단체 리 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[호모토피 이론]]에서 '''단체 리 대수'''(單體Lie代數, {{llang|en|simplicial Lie algebra}})는 [[리 대수]]의 [[범주 (수학)|범주]] 속의 [[단체 대상]]이다. 즉, [[단체 집합]] 구조로 주어지며 [[리 괄호]]와 호환되는 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 갖춘 [[리 대수]]이다.<ref name="Quillen">{{저널 인용|제목=Rational homotopy theory | 이름=Daniel | 성=Quillen | 저자링크=대니얼 퀼런 | jstor=1970725 | doi=10.2307/1970725 | 저널=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | 언어=en}}</ref>{{rp|§Ⅰ.4}}

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자. <math>K</math>-'''단체 리 대수'''는 <math>K</math>-[[리 대수]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{LieAlg}_K</math> 속의 [[단체 대상]]이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>K</math>-[[리 대수]] <math>\mathfrak g_n</math>
* <math>\mathfrak g_\bullet</math> 위의 [[단체 집합]] 구조 <math>\partial_\bullet^n \colon \mathfrak g_n \to \mathfrak g_{n-1}</math>, <math>s_\bullet^n \colon \mathfrak g_n \to \mathfrak g_{n+1}</math>. 또한, 함수들은 모두 <math>K</math>-[[리 대수 준동형]]이어야 한다.

== 성질 ==
단체 리 대수의 범주에서, <math>K</math>-[[리 대수]] → <math>K</math>-[[가군]] 망각 함자
:<math>\operatorname{LieAlg}_K \to \operatorname{Mod}_K</math>
를 통해, 망각 함자
:<math>[\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{LieAlg}_K] \to [\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K] \simeq \operatorname{Ch}_{\bullet\ge0}(\operatorname{Mod}_K)</math>
를 정의할 수 있다. 여기서 <math> \operatorname{Ch}_{\bullet\ge0}(\operatorname{Mod}_K)</math>는 자연수 등급의 <math>K</math>-[[가군]] [[사슬 복합체]]의 [[아벨 범주]]이며, 마지막 [[범주의 동치]]는 [[돌트-칸 대응]]이다. 이 망각 함자를
:<math>\mathrm N \colon[\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{LieAlg}_K] \to \operatorname{Ch}_{\bullet\ge0}(\operatorname{Mod}_K)</math>
라고 하자.

<math>K</math>가 [[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]]라고 하자. 그렇다면, 단체 리 대수 <math>\mathfrak g_\bullet</math>에 대하여, [[사슬 복합체]] <math>(\mathrm N\mathfrak g)_\bullet</math> 위에 다음과 같은 [[리 괄호]]를 줄 수 있다.
:<math>\mathrm N\mathfrak g \otimes_K \mathrm N\mathfrak g \to \mathrm N(\mathfrak g\otimes_K\mathfrak g) \to \mathrm N\mathfrak g</math>
여기서 첫째 사상은 [[에일렌베르크-질버 사상]]이며, 둘째 사상은 성분별로 [[리 괄호]]를 취하는 것이다.

그렇다면, <math>(\mathrm N\mathfrak g)_\bullet</math>는 <math>K</math>-[[미분 등급 리 대수]]를 이룬다. 이는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname N \colon [\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{LieAlg}_K] \to \operatorname{dgLieAlg}_K</math>
를 정의한다. 이 함자는 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>\operatorname N^* \colon \operatorname{dgLieAlg}_K \to [\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{LieAlg}_K]\colon \operatorname N</math>
를 가진다. 구체적으로,
:<math>\operatorname N^*\mathfrak g = \frac{\operatorname{Free_{LieAlg}}(\mathrm N^{-1}\mathfrak g)}{\mathfrak I}</math>
이다. 여기서
* <math>\operatorname{Free_{LieAlg}} \colon \operatorname{Mod}_K \to \operatorname{LieAlg}_K</math>는 [[자유 리 대수]] 함자이다.
* <math>(\operatorname{Free_{LieAlg}}\circ) \colon [\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K] \to [\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{LieAlg}_K]</math>는 단체 가군에서 단체 리 대수로 가는, 성분별 [[자유 리 대수]] 함자이다.
* <math>\mathfrak I</math>는 <math>\{[[\mathrm N^{-1}x,\mathrm N^{-1}y]] - \mathrm N^{-1}[x,y]\colon x\in\mathfrak g_m,\,y\in\mathfrak g_n\}</math>로 생성되는 단체 [[리 대수 아이디얼]]이다.
** 여기서 <math>[[-,-]] \colon \mathrm g_m \otimes\mathfrak g_n \to \mathfrak g_{m+n}</math>은 [[에일렌베르크-질버 사상]] <math>\mathfrak g_m \otimes \mathfrak g_n \to (\mathfrak g \otimes\mathfrak g)_{m+n}</math>을 취한 뒤 각 성분별 [[리 괄호]] <math>(\mathfrak g \otimes\mathfrak g)_{m+n} \to \mathfrak g_{m+n}</math>를 취한 것이다.

=== 모형 범주 구조 ===
[[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, 단체 리 대수의 범주 <math>[\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{LieAlg}_K]</math> 위에는 다음과 같은 [[모형 범주]] 구조가 존재한다.
* [[올뭉치]]는 [[칸 올뭉치]](즉, [[단체 집합]]의 [[모형 범주]]의 올뭉치)이다.
* [[약한 동치]]는 [[단체 집합]]의 약한 동치(즉, 기하학적 실현에 대한 [[약한 호모토피 동치]])이다.
또한, 이에 따라 함자 <math>\mathrm N\colon [\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{LieAlg}_K] \to \operatorname{dgLieAlg}_K</math>는 [[퀼런 동치]]를 이룬다.

== 같이 보기 ==
* [[미분 등급 리 대수]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=simplicial Lie algebra|title=Simplicial Lie algebra}}
* {{nlab|id=model structure on simplicial Lie algebras|title=Model structure on simplicial Lie algebras}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:리 대수]]