단순 가군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서 '''단순 가군'''(單純加群, {{llang|en|simple module}})은 그 부분가군이 자신 또는 0밖에 없는 [[가군]]이다. 즉, 0이 아닌 [[원소 (수학)|원소]] 하나만으로 생성되는 부분가군이 항상 전체 가군과 같은 경우다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[오른쪽 가군]] <math>M</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[오른쪽 가군]] <math>M</math>을 '''단순 오른쪽 가군'''({{llang|en|simple right module}})이라고 한다.
* <math>M</math>은 정확히 두 개의 부분 <math>R</math>-가군을 갖는다. (이들은 영가군 <math>\{0\}</math> 및 <math>M</math> 전체이다.)
* <math>M</math>의 [[가군의 길이|길이]]가 1이다.
* <math>M</math>은 영가군이 아니며, 임의의 <math>m\in M\setminus\{0\}</math>에 대하여 [[순환 가군]]({{llang|en|cyclic module}}) <math>(m)=M</math>이다.
* <math>M\cong R/\mathfrak m</math>인 [[극대 오른쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak m\subset R</math>가 존재한다.
[[왼쪽 가군]]에 대해서도 마찬가지 정의를 내릴 수 있다.

== 기약 표현 ==
{{본문|기약 표현}}
[[군 표현]]은 [[체 (수학)|체]]를 계수로 하는 [[군환]]에 대한 [[가군]]이다. 즉, <math>G</math>가 [[군 (수학)|군]]이고, <math>V</math>가 [[체 (수학)|체]] <math>k</math>에 대한 [[벡터 공간]]이라면, 표현 <math>G\to\operatorname{GL}(V)</math>는 [[군환]] <math>k[G]</math>에 대한 [[가군]]과 같다. 이 경우, 가군으로서 단순 가군인 군 표현을 '''기약 표현'''({{lang|en|irreducible representation}})이라고 한다. 즉, 기약표현은 (자신 또는 0차원 표현을 제외한) 부분표현을 가지지 않는 표현이다.

== 예 ==
영가군은 정의에 따라 단순 가군이 아니다.

단순 <math>\mathbb Z</math>-가군은 [[소수 (수론)|소수]] 크기의 [[순환군]] <math>\mathbb Z/(p)</math>이다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=IrreducibleModule|title=Irreducible module}}

== 같이 보기 ==
* [[반단순 가군]]

[[분류:가군론]]