단사층 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[층 (수학)|층]] 이론에서, '''단사층'''(單射層, {{llang|en|injective sheaf}}, {{llang|fr|faisceau injectif}})은 [[층 (수학)|층]]의 범주에서의 [[단사 대상]]이다. 이를 사용하여 [[층 코호몰로지]]를 계산할 수 있다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] ''X'' 위의 [[아벨 군]] 값을 갖는 [[층 (수학)|층]]들의 [[아벨 범주]] <math>\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})</math>는 항상 충분한 [[단사 대상]]을 갖지만, 충분한 [[전사 대상]]을 갖지 않는다. <math>X</math> 위의 아벨 군 층의 범주의 [[단사 대상]]을 '''단사층'''이라고 한다. 즉, 아벨 군층 <math>\mathcal F</math>에 대하여, 만약 임의의
* 층 <math>\mathcal B\in\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})</math>
* <math>\mathcal B</math>의 부분층 <math>\mathcal A\subseteq \mathcal B</math>
* 층 준동형 <math>\phi\colon\mathcal A\to\mathcal F</math>
가 주어졌을 때, 항상 <math>\tilde\phi|_{\mathcal A}=\phi</math>인 층 준동형 <math>\tilde\phi\colon\mathcal B\to\mathcal F</math>가 존재한다면, <math>\mathcal F</math>를 단사층이라고 한다.

이 밖에도, 관련된 개념으로
* '''섬세층'''(纖細層, {{llang|en|fine sheaf}}, {{llang|fr|faisceau fin}})
* '''물렁한 층'''({{llang|en|soft sheaf}}, {{llang|fr|faisceau mou}})
* '''말랑한 층'''({{llang|en|flabby sheaf}}, {{llang|fr|faisceau flasque}})
* '''비순환층'''(非循環層, {{llang|en|acyclic sheaf}}, {{llang|fr|faisceau acyclique}})
이 있다. 이 개념들은 [[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] 위에서 잘 작동하지만, [[대수다양체]]와 같은 공간에서는 잘 작동하지 않는다.

=== 섬세층 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>과 그 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math> 및 아벨 군층 <math>\mathcal F</math>이 주어졌다고 하자. <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>에 종속된 <math>\mathcal F</math>의 '''단위 분할'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 <math>i\in I</math>에 대하여, [[자기 사상]] <math>\phi_i\in\operatorname{End}(\mathcal F)</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 각 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>\operatorname{supp}\phi_i\subseteq U_i</math>
* 각 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\{i\in I\colon x\in\operatorname{supp}\phi_i\}</math>는 [[유한 집합]]이다.
* <math>\textstyle\sum_i\phi_i</math>는 항등 사상이다.

[[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 위의 아벨 군층 <math>\mathcal F</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 아벨 군층을 '''섬세층'''이라고 한다.
* [[자기 사상]]의 층 <math>\operatorname{End}(\mathcal F)</math>이 물렁한 층이다.
* 임의의 [[열린 덮개]]에 대하여, 이에 종속되는 단위 분할이 존재한다.

=== 물렁한 층 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 아벨 군층 <math>\mathcal F</math>에 대하여, 그 [[에탈레 공간]] <math>\pi_{\mathcal F}\colon E\twoheadrightarrow X</math>을 정의할 수 있다. <math>X</math>의 임의의 [[닫힌집합]] <math>C\subseteq X</math>에 대하여, 임의의 [[연속 함수]]
:<math>s\colon C\to E</math>
에 대하여, 만약 <math>\pi_{\mathcal F}\circ s=\operatorname{id}_C</math>라면 <math>s</math>를 <math>\mathcal F</math>의 <math>C</math> 위의 '''단면'''이라고 하며, 단면 집합을 <math>\Gamma(C;\mathcal F)</math>라고 한다. 만약 <math>X</math>가 [[파라콤팩트 공간]]일 경우, 이는 <math>C</math>의 모든 [[열린 근방]]에 대하여 취한 [[귀납적 극한]]
:<math>\Gamma(C;\mathcal F)=\varinjlim_{U\supseteq C}\Gamma(U;\mathcal F)</math>
과 같다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 아벨 군층 <math>\mathcal F</math>에 대하여, 만약 [[닫힌집합]] <math>C\subseteq X</math> 위의 모든 단면을 <math>X</math> 전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, <math>\mathcal F</math>를 '''물렁한 층'''이라고 한다.
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 아벨 군층 <math>\mathcal F</math>에 대하여, 만약 [[콤팩트 집합]] <math>K\subseteq X</math> 위의 모든 단면을 <math>X</math> 전체의 단면으로 확장시킬 수 있다면, <math>\mathcal F</math>를 '''콤팩트 물렁한 층'''({{llang|en|c-soft sheaf}})이라고 한다.

=== 말랑한 층 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의, [[구체적 범주]] <math>\mathcal C</math>의 값을 갖는 층 <math>\mathcal F</math>에 대하여, 임의의 두 [[열린집합]] <math>V\subseteq U\subseteq X</math>에 대하여 제한 사상
:<math>\operatorname{res}_{UV}\colon\Gamma(U,\mathcal F)\to\Gamma(V,\mathcal F)</math>
이 [[전사 함수]]라면, <math>\mathcal F</math>를 '''말랑한 층'''이라고 한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|67, Exercise 1.16}}<ref name="Tennison">{{서적 인용|제목=Sheaf theory|성=Tennison|이름=B. R.|출판사=Cambridge University Press|날짜=1975|총서=London Mathematical Society Lecture Note Series|권=20|언어=en}}</ref>{{rp|137}} 즉, 임의의 [[열린집합]]에 정의된 단면을 공간 전체로 연장할 수 있는 층이다.

이름의 "말랑한"({{llang|fr|flasque}}, {{llang|en|flabby}})은 주어진 단면을 쉽게 연장할 수 있는 성질을 말랑말랑한 찰흙 따위에 빗댄 것이다.

=== 비순환층 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 아벨 군층 <math>\mathcal F</math>에 대하여, 만약 모든 양의 차수 [[층 코호몰로지]] 군이 [[자명군]]이라면, <math>\mathcal F</math>를 '''비순환층'''이라고 한다.
:<math>H^i(X;\mathcal F)=0\qquad(\forall i>0)</math>
물론, 0차 코호몰로지 군은 단면들의 군 <math>H^0(X;\mathcal F)=\Gamma(X;\mathcal F)</math>이므로, 층이 자명하지 않는 이상 자명군이 아니다.

== 성질 ==
[[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] 위의 아벨 군층들에 대하여, 다음이 성립한다.
:단사층 ⊆ 말랑한 층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층
:단사층 ⊆ 섬세층 ⊆ 물렁한 층 ⊆ 비순환층
그러나 일반적으로 물렁한 층이 아닌 섬세층이 존재하고, 또 섬세층이 아닌 물렁한 층이 존재한다.

섬세층은 비순환층이므로, 복소 대수기하학에서 [[단사 분해]](injective resolution) 대신에 섬세층을 이용해서 다른 주어진 층들의 [[층 코호몰로지]]를 계산할 수 있다. [[돌보 분해]](Dolbeault resolution)가 대표적인 그러한 경우이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이에 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌을 때, <math>X</math> 위의 말랑한 층 <math>\mathcal F</math>의 직상 <math>f_*\mathcal F\in\operatorname{Sh}(Y)</math> 역시 말랑한 층이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|67, Exercise 1.16d}} [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[열린집합]] <math>U</math> 및 말랑한 층 <math>\mathcal F</math>에 대하여, 제약층 <math>\mathcal F|_U</math> 역시 말랑한 층이다.

[[기약 공간]] 위의 [[상수층]]은 말랑한 층이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|67, Exercise 1.16a}}

== 예 ==
다음과 같은 층들은 섬세층을 이룬다.
* [[다양체]] <math>M</math> 위의 실수 [[연속 함수]]들의 층 <math>\mathcal C(M;\mathbb R)</math>
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 실수 [[매끄러운 함수]]들의 층 <math>\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 <math>p</math>차 [[미분 형식]]들의 층 <math>\Omega^p(M)</math>
그러나 [[복소다양체]] 위의 [[정칙 함수]]들의 층은 섬세층이 아니며, 말랑한 층 또한 아니다. 즉, 임의의 [[열린집합]] 위에 정의된 [[정칙 함수]]는 공간 전체로 [[해석적 연속]]을 하지 못할 수 있다.

=== 드람 코호몰로지의 계산 ===
[[드람 코호몰로지]]는 다음과 같이 계산할 수 있다. [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>위의 [[상수층]] <math>\underline{\mathbb R}</math>은 [[미분 형식]]의 층으로 다음과 같이 분해된다.
:<math>0\to\underline{\mathbb R}\to\Omega^0(M)\to\Omega^1(M)\to\cdots</math>
미분 형식층들은 섬세층이므로 비순환층이다. 따라서, 드람-베유 정리에 따라서
:<math>H^i(X;\underline{\mathbb R})\cong H^i(\Omega^\bullet(M))</math>
이 된다. 즉, 드람 코호몰로지는 실수 계수 코호몰로지와 동형이다.

그러나 [[돌보 코호몰로지]]를 계산하려면, [[복소 미분 형식]]의 층은 섬세층이 아니며 비순환층도 아니다. 따라서, 드람-베유 정리를 통해 계산할 수 없으며, 이 경우 [[초코호몰로지]]({{llang|en|hypercohomology}})와 [[스펙트럼 열]]을 사용하여야 한다.

== 같이 보기 ==
* [[층 코호몰로지]]
* [[단사 대상]]
* [[단사 가군]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Fine sheaf}}
* {{eom|title=Soft sheaf}}
* {{eom|title=Flabby sheaf}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/fine+sheaf|제목=Fine sheaf|웹사이트=nLab|언어=en|확인날짜=2015-02-24|보존url=https://web.archive.org/web/20150225023205/http://ncatlab.org/nlab/show/fine+sheaf|보존날짜=2015-02-25|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/soft+sheaf|제목=Soft sheaf|웹사이트=nLab|언어=en|확인날짜=2015-02-24|보존url=https://web.archive.org/web/20150225030349/http://ncatlab.org/nlab/show/soft+sheaf|보존날짜=2015-02-25|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/flabby+sheaf|제목=Flabby sheaf|웹사이트=nLab|언어=en|확인날짜=2015-02-24|보존url=https://web.archive.org/web/20150225030548/http://ncatlab.org/nlab/show/flabby+sheaf|보존날짜=2015-02-25|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/abelian+sheaf+cohomology|제목=Abelian sheaf cohomology|웹사이트=nLab|언어=en|확인날짜=2015-02-24|보존url=https://web.archive.org/web/20150227035007/http://ncatlab.org/nlab/show/abelian+sheaf+cohomology|보존날짜=2015-02-27|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2011/06/10/soft-sheaves/|제목=Soft sheaves|이름=Akhil|성=Mathew|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|날짜=2011-06-10|언어=en|확인날짜=2015-02-25|보존url=https://web.archive.org/web/20150225052512/https://amathew.wordpress.com/2011/06/10/soft-sheaves/|보존날짜=2015-02-25|url-status=dead}}

[[분류:층론]]
[[분류:호몰로지 대수학]]