot|</math>을 '''기하학적 실현 함자'''(幾何學的實現函子, {{llang|en|geometric realization functor}})라고 한다.

==== 특이 단체 ====
{{본문|특이 호몰로지}}
위상 공간 <math>Y</math>가 주어졌을 때, 이에 대응하는 '''특이 단체 집합'''({{llang|en|singular simplicial set}}) <math>\operatorname{Sing}(Y)</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Sing}(Y)_n=\hom_{\operatorname{top}}(\triangle^n,Y)</math>
여기서 <math>\triangle^n</math>은 <math>n</math>차원 [[단체 (수학)|단체]]이다. 즉, 함자 <math>\operatorname{Sing}(Y)</math>의 <math>n</math>차 성분은 <math>Y</math>의 <math>n</math>차원 특이 단체들의 집합이다. 이는 [[특이 호몰로지]]에서 사용되는 특이 단체와 같다.

==== 기하학적 실현 ====
단체 집합 <math>X</math>에 대응하는 '''기하학적 실현''' <math>|X|</math>는 다음과 같은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.
:<math>|X|=\left(\bigsqcup_nX_n\times\triangle^n\right)/{\sim}</math>
여기서 <math>\triangle^n</math>은 <math>n</math>차원 표준 [[단체 (수학)|단체]]이며, <math>\sim</math>은
:<math>(x,S_i(p))\sim(s_i(x),p)\qquad\forall p\in\triangle^n</math>
:<math>(x,D_i(p))\sim(d_i(x),p)\qquad\forall p\in\triangle^n</math>
로부터 생성되는 [[동치 관계]]이다. 여기서
:<math>d_i\colon\{0,1,\dots,n-1\}\to\{0,1,\dots,n\}</math>
는 상이 <math>\{0,1,\dots,n\}\setminus\{i\}</math>인 유일한 증가 [[단사 함수]]이며,
:<math>s_i\colon\{0,1,\dots,n\}\to\{0,1,\dots,n-1\}</math>
는 <math>i\in\{0,1,\dots,n\}</math>를 제외하고는 단사 함수인 유일한 증가 [[전사 함수]]이다. <math>D_i\colon\triangle^n\to\triangle^{n+1}</math> 및 <math>S_i\colon\triangle^n\to\triangle^{n-1}</math>는 이와 유사하지만, 표준 단체에 작용하는 [[연속 함수]]들이다.

=== 단체 호몰로지 ===
단체 집합 <math>X_\bullet</math>이 주어졌을 때, 각 차수에 대하여 [[자유 아벨 군]]을 취하자.
:<math>C_n = \mathbb Z^{\oplus X_n}</math>
그렇다면, 이 위에 <math>\partial_{n,i}</math> 및 <math>s_{n,i}</math>를 선형으로 연장할 수 있다. 그렇다면, <math>C_n</math>은 [[단체 아벨 군]]을 이룬다. 그 표준 [[사슬 복합체]]
:<math>\partial_n \colon C_n \to C_{n-1}</math>
:<math>\partial_n = \sum_{i=0}^n \partial_{n,i}</math>
의 [[호몰로지]]를 단체 집합 <math>X</math>의 '''단체 호몰로지'''(單體homology, {{llang|en|simplicial homology}})라고 한다. 이는 그 기하학적 실현의 [[특이 호몰로지]]와 같다. (단체 호몰로지의 계산에서, 퇴화 사상은 사용되지 않는다.)

=== 유리수 계수 다항식 미분 형식 ===
[[단체 (수학)|표준 단체]]
:<math>\triangle^n=\left\{\vec t\in\mathbb R^{n+1}\colon\sum_{i=0}^nt_i=1\right\}</math>
위의 '''유리수 계수 다항식 미분 형식'''({{llang|en|rational-coefficient polynomial differential form}})은 다음과 같은 꼴의 항들의 (유한, [[유리수]] 계수) [[선형 결합]]이다.
:<math>\phi_{i_0,i_1,\dotsc,i_n}\mathrm dt_{i_0}\wedge\mathrm dt_{i_1}\wedge\dotsb\wedge\mathrm dt_{i_n}\qquad(\phi_{i_0,i_1,\dotsc,i_n}\in\mathbb Q[t_0,\dotsc,t_n],\;i_0<i_1<\dotsb<i_n)</math>
이들의 유리수 [[벡터 공간]]을 <math>\Omega_{\text{PL}}(n)</math>으로 표기하자. 이는 [[외미분]] 및 [[쐐기곱]]을 통해 자연수 등급 [[가환 미분 등급 대수]]를 이룬다.

이제, [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\Omega_{\text{PL}}\colon\triangle\to\operatorname{CDGA}_{\ge0}^{\operatorname{op}}</math>
를 다음과 같이 정의할 수 있다.
* <math>\Omega_{\text{PL}}\colon n\mapsto\Omega_{\text{PL}}(n)</math>
* 임의의 증가 함수 <math>f\colon\{0,1,\dotsc,m\}\to\{0,1,\dotsc,n\}</math>에 대하여,
*: <math>\Omega_{\text{PL}}(f)\colon t_i\mapsto\sum_{j\in f^{-1}(i)}t_j</math>
*: <math>\Omega_{\text{PL}}(f)\colon \mathrm dt_i\mapsto \sum_{j\in f^{-1}(i)}\mathrm dt_j</math>
그렇다면, 이 함자의 [[왼쪽 칸 확대]]를 통해 함자
:<math>\Omega_{\text{PL}}\colon \operatorname s(\operatorname{Set})\to\operatorname{CDGA}_{\ge0}^{\operatorname{op}}</math>
를 얻을 수 있다. 이를 단체 집합 위의 '''유리수 계수 다항식 미분 형식'''들의 유리수 계수 자연수 등급 [[가환 미분 등급 대수]]라고 한다.

이는 [[오른쪽 수반 함자]]
:<math>R\colon \operatorname{CDGA}^{\operatorname{op}}_{\ge0}\to\operatorname s(\operatorname{Set})</math>
를 가지며, 이는 [[퀼런 수반 함자]]
:<math>\Omega_{\text{PL}}\dashv R</math>
를 이룬다.<ref>{{서적 인용|이름=Aldridge Knight|성=Bousfield|이름2=Victor K. A. M.|성2=Gugenheim|doi=10.1090/memo/0179|mr=425956|제목=On PL De Rham theory and rational homotopy type|총서=Memoirs of the American Mathematical Society|출판사=American Mathematical Society|권=179|날짜=1976|isbn=978-0-8218-2179-4|언어=en}}</ref>{{rp|§8}}

== 성질 ==
=== 범주론적 성질 ===
단체 집합의 범주 <math>\operatorname s(\operatorname{Set})</math>는 집합 값을 갖는 [[준층]]의 범주이므로, [[그로텐디크 토포스]]를 이룬다. 특히, 이는 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이며 [[데카르트 닫힌 범주]]이다.

=== 위상수학적 성질 ===
기하학적 실현 함자 <math>|\cdot|:\operatorname s(\operatorname{Set})\to \operatorname{Top}</math>는 오른쪽 [[수반 함자]]를 가지므로 [[쌍대 극한]]을 보존하지만 유한 [[극한 (범주론)|극한]]은 보존하지 않는다. 이때, 기하학적 실현 함자의 공역을 [[콤팩트 생성 공간|콤팩트 생성]] [[하우스도르프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{CGHaus}</math> 따위의 범주로 바꾸면 이 함자는 유한 [[극한 (범주론)|극한]]을 보존하게 된다.<ref name="Gabriel">{{서적 인용 | 이름1=Peter | 성1=Gabriel | 이름2=Michel | 성2 =Zisman | title=Calculus of fractions and homotopy theory | publisher=Springer-Verlag | 날짜=1967 | doi=
 10.1007/978-3-642-85844-4 | 총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete | 권3=35 | issn=0071-1136|url=http://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/GZ.pdf | 언어=en}}</ref>{{rp|49}}

또한, 단체 집합 <math>X</math>의 기하학적 실현 <math>|X|</math>는 언제나 [[CW 복합체]]이며, 특히 [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="Gabriel"/>{{rp|p. 46}}

=== 모형 범주 구조 ===
단체 집합의 범주 <math>\operatorname s(\operatorname{Set})</math>는 표준적으로 [[모형 범주]]의 구조를 갖는다.
* [[약한 호모토피 동치]]는 그 기하학적 실현들에 대한 [[약한 호모토피 동치]]와 같다.
* [[올뭉치]]는 '''칸 올뭉치'''(Kan올뭉치, {{llang|en|Kan fibration}})이다.
* [[올대상]]은 '''칸 복합체'''(Kan複合體, {{llang|en|Kan complex}})이다.

==== 칸 올뭉치 ====
단체 집합 <math>E</math>, <math>B</math> 사이의 사상 <math>\pi\colon E\to B</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''칸 올뭉치'''({{llang|en|Kan fibration}})라고 한다.
:임의의 단체 <math>\triangle^n</math>의 뿔 <math>\iota\colon\wedge^n_k\hookrightarrow\triangle^n</math> 및 사상 <math>\tilde f_0\colon\wedge^n_k\to X</math> 및 <math>f\colon\triangle^n\to B</math>에 대하여, 만약 <math>f\circ\iota=\pi\circ\tilde f_0</math>라면, <math>\tilde f\circ \iota = \tilde f_0</math>이고 <math>\pi\circ \tilde f = f</math>인 <math>\tilde f\colon\triangle^n\to E</math>가 존재한다. 즉, 다음 그림과 같다.
::<math>\begin{matrix}
\wedge^n_k&\xrightarrow{\tilde f_0}&E\\
{\scriptstyle\iota}\downarrow&\nearrow\scriptstyle\exists\tilde f&\downarrow\scriptstyle\pi\\
\triangle^n&\xrightarrow[f]{}&B
\end{matrix}</math>
이는 (위상 공간의) [[올뭉치]]의 정의와 매우 유사하다. 칸 올뭉치의 기하학적 실현은 항상 [[세르 올뭉치]]를 이룬다.

<math>\bullet</math>이 하나의 점만을 갖는 단체 집합일 경우, '''칸 복합체'''(Kan複合體, {{llang|en|Kan complex}})는 <math>\bullet</math>으로 가는 유일한 사상이 칸 올뭉치를 이루는 단체 집합이다.

== 예 ==
=== 표준 단체와 뿔 ===
자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 단체 집합의 범주에서 '''표준 <math>n</math>차원 단체'''({{llang|en|standard <math>n</math>-simplex}}) <math>\triangle^n</math>는 <math>\hom_{\triangle}(-,\Delta_n)</math>로 정의되며, [[요네다 보조정리]]에 의해
:<math>\hom_{\operatorname s(\operatorname{Set})}(\triangle^n, Y) \cong Y(n)</math>
가 성립한다.

표준 <math>n</math>차원 단체 <math>\triangle^n</math>가 주어졌을 때, <math>k\in\{0,\dots,n\}</math>에 대하여, <math>\wedge^n_k</math>가 <math>\partial\triangle^n</math>에서 <math>k</math>번째 면들을 제거한 <math>n-1</math>차원 단체라고 하자. 이러한 단체 집합을 '''뿔'''({{llang|en|horn}})이라고 한다.

=== 구체적 범주 속의 단체 대상 ===
만약 <math>\mathcal C\to \operatorname{Set}</math>가 [[구체적 범주]]일 경우, <Math>\mathcal C</math> 속의 모든 [[단체 대상]]은 망각 함자를 통해 단체 집합을 이룬다.

=== 단체 복합체 ===
{{본문|단체 복합체}}
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* (추상적) [[단체 복합체]] <math>(\Sigma_n)_{n\in\mathbb N}</math>. 여기서 <math>\Sigma_0</math>은 [[꼭짓점]]들의 집합이며, <math>\Sigma_i\subseteq\mathcal P(\Sigma_0)</math>는 <math>i+1</math>개의 서로 다른 [[꼭짓점]]들의 집합이다.
* [[꼭짓점]] 집합 <math>\Sigma_0</math> 위의 [[전순서]] <math>\le</math>
그렇다면, 다음을 정의하자.
* 양의 정수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, [[집합]] <math>\Delta_n</math>의 원소 <math>M</math>은 <math>\Sigma_0</math>의 원소들로 구성된, 크기 <math>n+1</math>의 [[중복집합]] <math>M</math> 가운데, 중복 원소를 제거한 [[집합]] <math>|M|</math>이 <math>\textstyle\bigsqcup_{n=0}^\infty\Sigma_n</math>에 속하는 것이다.
* 꼭짓점 [[중복집합]] <math>M\in\Delta_n</math>이 주어졌다고 하자. <math>M</math>에서, <math>i+1</math>번째로 작은 원소를 <math>m_i\in\Sigma_0</math>라고 하자 (<math>0\le i\le n</math>). 그렇다면, <math>\partial_n^i(M)</math> 및 <math>s_n^i(M)</math>을 다음과 같이 정의하자.
** <math>\partial_n^i(M)=M\setminus\{m_i\}\in\Delta_{n-1}</math>
** <math>s_n^i(M)=M\sqcup\{m_i\}\in\Delta_{n+1}</math>
그렇다면, <math>(\Delta_n,\partial_n^i,s_n^i)_{n,i}</math>는 단체 집합을 이루며, 그 기하학적 실현은 원래 [[단체 복합체]] <math>(\Sigma_n)_{n\in\mathbb N}</math>의 기하학적 실현과 [[위상 동형]]이다. 위 구성에서 꼭짓점 집합의 [[전순서]]를 (임의로) 고른 이유는 단체 집합은 단체 복합체와 달리, 각 단체의 꼭짓점들의 순서를 기억하기 때문이다. 물론, 기하학적 실현은 이 전순서에 의존하지 않는다.

=== 신경 ===
{{본문|신경 (범주론)}}
[[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표준적인 단체 집합 <math>\operatorname{nerve}\mathcal C</math>가 존재하며, 이를 <math>\mathcal C</math>의 '''[[신경 (범주론)|신경]]'''이라고 한다. 신경은 [[2-범주]]의 함자
:<math>\operatorname{nerve}\colon\operatorname{Cat}\to\operatorname{sSet}</math>
를 정의한다.

== 역사 ==
단체 집합은 [[특이 코호몰로지]] 등을 정의하기 위하여 오랫동안 알려져 있었으나, [[대니얼 퀼런]]이 이를 사용하여 [[대수적 K이론]]을 정의하면서 그 중요함이 알려졌다. 칸 올뭉치는 [[다니얼 칸]]이 도입하였다.

== 같이 보기 ==
* [[정규화 사슬 복합체]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Simplicial set}}
* {{nlab|id=simplicial set|title=Simplicial set}}
* {{nlab|id=augmented simplicial set|title=Augmented simplicial set}}
* {{nlab|id=SimpSet}}
* {{nlab|id= model structure on simplicial sets |title= Model structure on simplicial sets }}
* {{nlab|id=Kan fibration}}
* {{nlab|id=Kan complex}}
* {{nlab|id=horn|title=Horn}}
* {{nlab|id=differential forms on simplices|title=Differential forms on simplices}}
* {{nlab|id=join of simplicial sets|title=Join of simplicial sets}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:함자]]
[[분류:호모토피 이론]]