단위구 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Vector norms.svg|frame|right|일부 1-구들. <math>\|\boldsymbol{x}\|_2</math>은 아래의 첫 번째 부분에서 이야기되는 유클리드 공간의 노름이다.]]
[[수학]]에서 '''단위[[구]]'''는 고정된 중심점으로부터의 [[거리]]가 1인 점들의 집합이다. 일반화된 거리에 대한 개념이 사용된다; 닫힌 '''단위[[공 (수학)|공]]'''은 고정된 중심점에서 [[거리]]가 1보다 작거나 같은 점들의 집합이다. 보통 특정한 점은 연구 중인 공간의 [[원점]]으로 구별되고 단위구 또는 단위공이 그 점을 중심으로 한다고 이해된다. 따라서 여기서는 항상 "그" 단위구나 "그" 단위공을 이야기 하는 것이다.

예를 들어, 원의 내부과 표면은 이차원 구이지만, 일차원 구는 그 "원"의 표면이다. 비슷하게, 일반적으로 "구"라고 부르는 유클리드 입체의 내부와 표면은 삼차원 구이지만, 이차원 구는 그 구의 표면이다.

단위구는 단순히 [[반지름]]이 1인 [[구]]이다. 단위구의 중요한 점은 어떤 구도 [[평행이동]]과 [[크기변환]]만으로 단위구로 변환될 수 있다는 것이다. 이 때문에 구의 특성은 일반적으로 단위구에 대한 연구로 줄일 수 있다.

==유클리드 공간에서 단위구와 공==

''n''차원 공간의 [[유클리드 공간]]에서, {{math|(''n''−1)}}차원 단위구는 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합 <math>(x_1, \ldots, x_n)</math>이다:

:<math> x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 = 1</math>

''n''차원 열린 단위 공은 다음 [[부등식]]을 만족시키는 점들의 집합이다:

:<math> x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 < 1</math>

그리고 ''n''차원 닫힌 단위 공은 다음 [[부등식]]을 만족시키는 점들의 집합이다:

:<math> x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 \le 1</math>

===일반적인 넓이와 부피 공식===

단위구의 고전적인 방정식은 반지름이 1이고 ''x''-, ''y''-, 또는 ''z''-축의 교대가 없는 타원체의 방정식이다:
:<math>f(x,y,z) =  x^2 + y^2 + z^2 = 1</math>

''n''차원 유클리드 공간의 단위구의 부피와 표면적은 많은 [[해석학 (수학)|해석학]]의 중요한 공식에 등장한다. ''n''차원 단위공의 부피 ''V''<sub>''n''</sub>은 [[감마 함수]]를 사용해서 표현할 수 있다:

:<math>V_n = \frac{\pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \begin{cases}
{\pi^{n/2}}/{(n/2)!} & \mathrm{if~}n \ge 0\mathrm{~is~even,} \\
~\\
{\pi^{\lfloor n/2 \rfloor}2^{\lceil n/2 \rceil}}/{n!!} & \mathrm{if~}n \ge 0\mathrm{~is~odd,}
\end{cases} </math>

이 때 ''n''<nowiki>!!</nowiki>은 [[이중 팩토리얼]]이다.

(''n''&minus;1)차원 단위구의 초부피 ''A''<sub>''n''</sub>(''즉'', ''n''차원 단위공의 표면의 "넓이")은 다음과 같이 표현할 수 있다:

:<math>A_n = n V_n = \frac{n \pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \frac{2 \pi ^ {n/2}}{\Gamma(n/2)}\,,</math>
여기서 마지막 등식은 {{nowrap|''n'' > 0}}일 때만 성립한다.

일부 <math>n</math>값에 따른 표면적과 부피는 다음과 같다:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! <math>n</math>
! colspan=2|<math>A_n</math> (표면적)
! colspan=2|<math>V_n</math> (부피)
|-
! 0
| <math>0(1/0!)\pi^0 </math> || 0 || <math>(1/0!)\pi^0 </math> || 1
|-
! 1
| <math>1(2^1/1!!)\pi^0 </math> || 2 || <math>(2^1/1!!)\pi^0 </math> || 2
|-
! 2
| <math>2(1/1!)\pi^1 = 2 \pi </math> || 6.283 || <math>(1/1!)\pi^1 = \pi </math> || 3.141
|-
! 3
| <math>3(2^2/3!!)\pi^1  = 4 \pi </math> || 12.57 || <math>(2^2/3!!)\pi^1  = (4/3)\pi </math> || 4.189
|-
! 4
| <math>4(1/2!)\pi^2 = 2 \pi^2 </math> || 19.74 || <math>(1/2!)\pi^2 = (1/2)\pi^2 </math> || 4.935
|-
! 5
| <math>5(2^3/5!!)\pi^2 = (8/3)\pi^2 </math> || 26.32 || <math>(2^3/5!!)\pi^2 = (8/15)\pi^2 </math> || 5.264
|-
! 6
| <math>6(1/3!)\pi^3 = \pi^3 </math> || 31.01 || <math>(1/3!)\pi^3 = (1/6)\pi^3 </math> || 5.168
|-
! 7
| <math>7(2^4/7!!) \pi^3 = (16/15)\pi^3 </math> || 33.07 || <math>(2^4/7!!) \pi^3 = (16/105)\pi^3 </math> || 4.725
|-
! 8
| <math>8(1/4!)\pi^4 = (1/3)\pi^4 </math> || 32.47 || <math>(1/4!)\pi^4 = (1/24)\pi^4 </math> || 4.059
|-
! 9
| <math>9(2^5/9!!) \pi^4 = (32/105)\pi^4 </math> || 29.69 || <math>(2^5/9!!) \pi^4 = (32/945)\pi^4 </math> || 3.299
|-
! 10
| <math>10(1/5!)\pi^5 = (1/12)\pi^5 </math> || 25.50 || <math>(1/5!)\pi^5 = (1/120)\pi^5 </math> || 2.550
|}
''n''&nbsp;≥&nbsp;2일 때의 확장된 소숫점 아래는 표시된 정확도로 반올림되었다.

====재귀====

''A''<sub>''n''</sub>값은 재귀를 만족시킨다:

:<math>A_0 = 0</math>
:<math>A_1 = 2</math>
:<math>A_2 = 2\pi</math>
:<math>A_n = \frac{2 \pi}{n-2} A_{n-2}</math> for <math>n > 2</math>.

''V''<sub>''n''</sub>값도 재귀를 만족시킨다:

:<math>V_0 = 1</math>
:<math>V_1 = 2</math>
:<math>V_n = \frac{2 \pi}{n} V_{n-2}</math> for <math>n > 1</math>.

====분수 차원====
{{본문|하우스도르프 측도}}

''A''<sub>''n''</sub>과 ''V''<sub>''n''</sub>의 공식은 어떤 실수 ''n''&nbsp;≥&nbsp;0에 대해서도 계산할 수 있고, ''n''이 음이아닌 정수일 때 구의 표면적과 공의 부피를 찾을 수 있는 적절한 환경이 있다.

[[파일:Sphere area in n dimensions.svg|right|섬네일|200px|이것은 (''x''&ndash;1)차원 구의 초부피(''즉'', ''x''차원 단위공의 표면의 "넓이")를 ''x''에 대한 연속 함수로 나타낸다.]]
[[파일:Ball volume in n dimensions.svg|none|섬네일|200px|이것은 ''x''차원 공의 부피를 ''x''에 대한 연속 함수로 나타낸다.]]

====다른 반지름====
{{본문|구}}

반지름이 ''r''인 (''n''&ndash;1)차원 구의 표면적은 ''A''<sub>''n''</sub>&nbsp;''r''<sup>''n''&minus;1</sup>이고, 반지름이 ''r''인 ''n''차원 공의 부피는 ''V''<sub>''n''</sub>&nbsp;''r''<sup>''n''</sup>이다. 예를 들어, 반지름이 ''r''인 삼차원 공의 표면적은 {{nowrap|''A'' {{=}} 4''&pi;''&thinsp;''r''<sup>&thinsp;2</sup>}}이다. 반지름이 ''r''인 삼차원 공의 부피는 {{nowrap|''V'' {{=}} 4''&pi;''&thinsp;''r''<sup>&thinsp;3</sup> / 3}}이다.

==노름 벡터 공간의 단위공==

더 정확하게, [[노름]]이 <math>\|\cdot\|</math>의 [[노름 벡터 공간]] <math>V</math>의 '''열린 단위구'''는 다음과 같다:

:<math> \{ x\in V: \|x\|<1 \}</math>

이것은 (''V'',||·||)의 '''닫힌 단위공'''의 [[내부 (위상수학)|내부]]이다:

:<math> \{ x\in V: \|x\|\le 1\}</math>

후자는 전자와 그 공통 경계인 '''단위구'''의 서로소 연합이고, (''V'',||·||)의 '''단위구'''는 다음과 같다:

:<math> \{ x\in V: \|x\| = 1 \}</math>

''단위공''의 '모양'은 전적으로 선택된 노름에 의존한다; 이것은 충분히 '모퉁이'를 가질 수도 있고, 예를 들면 ''R''<sup>''n''</sup>의 노름 ''l''<sub>∞</sub>의 경우에는[&minus;1,1]<sup>''n''</sup>처럼 보일 수도 있다. ''둥근 공''은 일상적인 [[유클리드 거리]]의 유한 차원의 경우에 기반하는 [[힐베르트 공간]] 노름으로 이해된다; 그 경계는 일반적으로 ''단위구''를 의미하는 것이다. 여기에 다양한 값의 ''p''에 대한 이차원 [[Lp 공간|<math>\ell^p</math> 공간]]의 단위공의 그림을 그렸다 (단위공은 ''p'' < 1일 때는 오목하고 ''p'' &ge; 1일 때는 볼록하다):

{{파노라마|그림=2D unit balls.svg|높이=200|대체=다른 민코프스키 거리 측도를 사용하는 단위원.}}

모든 노름 공간의 단위공은 [[삼각 부등식]]에 의해서 반드시 [[볼록 집합|볼록]]해야 하기 때문에 이것은 조건 ''p'' &ge; 1이 <math>\ell^p</math>의 정의에 중요한지 보여준다.

이 이차원 단위공의 지름 <math>C_p</math>에 대해서 주목하라:

:<math>C_{0} = C_{\infty} = 8</math>은 최대값이다.
:<math>C_{1} = 4 \sqrt{2}</math>은 최솟값이다.
:<math>C_{2} = 2 \pi \,.</math>

==일반화==

===측도 공간===
위의 세 정의 모두는 선택한 원점에 대하여 직접적으로 [[거리 공간]]으로 일반화 된다. 하지만, 위상적 고려사항(내부, 닫힘, 경계)은 같은 방법으로 적용될 필요는 없다(예를 들면, [[초거리]] 공간에서, 이 세 개 전부는 열려있는 동시에 닫힌 집합이다). 그리고 심지어 단위구는 어떤 거리 공간에서 빌 수도 있다.

===이차 형식===
''V''가 실[[이차 형식]] ''F'':''V'' → R을 가지는 선형 공간이면 { p ∈ ''V'' : ''F''(p) = 1 }은 단위구<ref>Takashi Ono (1994) ''Variations on a Theme of Euler: quadratic forms, elliptic curves, and Hopf maps'', chapter 5: Quadratic spherical maps, page 165, [[Plenum Press]], {{isbn|0-306-44789-4}}</ref><ref>F. Reese Harvey (1990) ''Spinors and calibrations'', "Generalized Spheres", page 42, [[Academic Press]], {{isbn|0-12-329650-1}}</ref>또는 ''V''의 [[쌍곡면#구와의 관계|단위 준-구]] 로 부를 수 도 있다. 예를 들어, 이차 형식 <math>x^2 - y^2</math>에 대해서 집합이 1과 같을 때, [[분할복소수]]평면에서 "단위원"과 같은 역할을 하는 [[단위 쌍곡선]]을 만들어낸다. 비슷하게, 이차 형식 x<sup>2</sup>는 [[쌍대수]]평면의 단위 구인 선의 쌍을 얻는다.

== 같이 보기 ==
{{위키낱말사전|unit sphere}}

* [[공 (수학)|공]]
* [[초구]]
* [[구 (기하학)]]
* [[초타원]]
* [[단위원]]
* [[단위 디스크]]
* [[단위구 묶음]]
* [[단위정사각형]]
* [[단위정육면체]]

== 각주 ==
{{각주}}
* Mahlon M. Day (1958) ''Normed Linear Spaces'', page 24, [[Springer-Verlag]].
*{{인용|last1=Deza|first1=E.|first2=M.|last2=Deza|title=Dictionary of Distances|year=2006|publisher=Elsevier|isbn=0-444-52087-2}}. Reviewed in [https://www.scribd.com/doc/2668595/Newsletter-of-the-European-Mathematical-Society-20070664-featuring-Let-Platonism-Die ''Newsletter of the European Mathematical Society'' '''64''' (June 2007)], p.&nbsp;57. This book is organized as a list of distances of many types, each with a brief description.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드 | urlname = UnitSphere | title = Unit sphere}}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:1]]
[[분류:구 (기하학)]]