단위원 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 설명|[[환론]]에서, 곱셈에 대한 [[항등원]]을 '단위원'(單位元, unity)이라고 부르기도 합니다.}}

'''단위원'''(單位圓,unit circle)은 반지름이 [[1]]인 원이다. 특별히 [[해석기하학]]에서는 원점 <math>(0, 0)</math> 을 중심으로 하는 반지름이 1인 원을 말한다. 즉, 원점으로부터 거리가 1 인 점의 자취이다.

많은 경우 단위원은 <math>S^1</math>으로 표시한다. 이것은 일반적인 <math>n</math> 차원 구면(sphere) 개념 중 <math>n = 1</math>의 경우를 뜻한다.
::<math>S^1 = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 = 1\right\}.</math>

== 단위원 위의 임의의 한 점의 삼각매개화 ==
{{본문|삼각함수}}

단위원 위의 임의의 점 <math>P</math>를 [[극좌표]]를 이용하여 나타내는 경우, <math>(r,\theta)=(1,\theta)</math> (<math>\theta</math>: 점 <math>P</math>와 원점을 이은 반직선 <math>OP</math>와 <math>x</math>축이 이루는 각, <math>0</math> ≤<math>\theta</math> ≤ <math>2\pi</math>)으로 나타낼 수 있다. 또한 이 점을 직교좌표를 이용하여 표현하는 경우, 이 점의 좌표는 <math>(x,y)</math>로 나타낼 수 있다.

{|
|점 <math>P</math>에 의해 만들어지는 직각삼각형
| [[파일:Triangleky.jpg|500px|왼쪽|]]
|}

점 <math>P</math>에 의해 만들어지는 직각삼각형에 대해, 삼각함수 중 사인 함수와 코사인 함수의 정의를 적용하면 <math>sin\theta=\frac{y}{r}, cos\theta=\frac{x}{r}</math>으로 나타낼 수 있다.

단위원의 경우, 원점으로부터의 거리 <math>r=1</math>이므로 <math>y=sin\theta, x=cos\theta</math>로 정리할 수 있다.

이와 같은 방식으로 삼각함수의 정의를 이용하여 단위원 위의 모든 점을 '원점으로부터의 거리(<math>r</math>)'와 '<math>x</math>축의 양의 방향과 이루는 각도(<math>\theta</math>)'로 나타내는 것을 '단위원의 삼각매개화'라 한다.

== 단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화 ==
단위원 위의 임의의 한 점 <math>P</math>를 유리매개화 하기 위해, 기울기가 <math>t</math>(<math>t</math>: 임의의 실수)이고 단위원 위의 한 점인 <math>(-1,0)</math>을 지나는 직선 <math>l</math>을 생각한다. 이 경우, 직선 <math>l</math>은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 <math>(-1,0)</math>, 다른 하나는 유리매개화를 하려고 하는 임의의 점 <math>P</math>가 된다. 따라서 단위원의 원의 방정식과 직선 <math>l</math>의 방정식을 연립하여 점 <math>P</math>의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 <math>t</math>에 대해 원 위의 모든 점(단, <math>(-1,0)</math>은 제외)을 유리매개화 할 수 있다.

{|
|[[파일:The rational parametrization of unit circle2.jpg]]
|}

:단위원의 원의 방정식: <math>x^2 + y^2 = 1.</math>
:직선<math>l</math>의 직선의 방정식: <math>y=tx+t.</math>

직선<math>l</math>의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 변수 <math>y</math>를 소거하면 <math>x</math>에 대한 이차방정식을 얻을 수 있다.
:<math>x^2+(tx+t)^2=1.</math>
:<math>\Rightarrow x^2+t^2x^2+2t^2x+t^2-1=0.</math>
:<math>\Rightarrow (1+t^2)x^2+2t^2x+(t^2-1)=0.</math>

얻어낸 <math>x</math>의 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 근을 찾아내면 그것이 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표가 된다.
:<math>x=\frac{-t^2 \pm \sqrt{t^4-(t^2-1)(t^2+1)}}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-(t^4-1)\ }}{(1+t^2)}=\frac{-t^2 \pm \sqrt {t^4-t^4+1}}{(1+t^2)}=\frac{t^2  \pm1}{1+t^2}.</math>
:<math>\therefore x=-1 </math> 또는 <math> x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.</math>

따라서, 점 <math>P</math>의 <math>x</math>좌표는 <math>x=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math>이다. <math>x</math>좌표를 직선 <math>l</math>의 방정식에 대입하여 <math>y</math>좌표도 찾아, 점 <math>P</math>의 좌표를 완성시키면 다음과 같다.
:단위원과 직선<math>l</math>의 교점: <math>P=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)</math>.

이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표(단, <math>(-1,0)</math>제외, <math>t</math>가 <math>\pm\infty</math>로 발산하는 경우 점 <math>P</math>는 <math>(-1,0)</math>로 수렴한다)를 임의의 실수 <math>t</math>에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화'라고 한다.

'''참고)''' 단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화를 통해 단위원과 임의의 곡선 <math>g(x,y)</math>의 교점의 개수를 구할 수 있다.

예를 들어, <math>f(x,y)=x^2+y^2-1, g(x,y)=0</math> 라 하자. 단, <math>f(x,y)</math>는 단위원 <math>g(x,y)</math>는 임의의 곡선이며 <math>g(x,y)</math>의 차수는 <math>n</math>이라 하자.

결론부터 말하자면, <math>f(x,y)</math>와 <math>g(x,y)</math>의 교점의 개수는 많아야 <math>2n</math>개 이하이다.

우선, 두 곡선 <math>f(x,y)</math>와 <math>g(x,y)</math>의 교점 <math>Q</math>는 단위원의 유리매개화를 통해 <math>(-1,0)</math>을 제외한 모든 점에서 아래와 같이 유리매개화할 수 있다.
::<math>Q=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)</math>

이 때, <math>(x,y)=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)</math>로 놓을 수 있고 <math>g(x,y)=g\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)=0</math>이다.

여기서 <math>g(x,y)=g\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)=0</math>을 만족하는 <math>t</math>의 개수가 교점의 개수이다.

따라서 우리가 알고 싶은 것은 <math>t</math>의 차수(degree)이므로, <math>t</math>에 대해 정리한 각 항의 일반적인 형태는 다음과 같다.
::<math>C</math><sub>ij</sub><math>(\frac{1-t^2}{1+t^2})^i</math><math>(\frac{2t}{1+t^2})^j</math><math>=</math><math>C</math><sub>ij</sub><math>\frac{(1-t^2)^i(2t)^j}{(1+t^2)^{i+j}}</math>
(단, <math>C</math><sub>ij</sub>는 각 항의 계수이며, i+j<n이다.)

그리고 위 식 우변에 <math>(1+t^2)</math><sup>i+j</sup>을 곱하면,
::<math>C</math><sub>ij</sub><math>(1-t^2)^i(2t)^j(1+t^2)^{n-i+j}</math>

그러므로 차수(<math>degree</math>)를 생각하면 다음과 같다.
::<math>2i+j+2n-2(i+j)</math>
::<math>=2n-j < 2n </math>

따라서 <math>t</math>의 차수가 <math>2n</math>보다 작으므로 '''단위원'''과 임의의 곡선 <math>g(x,y)</math>의 교점의 개수는 많아야 <math>2n</math>개 이하이다.

== 복소평면의 단위원 ==
[[복소평면]]상의 단위원은 절댓값이 1 인 [[복소수]]의 자취

: {''z'' ∈ '''C''' | |''z''| = 1} = {exp(''i''θ) | 0 ≤ θ < 2π}
가 된다 (exp는 자연대수의 밑인 e 을 밑으로 하는 복소변수 [[지수함수]]). 이 집합은 복소수의 통상의 곱에 관해서 닫혀 있고 [[군론|군]](群, group)을 이루어 원주군 (circle group)으로 불리기도 한다. 이것은 또 1차원의 [[유니타리 군]]으로 불리는 [[리 군]]이며 U(1)라고 표시한다.

== 같이 보기 ==
* [[삼각함수]]
* [[단위정육면체]]
* [[단위구]]
* [[단위정사각형]]

[[분류:기하학]]
[[분류:해석기하학]]
[[분류:1]]
[[분류:원 (기하학)]]
[[분류:푸리에 해석학]]