단사 대상 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''단사 대상'''(單射對象, {{llang|en|injective object}})은 이 대상을 [[공역]]으로 삼는 [[사상 (수학)|사상]]의 [[정의역]]을 임의로 확장할 수 있는 대상이다. [[단사 가군]]의 개념을 일반화한 개념이다. 마찬가지로, 이에 대한 쌍대 개념인 '''사영 대상'''(射影對象, {{llang|en|projective object}})은 이 대상을 [[정의역]]으로 삼는 [[사상 (수학)|사상]]의 [[공역]]을 임의로 확장할 수 있는 대상이다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 '''단사 대상'''은 다음 성질을 만족하는 대상 <math>Q\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>이다.
* 모든 [[사상 (범주론)|사상]] <math>f\colon A\to Q</math>와 [[단사 사상]] <math>h\colon A\hookrightarrow B</math>에 대하여, <math>g\circ h=f</math>인 사상 <math>g\colon B\to Q</math>가 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
A&\overset{\forall h}\hookrightarrow&B\\
{\scriptstyle\forall f}\downarrow&\swarrow\scriptstyle\exists g\\
Q\end{matrix}</math>
만약 <math>\mathcal C</math>가 [[끝 대상]] <math>1\in\mathcal C</math>을 가진다면, '''단사 대상''' <math>Q</math>는 유일한 사상 <math>Q\to1</math>이 모든 [[단사 사상]]에 대하여 [[오른쪽 올림 성질]]을 만족시키는 대상이다.

마찬가지로, [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 '''사영 대상'''은 다음 성질을 만족하는 대상 <math>P\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>이다.
* 모든 [[사상 (범주론)|사상]] <math>f\colon P\to B</math>와 [[전사 사상]] <math>h\colon A\twoheadrightarrow B</math>에 대하여, <math>h\circ g=f</math>인 사상 <math>g\colon P\to A</math>가 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
&&P\\
&{\scriptstyle\exists g}\swarrow&\downarrow\scriptstyle\forall f\\
A&\underset{\forall h}\twoheadrightarrow&B
\end{matrix}</math>
만약 <math>\mathcal C</math>가 [[시작 대상]] <math>0\in\mathcal C</math>을 가진다면, '''사영 대상''' <math>P</math>는 유일한 사상 <math>0\to P</math>이 모든 [[전사 사상]]에 대하여 [[왼쪽 올림 성질]]을 만족시키는 대상이다.

만약 <math>\mathcal C</math> 속의 임의의 대상 <math>X</math>에 대하여, <math>X</math>에서 어떤 단사 대상으로 가는 [[단사 사상]]이 존재한다면, <math>\mathcal C</math>를 '''단사 대상을 충분히 가지는 범주'''(單射對象을 充分히 가지는 範疇, {{llang|en|category with enough injective objects}})라고 한다.
마찬가지로, 만약 <math>\mathcal C</math> 속의 임의의 대상 <math>X</math>에 대하여, 어떤 [[사영 대상]]에서 <math>X</math>로 가는 [[전사 사상]]이 존재한다면, <math>\mathcal C</math>를 '''사영 대상을 충분히 가지는 범주'''(射影對象을 充分히 가지는 範疇, {{llang|en|category with enough projective objects}})라고 한다.

보다 일반적으로, [[단사 사상]] 또는 [[전사 사상]] 대신 다른 종류의 사상 <math>H</math>로 유사한 개념을 정의할 수 있다. 이 경우를 <math>H</math>-단사 대상({{lang|en|''H''-injective object}}) 및 <math>H</math>-사영 대상({{llang|en|<math>H</math>-projective object}})이라고 한다.

=== 단사 껍질 ===
{{본문|덮개 (대수학)}}
단사 대상을 충분히 가지는 범주 <math>\mathcal C</math>에서, 대상 <math>X</math>의 '''[[단사 껍질]]'''({{llang|en|injective hull/envelope}}) <math>(\iota,Q)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>Q</math>는 단사 대상이다.
* <math>\iota\colon X\to Q</math>는 [[본질적 단사 사상]]이다.

마찬가지로, 사영 대상을 충분히 가지는 <math>\mathcal C</math>에서, 대상 <math>X</math>의 '''[[사영 덮개]]''' <math>(P,\pi)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>P</math>는 사영 대상이다.
* <math>\pi\colon P\to X</math>는 [[잉여적 전사 사상]]이다.

== 성질 ==
[[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 대상 <math>Q</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>Q</math>는 단사 대상이다.
* [[표현 가능 함자]] <math>\hom_{\mathcal C}(-,Q)\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>는 [[전사 사상]]을 보존한다. 즉, <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>의 [[전사 사상]] (=<math>\mathcal C</math>의 [[단사 사상]])은 사상 집합의 [[전사 함수]]를 유도한다.

[[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 대상 <math>P</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>P</math>는 사영 대상이다.
* [[표현 가능 함자]] <math>\hom_{\mathcal C}(P,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>는 [[전사 사상]]을 보존한다. 즉, <math>\mathcal C</math>의 [[전사 사상]]은 사상 집합의 [[전사 함수]]를 유도한다.

=== 아벨 범주의 경우 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 대상 <math>Q</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>Q</math>는 단사 대상이다.
* 함자 <math>\hom_{\mathcal A}(-,Q)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}</math>는 [[완전 함자]]이다.
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 대상 <math>P</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>P</math>는 사영 대상이다.
* 함자 <math>\hom_{\mathcal A}(P,-)\colon\mathcal A\to\operatorname{Ab}</math>는 [[완전 함자]]이다.

아벨 범주 <math>\mathcal A</math> 속의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to A\to B\to C\to0</math>
이 주어졌다고 하자.
* 만약 <math>A</math>가 단사 대상이라면,
** 이 [[짧은 완전열]]은 [[분할 완전열]]이다.
** <math>B</math>와 <math>C</math> 둘 다 단사 대상이거나 둘 다 단사 대상이 아니다. (이는 <math>B\cong A\oplus C</math>이기 때문이다.)
* 만약 <math>C</math>가 사영 대상이라면,
** 이 [[짧은 완전열]]은 [[분할 완전열]]이다.
** <math>A</math>와 <math>B</math> 둘 다 사영 대상이거나 둘 다 사영 대상이 아니다. (이는 <math>B\cong A\oplus C</math>이기 때문이다.)

=== 분할의 충분 조건 ===
임의의 범주에서, [[정의역]]이 단사 대상인 [[단사 사상]]은 [[분할 단사 사상]]이다. 마찬가지로, 임의의 범주에서, [[공역]]이 사영 대상인 [[전사 사상]]은 [[분할 전사 사상]]이다. 다시 말해, 어떤 대상의 [[부분 대상]]이 단사 대상이라면 이는 항상 분할 부분 대상이며, 어떤 대상의 [[몫 대상]]이 사영 대상이라면 이는 항상 분할 몫 대상이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
단사 대상 <math>Q\in\mathcal C</math> 및 [[단사 사상]] <math>f\colon Q\hookrightarrow X</math>에 대하여, 다음과 같은 가환 그림을 생각하자.
:<math>\begin{matrix}
&Q\\
{\scriptstyle\operatorname{id}}\!\!\!&\uparrow&\nwarrow&\!\!\!\!\!\!^\exists\\
&Q&\underset f\hookrightarrow&X
\end{matrix}</math>
단사 대상의 정의에 의하여 <math>f</math>의 왼쪽 역사상 <math>g\colon X\to Q</math>이 존재하며, 따라서 <math>f</math>는 [[분할 단사 사상]]이다.

사영 대상의 경우도 마찬가지로 증명된다.
</div></div>

=== 연산에 대한 닫힘 ===
단사 대상의 분할 부분 대상(=분할 몫 대상)은 단사 대상이다. 마찬가지로, 사영 대상의 분할 부분 대상(=분할 몫 대상)은 사영 대상이다.
{{증명}}
단사 대상 <math>Q_1\in\mathcal C</math> 및 분할 부분 대상
:<math>i\colon Q_2\to Q_1</math>
:<math>r\colon Q_1\to Q_2</math>
:<math>r\circ i=\operatorname{id}_{Q_2}</math>
이 주어졌다고 하자. 임의의 사상 <math>f\colon X\to Q_2</math> 및 [[단사 사상]] <math>g\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 가환 그림을 생각하자.
:<math>\begin{matrix}
Q_2\\
{\scriptstyle\operatorname{id}}\uparrow&\nwarrow{\scriptstyle r}\\
Q_2&\underset i\rightarrow&Q_1\\
{\scriptstyle f}\uparrow&&\uparrow{\scriptstyle h}\\
X&\underset g\hookrightarrow&Y
\end{matrix}</math>
<math>Q_1</math>이 단사 대상이므로, <math>h\circ g=i\circ f</math>인 사상 <math>h\colon Y\to Q_1</math>이 존재한다. 이 경우, 사상 <math>r\circ h\colon Y\to Q_2</math>는
:<math>(r\circ h)\circ g=r\circ(h\circ g)=r\circ(i\circ f)=(r\circ i)\circ f=f</math>
를 만족시킨다. 따라서, <math>Q_2</math>는 단사 대상이다.

사영 대상의 경우의 증명은 유사하다.
{{증명 끝}}

단사 대상들의 [[곱 (범주론)|곱]]은 단사 대상이다. 마찬가지로, 사영 대상들의 [[쌍대곱]]은 사영 대상이다.

=== 섀뉴얼 보조정리 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>에서 대상 <math>A_0=A'_0</math> 및 두 [[완전열]]
:<math>0\to A_n\to\cdots\to A_1\to A_0\to0</math>
:<math>0\to A'_n\to\cdots\to A'_1\to A'_0\to0</math>
이 주어졌으며, 다음이 성립한다고 하자.
* <math>A_1,\dots,A_{n-1}</math>은 사영 대상이다.
* <math>A'_1,\dots,A'_{n-1}</math> 역시 사영 대상이다.
그렇다면, '''섀뉴얼 보조정리'''({{llang|en|Schanuel’s lemma}})에 따르면 다음이 성립한다.
* 만약 <math>n</math>이 [[짝수]]라면,
*:<math>A_n\oplus A'_{n-1}\oplus A_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_1\cong A'_n\oplus A_{n-1}\oplus A'_{n-2}\oplus\cdots\oplus A'_2\oplus A_1</math>
* 만약 <math>n</math>이 [[홀수]]라면,
*:<math>A_n\oplus A'_{n-1}\oplus A_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_1'\cong A'_n\oplus A_{n-1}\oplus A'_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_2\oplus A'_1</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[수학적 귀납법]]을 사용한다. 우선, <math>n\le1</math>인 경우는 자명하다.

'''<math>n=2</math>일 경우:'''
:<math>0\to A_2\to A_1\xrightarrow\pi A_0\to0</math>
:<math>0\to A_2'\to A_1'\xrightarrow{\pi'}A'_0\to0</math>
에서, 다음과 같은 [[동등자]]를 정의하자.
:<math>X=\{(a_1,a_1')\in A_1\oplus A_1'\colon \pi(a_1)=\pi'(a_1')\}</math>
즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.
:<math>\begin{matrix}
&&&&0&&0\\
&&&&\downarrow&&\downarrow\\
&&&&\ker\phi&=&A'_2\\
&&&&\downarrow&&\downarrow\\
0&\to&\ker\phi'&\to&X&\overset{\phi'}\to&A'_1&\to&0\\
&&\|&&{\scriptstyle\phi}{\downarrow}{\color{White}\scriptstyle\phi}&&{\color{White}\scriptstyle\pi'}{\downarrow}{\scriptstyle\pi'}\\
0&\to&A_2&\to&A_1&\underset\pi\to&A_0&\to&0\\
&&&&\downarrow&&\downarrow\\
&&&&0&&0
\end{matrix}</math>
(특히, <math>X</math>의 정의에 따라
:<math>\ker\phi=\ker\pi'=A_2'</math>
:<math>\ker\phi'=\ker\pi=A_2</math>
이다.)
위 그림에서, [[전사 사상]]
:<math>\phi'\colon X\to A_1</math>
:<math>\phi'\colon X\to A_1'</math>
은 [[사영 대상]]을 [[공역]]으로 하므로 [[분할 전사 사상]]이며, 따라서 다음이 성립한다.
:<math>A_1\oplus A'_2=A_1\oplus\ker\phi\cong X\cong A'_1\oplus\ker\phi'=A'_1\oplus A_2</math>

'''<math>n>2</math>인 경우:''' <math>n'<n</math>에 대하여 섀뉴얼 보조정리가 성립한다고 가정하자. 그렇다면,
:<math>0\to A_n\xrightarrow\iota A_{n-1}\to\cdots\to A_0\to0</math>
:<math>0\to A'_n\xrightarrow{\iota'}A'_{n-1}\to\cdots\to A'_0\to0</math>
를 다음과 같이 더 짧은 길이의 [[완전열]]들로 분해하자.
:<math>0\to A_n\xrightarrow\iota A_{n-1}\to\operatorname{coker}\iota\to0</math>
:<math>0\to A'_n\xrightarrow{\iota'}A'_{n-1}\to\operatorname{coker}\iota'\to0</math>
:<math>0\to\operatorname{coker}\iota\to A_{n-2}\to\cdots\to A_0\to0</math>
:<math>0\to\operatorname{coker}\iota'\to A'_{n-2}\to\cdots\to A'_0\to0</math>
그렇다면, 만약
:<math>B'=A'_{n-2}\oplus A_{n-3}\oplus A'_{n-4}\oplus\cdots\oplus\begin{cases}
A_1&2\mid n\\
A'_1&2\nmid n
\end{cases}</math>
:<math>B=A_{n-2}\oplus A'_{n-3}\oplus A_{n-4}\oplus\cdots\oplus\begin{cases}
A'_1&2\mid n\\
A_1&2\nmid n
\end{cases}</math>
를 정의한다면, 귀납 가정에 의하여
:<math>\operatorname{coker}\iota\oplus B'\cong\operatorname{coker}\iota'\oplus B</math>
이며, 따라서 다음과 같은 두 [[짧은 완전열]]들을 얻는다.
:<math>0\to A_n\to A_{n-1}\oplus B'\to\operatorname{coker}\iota\oplus B'\to0</math>
:<math>0\to A'_n\to A'_{n-1}\oplus B\to\operatorname{coker}\iota'\oplus B\to0</math>
[[사영 대상]]들의 [[직합]]은 [[사영 대상]]이므로, 따라서 귀납 가정에 의하여
:<math>A_n\oplus B'\cong A'_n\oplus B</math>
이다.
</div></div>
마찬가지로, 대상 <math>A_0=A'_0</math> 및 두 [[완전열]]
:<math>0\leftarrow A_n\leftarrow\cdots\leftarrow A_1\leftarrow A_0\leftarrow0</math>
:<math>0\leftarrow A'_n\leftarrow\cdots\leftarrow A'_1\leftarrow A'_0\leftarrow0</math>
이 주어졌을 때, 만약 <math>A_1,A_2,\dots,A_{n-1}</math> 및 <math>A'_1,A'_2,\dots,A'_{n-1}</math>이 단사 대상이라면, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>n</math>이 짝수라면,
*:<math>A_n\oplus A'_{n-1}\oplus A_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_1\cong A'_n\oplus A_{n-1}\oplus A'_{n-2}\oplus\cdots\oplus A'_2\oplus A_1</math>
* 만약 <math>n</math>이 홀수라면,
*:<math>A_n\oplus A'_{n-1}\oplus A_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_1'\cong A'_n\oplus A_{n-1}\oplus A'_{n-2}\oplus\cdots\oplus A_2\oplus A'_1</math>

== 예 ==
일부 범주에서 단사 대상 및 사영 대상들은 다음과 같다. (이 가운데 일부는 [[선택 공리]]를 필요로 한다.)
{| class=wikitable
! 범주 !! 아벨 범주? || 단사 대상을 충분히 가짐? !! 단사 대상 !! 사영 대상을 충분히 가짐? !! 사영 대상
|-
!  [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>
|| 예 || 예 || [[나눗셈군]] || 예 || [[자유 아벨 군]]
|-
! [[유한군|유한]] [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{finAb}</math>
|| 예 || 아니오 || [[자명군]]<ref name="Aluffi">{{서적 인용|제목=Algebra: Chapter 0|이름=Paolo|성=Aluffi|출판사=American Mathematical Society|url=http://bookstore.ams.org/GSM-104|isbn=978-0-8218-4781-7|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=104|언어=en|확인날짜=2016-01-31|보존url=https://web.archive.org/web/20160123054019/http://bookstore.ams.org/GSM-104|보존날짜=2016-01-23|url-status=dead}}</ref>{{rp|620, Example IX.5.6}} || 아니오 || [[자명군]]<ref name="Aluffi"/>{{rp|620, Example IX.5.6}}
|-
! [[유한 생성 아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{fgAb}</math>
|| 예 || 아니오 || [[자명군]]<ref>{{서적 인용|제목=A Course in homological algebra|이름=Peter J.|성=Hilton|이름2=Urs|성2=Stammbach|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=4|날짜=1997|doi=10.1007/978-1-4419-8566-8|출판사=Springer|isbn=978-0-387-94823-2|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|Exercise 8.1}}<ref name="Aluffi"/>{{rp|620}} || 예 || [[유한 생성 아벨 군|유한 생성]] [[자유 아벨 군]]
|-
! [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대한 [[왼쪽 가군]]들의 범주 <math>R\text{-Mod}</math>
|| 예 || 예 || [[단사 가군]] || 예 || [[사영 가군]]
|-
! [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대한 [[왼쪽 가군|왼쪽]] [[유한 생성 가군]]들의 범주 <math>R\text{-fgMod}</math>
|| 예 || 아닐 수 있음 || [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[단사 가군]] || 예 || [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[사영 가군]]
|-
! 체 <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Vect}_K</math>
| 예 || 예 || 모든 [[벡터 공간]] || 예 || 모든 [[벡터 공간]]
|-
! [[작은 범주|작은]] [[위치 (수학)|위치]] <math>X</math> 위의 [[아벨 군]] 값을 갖는 층의 범주 <math>\operatorname{Sh}(X,\operatorname{Ab})</math>
| 예 || 예 || [[단사층]] || 아닐 수 있음 || (이름이 없음)
|-
! [[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 [[가군층]]의 범주 <math>\mathcal O_X\text{-Mod}</math>
| 예 || 예 || 단사 [[가군층]] || 아닐 수 있음 || (이름이 없음)
|-
! [[대수다양체]] <math>X</math> 위의 [[준연접층]]의 범주 <math>\operatorname{QCoh}(V)</math>
| 예 || 예 || 단사 가군층인 [[준연접층]] || 아닐 수 있음 || (이름이 없음)
|-
! [[대수다양체]] <math>X</math> 위의 [[연접층]]의 범주 <math>\operatorname{Coh}(V)</math>
| 예 || 아닐 수 있음 || 단사 연접층 || 아닐 수 있음 || (이름이 없음)
|-
! [[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>
| 아니오 || 예 || [[공집합]]이 아닌 집합 || 예 || 모든 [[집합]]
|-
! [[유한 집합]]의 범주 <math>\operatorname{finSet}</math>
| 아니오 || 예 || [[공집합]]이 아닌 [[유한 집합]] || 예 || 모든 [[유한 집합]]
|-
! [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>
| 아니오 || 아니오 || [[자명군]]<ref>{{저널 인용|날짜=2007-03|제목=A short proof of Eilenberg and Moore’s theorem|저널=Central European Journal of Mathematics|권=5|호=1|쪽=201–204|이름=Maria|성=Nogin|doi=10.2478/s11533-006-0040-7|issn=1895-1074|언어=en}}</ref> || 예 || [[자유군]]<ref>{{서적 인용|제목=Combinatorial group theory|이름=Roger C.|성=Lyndon|이름2=Paul E.|성2=Schupp|doi=10.1007/978-3-642-61896-3|출판사=Springer|날짜=1977|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete|권=89|언어=en}}</ref>{{rp|2, Corollary I.1.5}}
|-
! [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>
| 아니오 || 예 || [[공집합]]이 아닌 [[비이산 공간]] || 예 || [[이산 공간]]
|}
[[국소 연결 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\operatorname{Sh}(X,\operatorname{Ab})</math>는 사영 대상을 충분히 가진다.
* <math>X</math>는 [[알렉산드로프 공간]]이다. 즉, (무한 개일 수 있는) 임의의 수의 [[열린집합]]들의 [[교집합]]은 [[열린집합]]이다.

[[고립점]]이 없는 [[국소 연결 공간|국소 연결]] [[하우스도르프 공간]] 위의, 아벨 군 값의 층 가운데 사영 대상인 것은 [[자명군]] [[상수층]] <math>\underline0</math> 밖에 없다.<ref>{{서적 인용|제목=Sheaf theory|판=2|날짜=1997|이름=Glen E.|성=Bredon| 출판사=Springer | 총서=Graduate Texts in Mathematics | issn= 0072-5285 | isbn=978-0-387-94905-5 | mr=1481706 | 권=170 |doi=10.1007/978-1-4612-0647-7 | zbl=0874.55001 | 언어=en}}</ref>{{rp|30–31, Exercise I.4}}

모든 [[토포스]]는 단사 대상을 충분히 가진다. [[토포스]]에서 임의의 대상 <math>X</math>의 [[멱대상]] <math>\mathcal P(X)</math>는 단사 대상이며, [[단사 사상]] <math>X\hookrightarrow\mathcal P(X)</math>이 존재한다.

== 역사 ==
섀뉴얼 정리는 [[스티븐 섀뉴얼]]이 증명하였다. 이에 대하여 [[어빙 커플랜스키]]는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|
강의 초에 나는 가군의 1단계 분해를 구성하였고, 또 만약 [[핵 (수학)|핵]]이 한 분해에서 사영 대상이라면 모든 분해에서 사영 대상이라고 말하였다. 나는 덧붙여서 이 명제는 단순하며 간단하지만 증명하기에는 약간 시간이 걸린다고 말했다. 그때, [[스티븐 섀뉴얼|스티브 섀뉴얼]]이 일어나서 사실 이는 아주 증명하기 쉽다고 말하고는, 오늘날 "섀뉴얼 보조정리"라고 알려진 이 사실을 간략히 증명하였다. 이틀 동안 대여섯 번의 토론 뒤 그의 증명 스케치가 옳다는 것이 확실해졌다.<p>
이후, 사실 문헌에 이와 비슷한 결과들이 이미 여러 번 출판되었다는 사실이 밝혀졌다. […] 그러나 섀뉴얼은 이 정리를 올바르게 제시하였으며, 또 이를 사용하여 [[호몰로지 차원]]의 이론을 전개할 수 있다는 사실을 알아차렸으므로, 그의 이름을 붙여도 마땅하다. (나는 그의 발견에 촉매로 작용하였음을 약간이나마 자랑삼을 수 있겠다.)
<p><small>{{lang|en|Early in the course I formed a one-step projective resolution of a module, and remarked that if the kernel was projective in one resolution it was projective in all. I added that, although the statement was so simple and straightforward, it would be a while before we proved it. Steve Schanuel spoke up and told me and the class that it was quite easy, and thereupon sketched what has come to be known as “Schanuel's lemma”. It took a couple of days and a half-dozen conversations before the proof was fully in hand.<p>
Subsequently it became quite apparent that quite a few anticipations could be found in the literature. […] However, Schanuel deserves full credit for stating it the right way and for realizing it could lead to a theory of homological dimension (I will take a little credit for acting as a catalyst).
}}</small>|<ref>{{서적 인용 | last=Kaplansky | first=Irving | authorlink=어빙 커플랜스키 | title=Fields and Rings | edition=2nd | zbl=1001.16500 | series=Chicago Lectures in Mathematics | publisher=University Of Chicago Press | 날짜=1972 | isbn=978-0-22642451-4 | url=http://www.press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/F/bo3621231.html | 언어=en | 확인날짜=2016-06-04 | 보존url=https://web.archive.org/web/20160806130715/http://www.press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/F/bo3621231.html# | 보존날짜=2016-08-06 | url-status=dead }}</ref>{{rp|165, Part III}}}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Injective object}}
* {{eom|title=Projective object of a category}}
* {{nlab|id=injective object|title=Injective object}}
* {{nlab|id=projective object|title=Projective object}}
* {{nlab|id=injective hull|title=Injective hull}}
* {{nlab|id=projective cover|title=Projective cover}}
* {{nlab|id=injective presentation|title=Injective presentation}}
* {{nlab|id=projective presentation|title=Projective presentation}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/08/22/a-lot-of-abelian-categories-have-enough-injectives/|제목=A lot of abelian categories have enough injectives|날짜=2010-08-22|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|이름=Akhil|성=Mathew|언어=en|확인날짜=2016-01-19|보존url=https://web.archive.org/web/20160207223359/https://amathew.wordpress.com/2010/08/22/a-lot-of-abelian-categories-have-enough-injectives/|보존날짜=2016-02-07|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2015/03/28/projective-objects/|제목=Projective objects|이름=Qiaochu|성=Yuan|날짜=2015-03-28|웹사이트=Annoying Precision|언어=en|확인날짜=2016-01-30|보존url=https://web.archive.org/web/20160309072108/https://qchu.wordpress.com/2015/03/28/projective-objects/|보존날짜=2016-03-09|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/5378/when-are-there-enough-projective-sheaves-on-a-space-x|제목=When are there enough projective sheaves on a space X?|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2016-01-30|보존url=https://web.archive.org/web/20151210172014/http://mathoverflow.net/questions/5378/when-are-there-enough-projective-sheaves-on-a-space-x|보존날짜=2015-12-10|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/7320/heuristic-explanation-of-why-we-lose-projectives-in-sheaves|제목=Heuristic explanation of why we lose projectives in sheaves|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2016-01-30|보존url=https://web.archive.org/web/20151210180425/http://mathoverflow.net/questions/7320/heuristic-explanation-of-why-we-lose-projectives-in-sheaves|보존날짜=2015-12-10|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/100245/no-injective-groups-with-more-than-one-element|제목=No injective groups with more than one element|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://blog.jpolak.org/?p=1207|제목=Wild spectral sequences ep. 4: Schanuel’s lemma|이름=Jason|성=Polak|날짜=2013-12-26|웹사이트=Aleph Zero Categorical|언어=en|확인날짜=2016-06-04|보존url=https://web.archive.org/web/20160527174634/http://blog.jpolak.org/?p=1207|보존날짜=2016-05-27|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2011/05/31/schanuels-lemma/|제목=Schanuel’s lemma|웹사이트=Project Crazy Project|날짜=2011-05-31|언어=en|확인날짜=2016-06-04|보존url=https://web.archive.org/web/20161013032401/https://crazyproject.wordpress.com/2011/05/31/schanuels-lemma/|보존날짜=2016-10-13|url-status=dead}}

[[분류:범주론]]
[[분류:호몰로지 대수학]]