단위 분할 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Partition of unity illustration.svg|thumb|right|단위분할의 도식. 각 점에서 함수들의 합은 1이다.]]
[[수학]]에서 '''단위 분할'''(單位分割, {{llang|en|partition of unity}})은 공간을 총합이 1인 일련의 함수들을 사용해 분할하는 방법이다. 국소적 작도를 대역적으로 확장할 때 쓰인다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 '''단위 분할''' <math>\mathcal F</math>은 다음 두 조건을 만족시키는 <math>X\to[0,1]</math> [[연속 함수]]들의 집합이다.
* 모든 점 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>|\{f\in\mathcal F\colon f|_{U_x}\ne0\}|<\aleph_0</math>인 [[근방]] <math>U_x\ni x</math>가 존재한다.
* 모든 점 <math>x\in X</math>에서, <math>\sum_{f\in\mathcal F}f(x)=1</math>이다.
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math> 및 단위 분할 <math>\mathcal F</math>에 대하여, 만약 임의의 <math>f\in\mathcal F</math>에 대하여 <math>\operatorname{supp}f\subseteq U</math>인 <math>U\in\mathcal U</math>가 존재한다면, <math>\mathcal F</math>를 '''<math>\mathcal U</math>에 종속된 단위 분할'''({{llang|en|partition of unity subordinate to <math>\mathcal U</math>}})이라고 한다.

== 성질 ==
[[하우스도르프 공간]]의 경우, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[파라콤팩트 공간]]이다.
* 임의의 [[열린 덮개]]에 대하여, 이에 종속된 단위 분할이 존재한다.

== 응용 ==
[[미분기하학]]에서, 단위 분할은 [[유클리드 공간]] 위의 함수에 대하여 정의되는 성질들을 [[매끄러운 다양체]] 전체로 짜깁기하기 위하여 쓰인다. 예를 들어, 부피 형식의 적분을 정의하려면, 다양체의 좌표근방계에 종속되는 단위 분할을 찾아서, 각 단위 분할을 국소 좌표계를 사용하여 유클리드 공간으로 보내어 정의한다. 그 뒤, 이 정의가 좌표근방계의 선택 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보여야 한다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=PartitionofUnity|title=Partition of unity|저자=Todd Rowland}}
* {{nlab|id=partition of unity|title=Partition of unity}}

{{전거 통제}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:미분기하학]]