단사 사상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|단사 함수|일반적인 범주에서의 단사 사상|집합 사이의 단사 사상}}
[[범주론]]에서 '''단사 사상'''(單射寫像, {{llang|en|monomorphism}})은 두 [[사상 (수학)|사상]]의 [[등식]]에서 왼쪽에 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 사상이다. [[전사 사상]]의 반대 개념이다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''단사 사상'''이라고 한다.
* 임의의 대상 <math>Z</math> 및 사상 <math>g_1,g_2\colon Z\to X</math>에 대하여, 만약 <math>f\circ g_1=f\circ g_2</math>라면 <math>g_1=g_2</math>이다.
*:<math>Z\overset{g_1}{\underset{g_2}{{}\rightrightarrows{}}}X\xrightarrow fY</math>

=== 정규 단사 사상 ===
{{본문|핵 (수학)}}
[[영 사상을 갖는 범주]] <math>\mathcal C</math>에서, 어떤 사상 <math>f\colon X\to Y</math>의 [[핵 (수학)|핵]] <math>\ker f\colon K\to X</math>으로 나타내어질 수 있는 사상을 '''정규 단사 사상'''이라고 한다. 정규 단사 사상은 항상 단사 사상이다. 이 개념은 [[군론]]에서의 [[정규 부분군]]의 개념의 일반화이다.

=== 강한 단사 사상 ===
범주 <math>\mathcal C</math>에서, '''강한 단사 사상'''(強-單射寫像, {{llang|en|strong monomorphism}})은 모든 [[전사 사상]]에 대하여 [[분해계|오른쪽 유일 올림 성질]]을 만족시키는 단사 사상이다. 즉, 단사 사상 <math>i\colon A\to B</math>가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 단사 사상이라고 한다.
:임의의 가환 사각형
::<math>\begin{matrix}X&\xrightarrow\pi &Y\\
\downarrow & &\downarrow\\
A&\xrightarrow[i]{}&B
\end{matrix}</math>
:에서 <math>\pi</math>가 [[전사 사상]]이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상 <math>Y\to A</math>가 존재한다.
::<math>\begin{matrix}X&\xrightarrow\pi &Y\\
\downarrow &{\scriptstyle\exists!}\swarrow &\downarrow\\
A&\xrightarrow[i]{}&B
\end{matrix}</math>

=== 극단 단사 사상 ===
범주 <math>\mathcal C</math>의 단사 사상 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''극단 단사 사상'''(極端單射寫像, {{llang|en|extremal monomorphism}})이라고 한다.
* 임의의 대상 <math>Z</math> 및 [[전사 사상]] <math>g\colon X\to Z</math> 및 사상 <math>h\colon Z\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>f=h\circ g</math>라면 <math>g</math>는 [[동형 사상]]이다.
*:<math>
\begin{matrix}
X\\
{\scriptstyle g}\downarrow&\searrow\scriptstyle f\\
Z&\xrightarrow[h]{}&Y
\end{matrix}
</math>

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[동형 사상]] ⊆ [[유효 단사 사상]] ⊆ [[정칙 단사 사상]] ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상
:[[동형 사상]] ⊆ [[분할 단사 사상]] ⊆ [[정칙 단사 사상]] ⊆ 강한 단사 사상 ⊆ 극단 단사 사상 ⊆ 단사 사상
:[[동형 사상]] = 단사 사상 ∩ [[극단 전사 사상]] = [[전사 사상]] ∩ 극단 단사 사상
[[분할 단사 사상]]이 [[정칙 단사 사상]]인 이유는 [[분할 단사 사상]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 그 [[왼쪽 역사상]] <math>r\colon Y\to X</math>이 주어졌을 때 <math>f=\operatorname{eq}\{f\circ r,\operatorname{id}_Y\}</math>이기 때문이다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
단사 사상의 [[함수의 합성|합성]]은 단사 사상이다. 극단 단사 사상의 합성은 극단 단사 사상일 필요가 없다. 예를 들어, 다음과 같은 그림으로 나타낸 범주를 생각하자.
:<math>
\begin{matrix}
A & \xrightarrow f & B & \overset g\rightrightarrows & C & \rightrightarrows & D \\
 & \searrow & & \nearrow \\
 & & E
\end{matrix}
</math>
이 범주에서 <math>f</math>와 <math>g</math>는 극단 단사 사상이지만, <math>g\circ f</math>는 극단 단사 사상이 아니다.

단사 사상은 [[당김 (범주론)|당김]]의 특수한 경우이므로, 당김을 보존하는 [[함자 (수학)|함자]]에 대한 [[상 (수학)|상]]에 의하여 보존된다. 단사 사상은 [[충실한 함자]]에 대한 [[원상 (수학)|원상]]에 의하여 보존된다.

=== 요네다 매장 ===
[[요네다 매장]]을 통하여, 단사 사상의 조건을 [[준층]] 범주에서 해석할 수 있다. 즉, [[작은 범주|국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 단사 사상이다.
* 임의의 대상 <math>Z</math>에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 <math>(f\circ)\colon\hom_{\mathcal C}(Z,X)\to\hom_{\mathcal C}(Z,Y)</math>는 [[단사 함수]]이다.
* [[준층]] [[토포스]] <math>\operatorname{PSh}(\mathcal C)</math>로 가는 [[요네다 매장]] 함자 <math>\hom_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\operatorname{PSh}(\mathcal C)</math>아래서, <math>f</math>의 상 <math>(f\circ)\colon\hom_{\mathcal C}(-,X)\to \hom_{\mathcal C}(-,Y)</math>은 준층 토포스에서의 단사 사상이다.

=== 반대 범주 ===
범주 <math>\mathcal C</math>의 단사 사상은 그 반대 범주 <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>의 [[전사 사상]]이다.

== 예 ==
[[구체적 범주]] <math>\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>에서, [[함수]]로서 [[단사 함수]]인 사상은 단사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 만약 [[자유 대상]]이 존재한다면, 즉 망각 함자 <math>\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>의 [[왼쪽 수반 함자]] <math>\operatorname{Set}\to\mathcal C</math>가 존재한다면, 그 역 또한 성립한다. 특히, [[대수 구조 다양체]]의 범주의 경우, 항상 자유 [[대수 구조]]가 존재하므로 모든 단사 사상은 [[단사 함수]]이다.

여러 [[구체적 범주]]에서, 단사 사상들은 [[단사 함수]]인 준동형이다.
* [[군 (수학)|군]]의 범주에서, 단사 사상은 단사 함수인 [[군 준동형]]이다.
* [[환 (수학)|환]]의 범주 <math>\operatorname{Ring}</math>에서, 단사 사상은 [[단사 함수]]인 [[환 준동형]]이다.

그러나 이는 항상 성립하지 않는다.
* [[나눗셈군]]과 [[군 준동형]]의 범주에서, [[몫군]] 사상 <math>\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z</math>는 단사 함수가 아니지만 단사 사상이다.

[[체 (수학)|체]]의 범주에서는 모든 사상([[체의 확대]])이 단사 사상이다.

=== 집합의 범주 ===
[[집합]]과 [[함수]]의 [[토포스]]에서는 다음이 성립한다.
* 단사 사상은 [[단사 함수]]이다.
* 단사 사상 · [[정칙 단사 사상]] · [[유효 단사 사상]]의 개념이 일치한다.
(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

=== 군의 범주 ===
[[군 (수학)|군]]과 [[군 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>에서는 다음이 성립한다.
* 단사 사상은 [[단사 함수]]인 [[군 준동형]]이다.
* 정규 단사 사상은 [[정규 부분군]]의 포함 준동형이다.
* 단사 사상 · [[정칙 단사 사상]] · [[유효 단사 사상]]의 개념이 일치한다.

=== 벡터 공간의 범주 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]]과 [[선형 변환]]의 [[아벨 범주]] <math>\operatorname{Vect}_K</math>에서는 다음이 성립한다.
* 단사 사상은 [[단사 함수]]인 [[선형 변환]]이다.
* 단사 사상 · 정규 단사 사상 · [[정칙 단사 사상]] · [[유효 단사 사상]]의 개념이 일치한다.

=== 위상 공간의 범주 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>에서는 다음이 성립한다.
* 단사 사상은 [[단사 함수]]인 [[연속 함수]]이다.
* [[정칙 단사 사상]]은 위상 공간의 [[매장 (수학)|매장]]이다. 즉, [[정의역]]과 [[치역]] 사이의 [[위상 동형]]을 정의하는 단사 [[연속 함수]]이다. 모든 [[유효 단사 사상]]은 [[정칙 단사 사상]]이다.
(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

== 같이 보기 ==
* [[매장 (수학)]]
* [[부분 대상과 몫 대상]]
== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Monomorphism}}
* {{eom|title=Normal monomorphism}}
* {{nlab|id=monomorphism|title=Monomorphism}}
* {{nlab|id=normal monomorphism|title=Normal monomorphism}}
* {{nlab|id=strong monomorphism|title=Strong monomorphism}}
* {{nlab|id=extremal monomorphism|title=Extremal monomorphism}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/93603/why-the-underlying-function-of-a-monomorphism-may-not-be-an-injection|제목=Why the underlying function of a monomorphism may not be an injection|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2015-02-20|보존url=https://web.archive.org/web/20150220060630/http://mathoverflow.net/questions/93603/why-the-underlying-function-of-a-monomorphism-may-not-be-an-injection|보존날짜=2015-02-20|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2012/09/29/monomorphisms-and-epimorphisms/|제목=Monomorphisms and epimorphisms|이름=Qiaochu|성=Yuan|날짜=2012-09-29|웹사이트=Annoying Precision|언어=en|확인날짜=2016-01-04|보존url=https://web.archive.org/web/20150923191536/https://qchu.wordpress.com/2012/09/29/monomorphisms-and-epimorphisms/|보존날짜=2015-09-23|url-status=dead}}

[[분류:범주론]]