단순 확대 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[체론]]에서 '''단순 확대'''(單純擴大, {{llang|en|simple extension}})는 하나의 원소로 생성되는 [[체의 확대]]이다.

== 정의 ==
[[체의 확대]] <math>L/K</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>L=K(\alpha)</math>가 되는 <math>\alpha\in L</math>이 존재한다면, <math>L/K</math>를 '''단순 확대'''라고 하고, <math>\alpha</math>를 '''원시 원소'''(原始元素, {{llang|en|primitive element}})라고 한다.

만약 <math>\alpha</math>가 <math>K</math>-[[초월 원소]]라면, <math>K(\alpha)\cong K(x)</math>는 <math>K</math>의 일변수 [[유리 함수체]]와 [[동형]]이다. 만약 <math>\alpha</math>가 <math>K</math>-[[대수적 원소]]라면, <math>K</math>의 [[다항식환]]의 어떤 [[몫환]]
:<math>K(\alpha)\cong K[x]/(p(x))</math>
:<math>[K(\alpha):K]=\deg p</math>
과 [[동형]]이다. 여기서 <math>p</math>는 <math>\alpha</math>의 <math>K</math>-[[최소 다항식]]이다. 이는 [[기약 다항식]]이므로, <math>(p(x))</math>는 [[극대 아이디얼]]이며, <math>K[x]/(p(x))</math>는 [[체 (수학)|체]]를 이룬다.

== 성질 ==
[[유한 확대]]의 경우, 단순 확대가 될 필요충분조건은 '''원시 원소 정리'''(原始元素定理, {{llang|en|primitive element theorem}})에 의하여 주어진다. 원시 원소 정리에 따르면, 임의의 [[유한 확대]] <math>L/K</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>L/K</math>는 단순 확대이다.
* <math>L/K</math> 사이에, <math>K\subseteq M\subseteq L</math>이 되는 체 <math>M</math>의 수는 유한하다.
{{증명}}
<math>L/K</math> 사이의 체의 수가 유한하다고 가정하자. 만약 <math>K</math>가 [[유한체]]라면, <math>L</math> 역시 유한체이며, 곱셈군 <math>L^\times=L\setminus\{0\}</math>은 [[순환군]]이다. 임의의 생성원 <math>\alpha</math>가 주어졌을 때, <math>L=K(\alpha)</math>이다. 이제, <math>K</math>가 무한체라고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>\alpha,\beta\in L</math>에 대하여,
:<math>K(\alpha+c\beta)=K(\alpha+c'\beta)</math>
:<math>c\ne c'</math>
인 <math>c,c'\in K</math>가 존재한다.
:<math>\beta=((\alpha+c\beta)-(\alpha+c'\beta))/(c-c')\in K(\alpha+c\beta)</math>
:<math>\alpha=(\alpha+c\beta)-c\beta\in K(\alpha+c\beta)</math>
이므로, <math>K(\alpha,\beta)=K(\alpha+c\beta)</math>이다. [[수학적 귀납법]]에 따라, <math>L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)</math>이라고 하였을 때,
:<math>L=K(\alpha_1+c_2\alpha_2+\cdots+c_n\alpha_n)</math>
인 <math>c_2,\dots,c_n\in K</math>가 존재한다. 즉, <math>L/K</math>는 단순 확대이다.

반대로, <math>L=K(\alpha)</math>가 <math>K</math>의 단순 확대라고 가정하자. <math>L/K</math> 사이의 임의의 체 <math>K\subseteq M\subseteq L</math>에 대하여, <math>p_M\in M[x]</math>가 <math>\alpha</math>의 <math>M</math>-[[최소 다항식]]이라고 하자. 그렇다면, <math>p_M(x)</math>는 <math>p_K(x)</math>의 [[약수]]이므로, 유한 개밖에 없다. 따라서 <math>M\mapsto p_M</math>이 [[단사 함수]]임을 보이면 충분하다. 임의의 다항식 <math>p\in K[x]</math>에 대하여, <math>S_{p}</math>가 <math>p(x)</math>의 계수들의 집합이라고 하자. 그렇다면, <math>p\in K(S_{p})[x]</math>이다. 임의의 체 <math>K\subseteq M\subseteq L</math>에 대하여, <math>p_M(x)</math>는 <math>M</math>-[[기약 다항식]]이며, <math>K(S)\subseteq M</math>이므로, <math>p_M(x)</math>는 <math>K(S_{p_M})</math>-기약 다항식이다. 즉, <math>p_M</math>은 <math>\alpha</math>의 <math>K(S_{p_M})</math>-[[최소 다항식]]이기도 하다. 따라서,
:<math>[L:K(S_{p_M})]=[K(S_{p_M})(\alpha):K(S_{p_M})]=\deg p_M=[M(\alpha):M]=[L:M]</math>
:<math>[K(S_{p_M}):K]=[L:K]/[L:K(S_{p_M})]=[L:K]/[L:M]=[M:K]</math>
이다. <math>M/K</math>는 [[유한 확대]]이며, <math>K(S_{p_M})\subseteq M</math>이므로, <math>M=K(S_{p_M})</math>이다. 만약 <math>K\subseteq M,M'\subseteq L</math>이며 <math>p_M=p_{M'}</math>이라면, <math>M=K(S_{p_M})=K(S_{p_{M'}})=M'</math>이다. 즉, <math>M\mapsto p_M</math>은 단사 함수가 맞다.
{{증명 끝}}

또한, 만약 <math>L/K</math>가 유한 [[분해 가능 확대]]라면, <math>L/K</math>는 항상 단순 확대이다. 조금 더 일반적으로, 만약 <math>L/K</math>가 유한 [[분해 가능 확대]]이며, <math>M/L</math>이 대수적 단순 확대라면, <math>M/K</math>는 단순 확대이다.
{{증명|부제=갈루아 이론을 통한 증명}}
유한 분해 가능 확대가 단순 확대라는 사실은 원시 원소 정리와 [[갈루아 이론]]을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 원시 원소 정리에 따라, <math>L/K</math> 사이의 체의 수가 유한함을 보이면 충분하다. <math>M/L</math>이 <math>L/K</math>의 [[정규 폐포]]라고 하자. 그렇다면, <math>M/K</math>는 [[유한 확대|유한]] [[갈루아 확대]]를 이룬다. <math>L/K</math> 사이의 체들은 <math>M/K</math> 사이의 체들이며, <math>M/K</math> 사이의 체들은 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(M/K)</math>의 [[부분군]]과 [[일대일 대응]]하며,
:<math>|{\operatorname{Gal}(M/K)}|=[M:K]<\aleph_0</math>
이므로, <math>L/K</math> 사이의 체들의 수는 유한하다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=직접적 증명}}
유한 분해 가능 확대의 대수적 단순 확대가 단순 확대라는 사실은 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약 <math>K</math>가 [[유한체]]라면, <math>M</math> 역시 유한체이며, 곱셈군 <math>M^\times</math>은 [[순환군]]이다. 순환군 <math>M^\times</math>의 임의의 생성원은 원시 원소이다.

이제, <math>K</math>가 무한체라고 가정하자. [[수학적 귀납법]]에 따라, 임의의 체 <math>K</math> 및 분해 가능 확대 <math>K(\alpha)/K</math> 및 대수적 확대 <math>K(\alpha,\beta)/K(\alpha)</math>에 대하여, <math>K(\alpha,\beta)/K</math>의 원시 원소를 찾으면 충분하다. 이를 위해, <math>\gamma=c\alpha+\beta</math>가 원시 원소가 아닌 <math>c\in K</math>의 수가 유한함을 보이면 충분하다.
:<math>c\in K</math>
:<math>\gamma=c\alpha+\beta</math>
:<math>K(\gamma)\subsetneq K(\alpha,\beta)</math>
라고 하자. 그렇다면 <math>\alpha\not\in K(\gamma)</math>이다. (만약 <math>\alpha\in K(\gamma)</math>라면, <math>\beta=\gamma-c\alpha\in K(\gamma)</math>이므로 <math>K(\gamma)=K(\alpha,\beta)</math>이다.) 이제, <math>p,q\in K[x]</math>가 <math>\alpha,\beta</math>의 [[최소 다항식]]이라고 하자. 그렇다면, <math>K(\alpha)/K</math>가 분해 가능 확대이므로 <math>p(x)</math>는 중근을 갖지 않는다. 또한, <math>\alpha</math>는 두 다항식
:<math>p(x),q(\gamma-cx)\in K(\gamma)[x]</math>
의 공통의 근이다. 만약 <math>\alpha</math>가 유일한 공통의 근이라면, 두 다항식의 [[최대 공약수]]는 <math>x-\alpha</math>이다. [[유클리드 호제법]]에 따라,
:<math>x-\alpha=u(x)p(x)+v(x)q(\gamma-cx)</math>
인 <math>u,v\in K(\gamma)[x]</math>이 존재하며, 특히 <math>\alpha\in K(\gamma)</math>이다. 이는 모순이다. 즉,
:<math>p(\alpha')=0</math>
:<math>q(\gamma-c\alpha')=0</math>
인 <math>\alpha'\ne\alpha</math>가 (어떤 [[대수적 폐포]] <math>\bar K</math> 속에) 존재한다.
:<math>\gamma-c\alpha'=\beta'</math>
라고 하자. 그렇다면
:<math>c=(\beta'-\beta)/(\alpha-\alpha')</math>
이며, <math>\alpha'</math>은 <math>p</math>의 근이며, <math>\beta'</math>은 <math>q</math>의 근이다. <math>p</math>와 <math>q</math>의 근의 수는 유한하므로, 가정을 만족시키는 <math>c</math>의 수 역시 유한하다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
=== 단순 유한 확대 ===
<math>\mathbb C/\mathbb R</math>는 단순 확대이며, 원시 원소는 <math>i=\sqrt{-1}</math>이다. [[이차 수체]] <math>\mathbb Q(\sqrt d)/\mathbb Q</math> 역시 단순 확대이며, 그 원시 원소는 <math>\sqrt d</math>이다.

<math>\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb Q</math>를 생각하자. 이는, 차수가 4인 [[유한 확대]]이며, 또한 [[체의 표수|표수]]가 0이므로 [[분해 가능 확대]]이다. 따라서, 원시 원소 정리에 따라서 이는 단순 확대이다.

구체적으로, <math>\alpha=\sqrt2+\sqrt3</math>으로 적자. 그렇다면 <math>\{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3\}</math>은 <math>\mathbb Q</math> 위에서 [[선형 독립]]이며, 이를 <math>\{1,\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6\}</math> 기저로 전개할 수 있다. 따라서 <math>\alpha</math>는 원시 원소이다.

=== 단순 무한 확대 ===
체 <math>K</math>의 [[유리 함수체]] <math>K(x)</math>는 단순 확대이지만, 무한 확대이다.

=== 단순하지 않은 유한 확대 ===
<math>\mathbb F_p(x,y)</math>의 확대
:<math>\mathbb F_p(x,y)[X,Y]/(X^p-x,Y^p-y)</math>
를 생각하자. 이는 차수 <math>p^2</math>의 유한 확대이다.

임의의 <math>a\in \mathbb F_p(x,y)[X,Y]/(X^p-x,Y^p-y)</math>에 대하여, <math>a^p\in \mathbb F_p(x,y)</math>이므로, 하나의 원소로 생성되는 확대의 차수는 항상 <math>p</math> 이하이다. 따라서, 이는 단순 확대가 될 수 없다.

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/21/finite-extension-of-fields-with-no-primitive-element|제목=Finite extension of fields with no primitive element|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:체론]]