단조함수 문서 원본 보기

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[[파일:Monotonicity example1.png|섬네일|단조 증가. 강한 단조 증가는 아니다.]]
[[수학]]에서 '''단조 함수'''(單調函數, {{llang|en|monotonic function}})는 주어진 순서를 보존하는 [[함수]]이다. [[기하학]]적으로, [[실수]] 단조 함수의 [[함수의 그래프|그래프]]는 왼쪽에서 오른쪽으로 줄곧 상승하거나 줄곧 하강한다. [[대수학]]적으로, 단조 함수는 두 순서 집합 사이의 [[준동형]]이다.

== 정의 ==
실수 [[구간]] <math>I</math>를 [[정의역]], 실수 집합 <math>\R</math>을 [[공역]]으로 하는 함수 <math>f\colon I\to\R</math>이 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, '''단조 함수'''라고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in I</math>에 대하여, <math>x\le y</math>이면 <math>f(x)\le f(y)</math>. 이 경우, <math>f</math>를 '''증가 함수'''(增加函數, {{llang|en|increasing function}})라고 하고, <math>f</math>가 '''단조 증가'''({{llang|en|monotonically increasing}})한다고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in I</math>에 대하여, <math>x\le y</math>이면 <math>f(x)\ge f(y)</math>. 이 경우, <math>f</math>를 '''감소 함수'''(減少函數, {{llang|en|decreasing function}})라고 하고, <math>f</math>가 '''단조 감소'''({{llang|en|monotonically decreasing}})한다고 한다.
만약 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, '''강한 단조 함수'''({{llang|en|strictly monotonic function}})라고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in I</math>에 대하여, <math>x<y</math>이면 <math>f(x)<f(y)</math>. 이 경우, <math>f</math>를 '''강한 증가 함수'''({{llang|en|strictly increasing function}})라고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in I</math>에 대하여, <math>x<y</math>이면 <math>f(x)>f(y)</math>. 이 경우, <math>f</math>를 '''강한 감소 함수'''({{llang|en|strictly decreasing function}})라고 한다.
즉, 단조 함수는 순서 관계 <math>\le</math>를 보존하거나 반전시키는 함수이며, 강한 단조 함수는 절대 순서 관계 <math><</math>를 보존하거나 반전시키는 함수이다. 강한 단조 함수는 단조 함수보다 강한 개념이다. 예를 들어, 단조 함수는 어떤 부분 구간에서 줄곧 상수일 수 있으나, 강한 단조 함수는 그럴 수 없다.

실수 부분 집합 <math>D\subset\R</math>에서 실수 집합 <math>\R</math>로 가는 함수 <math>f\colon D\to\R</math>의, 부분 구간 <math>I\subset D</math>에서의 단조성은, <math>f</math>의 <math>I</math>로의 제한 <math>f|_I</math>의 단조성을 뜻한다.

보다 일반적으로, 두 [[부분 순서 집합]] <math>(X,\le)</math>, <math>(Y,\preceq)</math>사이의 '''순서 보존 사상'''(順序保存寫像, {{llang|en|order-preserving map}})은 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여 <math>x\le y</math>이면 <math>f(x)\preceq f(y)</math>인 함수 <math>f\colon X\to Y</math>이다. 즉, 두 부분 순서 집합 사이의 [[준동형]]이다.
두 부분 순서 집합 사이의 '''순서 반전 사상'''({{llang|en|order-reversing map}})은 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여 <math>x\le y</math>이면 <math>f(x)\succeq f(y)</math>인 함수 <math>f\colon X\to Y</math>이다. 즉, 첫번째 부분 순서 집합과 두번째 부분 순서 집합 사이의 역순서 준동형이다.

== 미분과 단조성 ==
[[미분]]은 함수의 단조성을 판별하는 좋은 도구이다.

미분 가능한 실수 함수 <math>f\colon D\to\R</math>와 부분 구간 <math>I\subset D</math>에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>f</math>가 <math>I</math>에서 단조 증가할 [[필요 충분 조건]]은, 임의의 <math>x\in I</math>에 대하여, <math>f'(x)\ge0</math>인 것이다.<ref name="실해석학개론">{{서적 인용|공저자=Donald R. Sherbert|저자=Robert G. Bartle|제목=실해석학개론|연도=2006|출판사=범한서적|편집자=강수철 역|확인날짜=2012-02-01|isbn=897129177X|쪽=220~221}}</ref>
* <math>f</math>가 <math>I</math>에서 단조 감소할 [[필요 충분 조건]]은, 임의의 <math>x\in I</math>에 대하여, <math>f'(x)\le0</math>인 것이다.<ref name="실해석학개론" />
같은 <math>f</math> 및 <math>I</math>에 대하여, 강한 단조 함수에 대한 다음 성질들도 성립한다.
* <math>f</math>가 <math>I</math>에서 강한 증가 함수일 [[필요 충분 조건]]은, 임의의 <math>x\in I</math>에 대하여, <math>f'(x)\ge0</math>이며, 임의의 <math>x\in J</math>에 대하여 <math>f'(x)=0</math>인 부분 구간 <math>J\subset I</math>가 존재하지 않는 것이다.
* <math>f</math>가 <math>I</math>에서 강한 감소 함수일 [[필요 충분 조건]]은, 임의의 <math>x\in I</math>에 대하여, <math>f'(x)\le0</math>이며, 임의의 <math>x\in J</math>에 대하여 <math>f'(x)=0</math>인 부분 구간 <math>J\subset I</math>가 존재하지 않는 것이다.
특히, 만약 <math>I</math>에서 항상 <math>f'(x)>0</math>이거나, 항상 <math>f'(x)<0</math>이면, <math>f</math>는 <math>I</math>에서 강한 단조 함수이다.<ref name="실해석학개론" /> 그러나 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수 <math>f(x)=x^3</math>은 실수 전체에서 강한 증가 함수이지만, <math>f'(0)=0</math>이다.

구간 <math>I</math>에 정의된 실수 단조 함수 <math>f\colon I\to\R</math>에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>f</math>의 불연속점은 모두 [[단순 불연속점]]이다.
* <math>f</math>의 불연속점은 많아야 [[가산 집합|가산]] 개이다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|저자링크=월터 루딘
|제목=Principles of mathematical analysis
|언어=en
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1976
|isbn=978-0-07-054235-8
|mr=0385023
|zbl=0346.26002
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|확인날짜=2014-10-06
|url-status=dead
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006165957/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|보존날짜=2014-10-06
}}</ref>{{rp|96}}
* ([[르베그 미분가능성 정리]]) <math>f</math>의 미분 불가능점은 많아야 [[영측도]]이다.
이에 따라, [[연속 함수]]가 아니거나 미분 불가능한 단조 함수의 성질은 상당히 제한된다.

== 같이 보기 ==
* [[스피어먼 상관 계수]]
== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:순서론]]
[[분류:실해석학]]
[[분류:함수의 종류]]