단체 가환환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]과 [[호모토피 이론]]에서, '''단체 가환환'''(單體可換環, {{llang|en|simplicial commutative ring}})은 [[단체 집합]]의 구조를 갖는 [[가환환]]이다.

== 정의 ==
'''단체 가환환'''은 [[가환환]]의 범주 <math>\operatorname{CRing}</math> 위의 [[단체 대상]]이다.

== 성질 ==
모든 단체 가환환은 (덧셈군 구조를 생각하면) 단체군이므로, [[칸 복합체]]이다. 따라서, 그 [[호모토피 군]]
:<math>\pi_n(R_\bullet)\qquad(n\in\mathbb N)</math>
을 취할 수 있다. 이는 등급 가환 [[등급환]]을 이룬다.

특히, [[연결 성분]]의 집합(=0차 [[호모토피 군]])은 [[가환환]]을 이룬며, 그 [[오른쪽 수반 함자]]는 [[가환환]] <math>R</math>를, 모든 [[단체 집합]] 사상이 [[항등 함수]]인 단체 가환환으로 포함시키는 것이다. 이에 따라, 가환환의 범주는 단체 가환호나의 범주의 [[반사 부분 범주]]를 이룬다.
:<math>\operatorname{CRing} \overset{\pi_0}\leftrightarrows \operatorname{s}(\operatorname{CRing})</math>

또한, 고차 호모토피 군 <math>\pi_i(R)</math>은 <math>\pi_0(R)</math> 위의 [[가군]]을 이룬다.

=== 모형 범주 구조 ===
단체 가환환의 범주 <math>\operatorname s(\operatorname{CRing})</math> 위에는 다음과 같은 [[모형 범주]] 구조가 존재한다.
* 올뭉치는 [[단체 집합]]의 (퀼런 모형 범주 구조의) 올뭉치이다.
* 약한 동치는 [[단체 집합]]의 (퀼런 모형 범주 구조의) 약한 동치이다. 즉, 각 성분별 호모토피 군의 동형을 유도하는 단체 가환환 사상이다.
(쌍대올뭉치는 위 두 정의로부터 결정된다.)

또한, 망각 함자
:<math>\operatorname s(\operatorname{CRing}) \to \operatorname s(\operatorname{Set})</math>
는 [[왼쪽 수반 함자]]를 가지며, 이는 [[모형 범주]]의 [[퀼런 수반 함자]]를 이룬다.

사실, 모노이드 돌트-칸 대응에 따라서, 표수 0의 체 <math>K</math>에 대하여 모형 범주의 [[퀼런 동치]]
:<math>\operatorname s(\operatorname{CRing}/K) \leftrightarrows \operatorname{cdgAlg}^{\ge0}_K</math>
가 존재한다. 여기서 <math>\operatorname{cdgAlg}_K^{\ge0}</math>는 <math>K</math> 위의 [[가환 미분 등급 대수]]의 [[모형 범주]]이다.

== 예 ==
모든 성분 <math>K_i</math>가 [[체 (수학)|체]]인 단체 가환환 <math>K_\bullet</math>은 자명하며, 모든 단체 사상들 <math>\sigma_{n,k}</math>, <math>\delta_{n,k}</math>이 [[동형 사상]]다. 이는 [[단체 범주]]의 항등식에 의하여, 사상
:<math>\sigma_{n-1,0}\circ\dotsb\circ\sigma_{0,0} \colon K_0 \to K_n</math>
이 [[오른쪽 역사상]]
:<math>\sigma_{1,0}\circ\dotsb\circ\delta_{n,0} \colon K_n \to K_0</math>
을 가지므로, 이들이 체의 [[동형 사상]]을 이루어야 하기 때문이다.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=simplicial ring|title=Simplicial ring}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/45273/what-facts-in-commutative-algebra-fail-miserably-for-simplicial-commutative-rings | 제목=What facts in commutative algebra fail miserably for simplicial commutative rings, even up to homotopy? | 출판사=Math Overflow | 언어=en}}
* {{웹 인용 | url=http://www.math.harvard.edu/~amathew/SCR.pdf | 제목=Simplicial commutative rings Ⅰ | 이름=Akhil | 성=Mathew | 언어=en | 확인날짜=2017년 8월 13일 | 보존url=https://web.archive.org/web/20170918144039/http://www.math.harvard.edu/~amathew/SCR.pdf | 보존날짜=2017년 9월 18일 | url-status=dead }}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:호모토피 이론]]