단순군 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''단순군'''(單純群, {{llang|en|simple group}})은 [[정규 부분군]]이 [[자명군]]과 자기 자신밖에 없는 [[군 (수학)|군]]이다. 즉, 정규 부분군과 [[몫군]]으로 더 작게 분해할 수 없는 군이다. [[유한군|유한]] 단순군의 분류는 군론의 아주 중요한 문제이다. 유한군은 유한 단순군의 조합으로 분해할 수 있으며, [[조르당-횔더 정리]]에 따르면 그 조합은 순서를 무시하면 유일하다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>이 다음 조건을 만족시키면, '''단순군'''이라고 한다.
* 만약 <math>N\triangleleft G</math>라면, <math>N=1</math>이거나 <math>N=G</math>이다.

== 성질 ==
[[아벨 군|아벨]] 단순군 · [[순환군|순환]] 단순군 · 소수 크기의 군은 서로 [[동치]]이다.

== 예제 ==
예를 들어, [[순환군]] G = '''Z'''/3'''Z'''는 단순군이다. 만약 H가 G의 부분군이라면, 그 차수(원소의 수)는 G의 차수인 3의 [[약수]]여야 한다. 그러나 3은 [[소수 (수론)|소수]]이므로 H의 차수는 1 또는 3이고, 따라서 H는 G 전체이거나 자명군일 수밖에 없기 때문이다. 그 반면, G' = '''Z'''/12'''Z'''는 단순군이 아니다. H' = {12'''Z''', 4+12'''Z''', 8+12'''Z'''}로 놓으면 이는 차수 3의 정규부분군이 되기 때문이다. ([[아벨 군]]의 임의의 부분군은 정규부분군임을 인식할 것.) 마찬가지로, [[정수]] 전체의 덧셈군 '''Z'''는 단순군이 아니다. 짝수들의 집합이 자명하지 않은 정규 진부분군이 되기 때문이다.

== 유한단순군의 분류 ==
{{본문|유한단순군의 목록}}

[[유한단순군]]의 분류는 수학에서 아주 중요한 문제였고, [[1981년]]에 [[다니엘 고렌스틴]]에 의해 해결되었다고 선언되었으나, 증명 과정에서 일부 문제가 발견되어, 이후 [[2004년]]에 [[마이클 아시바커]]와 [[스티븐 스미스]]가 쓴 Quasithin case에 대한 논문이 출간됨으로 해서 완결되었다.

유한단순군은 18가지 종류로 분류되며, 이들 분류에 속하지 않는 [[산재군]]이 26개 존재한다. 분류는 대략적으로 다음과 같다.
* [[소수 (수론)|소수]] 차수를 가지는 [[순환군]](<math>Z/pZ</math>)
* <math>n \ge 5</math>인 [[교대군]](<math>A_n</math>)
* 16가지의 리 형태(Lie type) 군
* 26개의 [[산재군]]

== 같이 보기 ==
* [[특성 단순군]]
* [[유한단순군의 목록]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Simple group}}
* {{매스월드|id=SimpleGroup|title=Simple group}}

{{전거 통제}}

[[분류:군론]]