단사 가군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서 '''단사 가군'''(單射加群, {{llang|en|injective module}})은 이를 포함하는 모든 [[가군]]을 [[직합]]으로 쪼갤 수 있는 [[가군]]이다. [[가군]]의 범주에서의 [[단사 대상]]이다.

== 정의 ==
환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>Q</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 가군을 '''단사 왼쪽 가군'''이라고 한다.
* 임의의 [[짧은 완전열]] <math>0\to Q\to M\to K</math>은 [[분할 완전열]]이다. 즉, 임의의  <math>R</math> 위의 왼쪽 가군 <math>M</math>에 대하여 <math>Q\subset M</math>이라면, <math>M=Q\oplus N</math>인 부분 가군 <math>K\subset M</math>이 존재한다.
* <math>Q</math>는 범주 <math>R\text{-Mod}</math>의 [[단사 대상]]이다. 즉, [[함자 (수학)|함자]] <math>\hom(-,Q)\colon R\text{-Mod}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}</math>은 [[완전 함자]]이다.
* 임의의 [[가군 준동형]] <math>f\colon M\to Q</math> 및 [[단사 함수|단사]] [[가군 준동형]] <math>\iota\colon M\hookrightarrow\tilde M</math>에 대하여, <math>\tilde f\circ\iota=f</math>인 [[가군 준동형]] <math>\tilde f\colon\tilde M\to Q</math>가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, [[보편 성질]]이 아니다.)
*:<math>\begin{matrix}
0&\to&M&\to&\tilde M\\
&&\downarrow&\swarrow\scriptstyle\exists\\
&&Q\\
\end{matrix}</math>
* ('''베어 조건''' {{llang|en|Baer’s criterion}}) 임의의 [[왼쪽 아이디얼]] <math>I\subseteq R</math> 및 [[가군 준동형]] <math>f\colon I\to Q</math>에 대하여, <math>\tilde f|_I=f</math>인 [[가군 준동형]] <math>\tilde F\colon R\to Q</math>가 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
0&\to&I&\to&R\\
&&\downarrow&\swarrow\scriptstyle\exists\\
&&Q\\
\end{matrix}</math>

마찬가지로, [[오른쪽 가군]]에 대하여 '''단사 오른쪽 가군'''을 정의할 수 있다.

== 성질 ==
임의의 왼쪽 가군들의 집합 <math>\{M_i\}_{i\in I}</math>에 대하여, 다음이 동치이다.
* [[직접곱]] <math>\prod_{i\in I}M_i</math>이 단사 왼쪽 가군이다.
* 모든 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>M_i</math>가 단사 왼쪽 가군이다.

유한 개의 가군의 [[직합]]은 [[직접곱]]과 같으므로, 위 성질이 성립한다.

'''배스-파프 정리''' {{llang|en|Bass–Papp theorem}}에 따르면, 임의의 환 <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam">{{서적 인용 | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics No. 189 | isbn=978-0-387-98428-5 | mr=1653294 | year=1999|언어=en}}</ref>{{rp|80–81, Theorem 3.46}}
* <math>R</math>는 [[왼쪽 뇌터 환]]이다.
* <math>R</math>의 왼쪽 단사 가군들의 [[귀납적 극한]]은 단사 왼쪽 가군이다.
* <math>R</math>의 왼쪽 단사 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) [[직합]]은 단사 왼쪽 가군이다.
* <math>R</math>의 [[가산 집합|가산]] 개의 왼쪽 단사 가군들의 [[직합]]은 단사 왼쪽 가군이다.

== 분류 ==
단사 가군은 [[데데킨트 정역]] 또는 보다 일반적으로 [[뇌터 환|뇌터]] [[가환환]] 위에서 분류될 수 있다.

=== 데데킨트 정역 ===
[[데데킨트 정역]] <math>D</math> 위의 모든 단사 가군은 [[분해 불가능 가군|분해 불가능]] 단사 가군들의 [[직합]]으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다. ([[분해 불가능 가군]]은 자명하지 않은 가군들의 [[직합]]으로 나타낼 수 없는 가군이다.)

[[데데킨트 정역]] <math>D</math>에 대하여, <math>D</math> 위의 [[분해 불가능 가군|분해 불가능]] 단사 가군들의 동형류의 집합은 <math>D</math> 위의 [[소 아이디얼]]들의 집합 <math>\operatorname{Spec}D</math>와 [[일대일 대응]]한다. 구체적으로, [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D</math>에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 다음과 같다.
* 만약 <math>\mathfrak p\ne(0)</math>일 경우: <math>R_{\mathfrak p}/R</math>
* 만약 <math>\mathfrak p=(0)</math>일 경우: [[분수체]] <math>R_{(0)}=\operatorname{Frac}R</math>
여기서 <math>R_{\mathfrak p}</math>는 <math>R\setminus\mathfrak p</math>에서의 [[국소화 (환론)|국소화]]이다. 예를 들어, [[분수체]] <math>\operatorname{Frac}D=R_{(0)}</math>는 <math>D</math>의 분해 불가능 단사 가군이며, [[영 아이디얼]] <math>(0)\subset D</math>에 대응한다.

예를 들어, [[데데킨트 정역]]인 [[정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 단사 가군 (=[[나눗셈군]]) 가운데  [[분해 불가능 가군|분해 불가능]] 단사 가군인 것은 다음이 전부이다.
* [[유리수체]]의 덧셈군 <math>\mathbb Q=\operatorname{Frac}D</math>
* [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여, [[프뤼퍼 군]] <math>\mathbb Z(p^\infty)=\mathbb Z_{(p)}/\mathbb Z</math>
모든 [[나눗셈군]]은 위 [[아벨 군]]들의 [[직합]]으로 유일하게 나타낼 수 있다.

=== 뇌터 가환환 ===
[[뇌터 환|뇌터]] [[가환환]] <math>R</math> 위의 모든 단사 가군은 [[분해 불가능 가군|분해 불가능]] 단사 가군들의 [[직합]]으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다.

[[뇌터 환|뇌터]] [[가환환]] <math>R</math>에 대하여, <math>R</math> 위의 [[분해 불가능 가군|분해 불가능]] 단사 가군들의 동형류의 집합은 <math>R</math> 위의 [[소 아이디얼]]들의 집합 <math>\operatorname{Spec}R</math>와 [[일대일 대응]]한다. 구체적으로, [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D</math>에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 <math>R/\mathfrak p</math>의 단사 폐포({{llang|en|injective hull}}, <math>R/\mathfrak p</math>를 포함하는 가장 작은 단사 가군)이다. <math>R/\mathfrak p</math>의 단사 폐포는 표준적으로 <math>R_{\mathfrak p}</math>-[[가군]]을 이루며, <math>R/\mathfrak p</math>의 <math>R</math>-가군으로서의 단사 폐포는 <math>R/\mathfrak p</math>의 <math>R_{\mathfrak p}</math>-가군으로서의 단사 폐포와 일치한다.

== 예 ==
자명 가군은 단사 가군이다. [[체 (수학)|체]] 위의 [[벡터 공간]]은 단사 가군이다.

[[정수환]] 위의 단사 가군은 '''[[나눗셈군]]'''이라고 한다.

임의의 [[정역]] <math>R</math> 위에서, <math>R</math>를 포함하는 가장 작은 단사 가군은 [[분수체]] <math>\operatorname{Frac}R</math>이다. 특히, [[체 (수학)|체]]가 아닌 [[정역]]은 스스로 위의 단사 가군이 아니다.

=== 스스로 위의 가군으로서의 환 ===
[[몫환]] <math>\mathbb Z/(n)</math>은 스스로의 가군으로서 단사 가군이다. 보다 일반적으로, [[데데킨트 정역]] <math>D</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a\subsetneq D</math>에 대하여 (<math>D\ne\mathfrak a</math>), <math>D/\mathfrak a</math>는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

모든 [[프로베니우스 대수]]는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

== 역사 ==
[[라인홀트 베어]]({{llang|de|Reinhold Baer}}, 1902~1979)가 1940년에 단사 가군의 개념을 정의하였고, 또 베어 조건을 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Baer | first1=Reinhold | title=Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group | doi=10.1090/S0002-9904-1940-07306-9 |mr=0002886 | zbl = 0024.14902 |날짜=1940 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society | volume=46 | pages=800–807 | issue=10 | 언어=en}}</ref> 이후 단사 가군의 개념은 [[단사 대상]]으로 일반화되었다.

== 같이 보기 ==
* [[사영 가군]]
* [[단사 대상]]
* [[나눗셈군]]
* [[단사층]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Injective module}}
* {{매스월드|id=InjectiveModule|title=Injective module}}
* {{nlab|id=injective module|title=Injective module}}
* {{nlab|id=Baer's criterion}}

{{전거 통제}}

[[분류:가군론]]