단조 수렴 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|단조 수렴 정리 (미적분학)}}
[[실해석학]]에서 '''단조 수렴 정리'''(單調收斂定理, {{llang|en|monotone convergence theorem}})는 [[가측 함수]]의 증가 함수열의 [[르베그 적분]]과 점별 극한의 순서를 교환할 수 있다는 정리이다.

== 정의 ==
[[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 위의 음이 아닌 [[가측 함수]]의 열 <math>f_n\colon X\to([0,\infty],\mathcal B([0,\infty]))</math> (<math>n\in\mathbb N</math>) 및 함수 <math>f\colon X\to[0,\infty]</math>가 다음을 만족시킨다고 하자.
* (증가 함수열) 임의의 <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>f_n(x)\le f_{n+1}(x)</math>
* ([[점별 수렴]]) 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)</math>
'''단조 수렴 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref>계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002</ref>{{rp|30}}
* <math>f</math>는 [[가측 함수]]이다.
* <math>\int_Xfd\mu=\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu</math>

이는 다음과 같은 정리와 [[동치]]이다. [[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 위의 임의의 음이 아닌 [[가측 함수]]의 열 <math>g_n\colon X\to([0,\infty],\mathcal B([0,\infty]))</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* <math>\sum_{n=0}^\infty g_n</math>는 [[가측 함수]]이다.
* <math>\int_X\sum_{n=0}^\infty g_nd\mu=\sum_{n=0}^\infty\int_Xg_nd\mu</math>

{{증명}}
임의의 <math>a\in[0,\infty]</math>에 대하여, 각 <math>f_n</math>이 [[가측 함수]]이므로, <math>f_n^{-1}([0,a])\in\Sigma</math>이며, 따라서
:<math>f^{-1}([0,a])=\bigcap_{n\in\mathbb N}f_n^{-1}([0,a])\in\Sigma</math>
이다. 즉, <math>f</math>는 [[가측 함수]]이다.

임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>\forall x\in X\colon f_n(x)\le f(x)</math>이므로,
:<math>\int_Xf_nd\mu\le\int_Xfd\mu</math>
이며, 이에 <math>n\to\infty</math>을 취하면
:<math>\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu\le\int_Xfd\mu</math>
을 얻는다.

이제, <math>\forall x\in X\colon s(x)\le f(x)</math>인 임의의 [[단순 함수]] <math>s</math>와 임의의 <math>0<\alpha<1</math>을 고정하고, 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여
:<math>A_n=\{x\in X\colon\alpha s(x)\le f_n(x)\}\in\Sigma</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>A_0\subseteq A_1\subseteq\cdots</math>이며, <math>\textstyle\bigcup_{n\in\mathbb N}A_n=X</math>이다. 또한, 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여,
:<math>\alpha\int_{A_n}sd\mu\le\int_{A_n}f_nd\mu\le\int_Xf_nd\mu</math>
이다. <math>n\to\infty</math>을 취하면
:<math>\alpha\int_Xsd\mu\le\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu</math>
를 얻는다. 이는
:<math>s=\sum_{i=1}^k a_i 1_{S_i}\qquad(a_i\in[0,\infty),\;S_i\in\Sigma)</math>
라고 할 때
:<math>\lim_{n\to\infty}\int_{A_n}sd\mu=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^ka_i\mu(S_i\cap A_n)=\sum_{i=1}^ka_i\mu(S_i\cap X)=\int_Xsd\mu</math>
이기 때문이다. 이제 <math>\alpha\to 1</math>을 취하면
:<math>\int_Xsd\mu\le\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu</math>
를 얻는다. [[르베그 적분]]의 정의에 따라,
:<math>\int_Xfd\mu\le\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu</math>
이다.

따라서 양쪽 방향의 부등호가 성립하므로
:<math>\int_Xfd\mu=\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu</math>
을 얻는다.
{{증명 끝}}

== 따름정리 ==
=== 급수에 대한 푸비니 정리 ===
{{본문|푸비니 정리}}
단조 수렴 정리를 [[자연수]]의 집합 <math>\mathbb N</math> 위의 [[셈측도 공간]] <math>(\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N),|\cdot|)</math>에 적용하면 [[무한 급수]]에 대한 [[푸비니 정리]]를 얻으며, 이는 다음과 같다. 임의의 음이 아닌 [[확장된 실수]]들의 무한차 행렬 <math>(a_{mn})_{m,n\in\mathbb N}\subseteq[0,\infty]</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref>{{서적 인용|저자=J Yeh|제목=Real analysis. Theory of measure and integration|연도=2006}}</ref>{{rp|168}}
:<math>\sum_{m=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty a_{mn}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty a_{mn}</math>

=== 절대 연속 측도 ===
{{본문|절대 연속 측도}}
임의의 [[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 및 음이 아닌 [[가측 함수]] <math>f\colon X\to([0,\infty],\mathcal B([0,\infty]))</math>에 대하여, 함수
:<math>\nu(A)=\int_Afd\mu\qquad(A\in\Sigma)</math>
는 <math>(X,\Sigma)</math> 위의 [[측도]]를 이루며, 또한 이는 <math>\mu</math>-[[절대 연속 측도]]를 이룬다 (즉, <math>\mu(A)=0</math>은 <math>\nu(A)=0</math>을 함의한다).
{{증명}}
임의의 가산 무한 개의 [[서로소 집합]] <math>A_0,A_1,\dots\subseteq\Sigma</math>에 대하여, 각 <math>f1_{A_n}</math>은 음이 아닌 [[가측 함수]]이므로, 단조 수렴 정리에 따라
:<math>\nu\left(\bigcup_{n=0}^\infty A_n\right)
=\int_Xf1_{\bigcup_{n=0}^\infty A_n}d\mu
=\int_X\sum_{n=0}^\infty f1_{A_n}d\mu
=\sum_{n=0}^\infty f1_{A_n}d\mu
=\sum_{n=0}^\infty\nu(A_n)</math>
이다. 따라서 <math>\nu</math>는 [[측도]]이다.

만약 <math>A\in\Sigma</math>이며 <math>\mu(A)=0</math>이라면, <math>\mu</math>-[[거의 어디서나]] <math>f1_A=0</math>이므로,
:<math>\nu(A)=\int f1_Ad\mu=0</math>
이다. 따라서 <math>\nu</math>는 <math>\mu</math>-[[절대 연속 측도]]이다.
{{증명 끝}}

== 같이 보기 ==
* [[파투 보조정리]]
* [[지배 수렴 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성1=Athreya
|이름1=Krishna B.
|성2=Lahiri
|이름2=Soumendra N.
|제목=Measure Theory and Probability Theory
|언어=en
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2006
|isbn=978-0-387-32903-1
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
|zbl=1125.60001
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Lebesgue theorem}}
* {{매스월드|id=MonotoneConvergenceTheorem|제목=Monotone convergence theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=monotoneconvergencetheorem|제목=Monotone convergence theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=proofofmonotoneconvergencetheorem|제목=Proof of monotone convergence theorem}}
* {{proofwiki|id=Monotone Convergence Theorem (Measure Theory)|제목=Monotone convergence theorem (measure theory)}}

[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:측도론 정리]]