단순환 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''단순환'''(單純環, {{llang|en|simple ring}})은 비자명 [[아이디얼]]을 갖지 않는 비자명 [[환 (수학)|환]]이다. [[군론]]에서의 [[단순군]]([[정규 부분군]]을 갖지 않는 [[군 (수학)|군]])에 대응되는 개념이다.

== 정의 ==
(곱셈 항등원을 갖는) [[환 (수학)|환]] <math>R</math>가 다음 두 성질을 만족시킨다면, <math>R</math>를 '''단순환'''이라고 한다.
* <math>R\ne\{0\}</math>이다. 즉, [[자명환]]이 아니다.
* <math>R</math>의 모든 (양쪽) [[아이디얼]] <math>\mathfrak a\subset R</math>에 대하여, <math>\mathfrak a=\{0\}</math>이거나 <math>\mathfrak a=R</math>이다. 즉, 영 아이디얼을 제외한 진 아이디얼을 갖지 않는다.

단순환 <math>A</math>의 [[환의 중심|중심]] <math>\operatorname Z(A)</math>은 항상 [[체 (수학)|체]]이다. (이는 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>a\ne0</math>이라면 [[주 아이디얼]] <math>(a)=A</math>이므로 <math>a</math>가 [[가역원]]이기 때문이다.) [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]] <math>A</math> 가운데 다음 세 조건을 만족시키는 것을 <math>K</math> 위의 '''중심 단순 대수'''(中心單純代數, {{llang|en|central simple algebra}})라고 한다.
* <math>A</math>는 단순환이다.
* <math>\dim_KA</math>는 유한하다. 즉, <math>K</math> 위의 유한 차원 단위 결합 대수이다.
* <math>\operatorname Z(A)=K</math>이다. 즉, [[환의 중심|중심]]이 정확하게 <math>K</math>이다.
즉, 모든 [[아르틴 환|아르틴]] 단순환은 스스로의 [[환의 중심|중심]] 위의 중심 단순 대수를 이룬다.

== 성질 ==
[[극대 아이디얼]]에 대한 [[몫환]]은 단순환이다. 특히, 모든 [[체 (수학)|체]]나 [[나눗셈환]]은 단순환이다.

어떤 환 <math>R</math>에 대한 [[행렬환]] <math>\operatorname{Mat}(n;R)</math>의 아이디얼은 <math>R</math>의 아이디얼과 [[일대일 대응]]하므로, 단순환에 대한 행렬환은 단순환이며, 비단순환에 대한 행렬환은 비단순환이다.

=== 스콜렘-뇌터 정리 ===
체 <math>K</math> 위의 단순 대수 <math>A</math>와 중심 단순 대수 <math>B</math>가 주어졌다고 하자. '''스콜렘-뇌터 정리'''({{llang|en|Skolem–Noether theorem}})에 따르면, 임의의 두 <math>K</math>-[[단위 결합 대수]] [[준동형]]
:<math>f,g\colon A\to B</math>
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[가역원]] <math>b\in\operatorname{Unit}(B)</math>이 존재한다.
:<math>g(a)=bf(a)b^{-1}\qquad\forall a\in A</math>
특히, 중심 단순 대수의 모든 [[자기 동형]]은 내부 자기 동형 <math>a\mapsto bab^{-1}</math>이다.

== 분류 ==
단순환에 대하여 [[왼쪽 아르틴 환]] 및 [[오른쪽 아르틴 환]] 조건이 서로 [[동치]]이다. '''[[아르틴-웨더번 정리]]'''({{llang|en|Artin–Wedderburn theorem}})에 따르면, [[왼쪽 아르틴 환]] 또는 [[오른쪽 아르틴 환]]인 단순환 <math>R</math>는 [[나눗셈환]] 위의 행렬환과 동형이다.<ref name="FD">{{서적 인용|제목=Noncommutative algebra|이름=Benson|성=Farb|이름2=R. Keith|성2=Dennis|출판사=Springer-Verlag|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=144|날짜=1993|doi=10.1007/978-1-4612-0889-1|isbn=978-1-4612-6936-6|언어=en}}</ref>{{rp|154, Theorem 5.3}}
:<math>R\cong\operatorname{Mat}(n;D)</math>
여기서 <math>D</math>는 [[나눗셈환]]이며, <math>\operatorname{Mat}(n,D)</math>는 환 <math>D</math>에 대한 <math>n\times n</math> [[행렬환]]이다. 또한, 이러한 표현은 유일하다. 즉, <math>D</math>와 <math>n</math>은 유일하게 결정된다.
구체적으로, <math>R</math>가 [[왼쪽 아르틴 환]]이라고 하자. <math>R</math>는 단순환이므로 [[충실한 가군|충실한]] [[단순 가군|단순]] [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>을 갖는다. [[슈어 보조정리]]에 의하여 <math>D=\operatorname{End}(_RM)</math>은 [[나눗셈환]]이며, [[왼쪽 아르틴 환]] 조건에 의하여 <math>_DM</math>는 항상 유한 차원 [[자유 가군]]이며, [[제이컵슨 조밀성 정리]]에 의하여 <math>R\cong\operatorname{End}(_DM)</math>이다. 즉, <math>n=\dim_DM</math>으로 놓으면, <math>R\cong\operatorname{Mat}(n;D)</math>이며, 또한 <math>_RR\cong {}_RM^{\oplus n}</math>이다.

만약 <math>R</math>가 [[오른쪽 아르틴 환]]인 경우에도 마찬가지 구성을 사용할 수 있다.

따라서, 아르틴 단순환의 분류는 그 중심체 위의 유한 차원 [[나눗셈환]]의 분류로 귀결된다. 이는 체 <math>K</math>의 [[브라우어 군]]으로 결정된다.

== 예 ==
모든 [[체 (수학)|체]]와 모든 [[나눗셈환]]은 단순환이다.

[[바일 대수]] <math>K\langle x,p\rangle/(xp-px-1)</math>는 단순환이다. 그러나 이는 [[왼쪽 아르틴 환]]이나 [[오른쪽 아르틴 환]]이 아니며, 따라서 [[아르틴-웨더번 정리]]에 해당하지 않는다.

[[자명환]]은 정의에 따라 단순환이 아니다.

== 역사 ==
1927년에 [[토랄프 스콜렘]]은 스콜렘-뇌터 정리를 발표하였으며,<ref>{{저널 인용| jfm=54.0154.02| journal=Skrifter Oslo | year=1927 | number=12 | pages=50 | first=Thoralf | last= Skolem | authorlink=토랄프 스콜렘 | title=Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme |언어=de}}</ref> 1933년에 [[에미 뇌터]]가 독자적으로 재발견하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie|이름=Emmy|성=Noether|저자링크=에미 뇌터|doi=10.1007/BF01187794|저널=Mathematische Zeitschrift|권=30|호=1|쪽=641–692|issn=    0025-5874|언어=de}}</ref><ref>{{서적 인용|장url=https://www.fme.upc.edu/ca/arxius/butlleti-digital/noether/VolNoether-Bayer.pdf|장=Emmy Noether: de l’àlgebra no commutativa a la theoria de nombres|이름=Pilar|성=Bayer|쪽=169–203|출판사=[[카탈루냐 공과대학교]]|제목=Acte Inaugural Curs Noether: The Emmy Noether Heritatge|날짜=2009|언어=ca}}</ref>{{rp|189, §5}}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|이름=D. W.|성=Henderson|제목=A short proof of Wedderburn’s theorem|저널=American Mathematical Monthly|권=72|호=4|날짜=1965|쪽=385-386|doi=10.2307/2313499|jstor=2313499|언어=en}}
* {{저널 인용|url=http://www.thebookshelf.auckland.ac.nz/docs/NZJMaths/nzjmaths022/nzjmaths022-01-010.pdf|제목=A short proof of the Wedderburn-Artin theorem|이름=W. Keith|성=Nicholson|저널=New Zealand Journal of Mathematics|권=22|날짜=1993|쪽=83–86|언어=en|access-date=2014-08-09|archive-date=2014-08-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20140812162813/http://www.thebookshelf.auckland.ac.nz/docs/NZJMaths/nzjmaths022/nzjmaths022-01-010.pdf|url-status=}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Simple ring}}
* {{eom|title=Brauer group}}
* {{매스월드|id=SimpleRing|title=Simple ring}}
* {{nlab|id=Brauer group}}

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]