단일 연결 공간 문서 원본 보기

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[[위상수학]]에서 '''단일 연결 공간'''(單一連結空間, {{llang|en|simply connected space}})은 공간 속의 임의의 [[닫힌 경로]]를 연속적으로 줄여 하나의 점으로 만들 수 있는 공간을 말한다.

== 정의 ==
위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이고, 이 조건을 만족시키는 위상 공간을 '''단일 연결 공간'''이라고 한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|333}}
* X는 [[경로 연결 공간]]이고, X의 [[기본군]]은 [[자명군]]이다.
* X 내의 모든 닫힌 경로가 어떤 상수 경로(적당한 c∈X와 모든 t∈[0, 1]에 대해 C:[0, 1]→X, C(t) = c를 만족하는 경로 C)에 대해 [[호모토픽]]하다.

어떤 위상 공간의 부분 집합 가운데, 단일 연결 공간을 이루는 것을 '''단일 연결 집합'''이라고 한다.

== 예 ==
* 모든 차원의 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>은 단일 연결 공간이다. 여기서 원점을 뺀 집합은 단일 연결 공간이 아니지만, <math>n>1</math>인 경우 [[경로 연결 공간]]이다.
* 2차원 이상의 모든 [[초구]] <math>S^n</math>은 단일 연결 공간이다.
* 임의 차원 [[유클리드 공간]]의 [[볼록집합]]은 단일 연결 공간이다.
* [[바나흐 공간]]과 [[힐베르트 공간]]을 포함한 모든 [[위상 벡터 공간]]은 단일 연결 공간이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SimplyConnected|title=Simply connected}}
* {{매스월드|id=SemilocallySimplyConnected|title=Semilocally simply connected}}

== 같이 보기 ==
* [[국소 단일 연결 공간]]
* [[호모토피]]
* [[축약 가능 공간]]

[[분류:위상 공간의 성질]]
[[분류:대수적 위상수학]]