단면 이차 모멘트 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|관성모멘트|[[휨]]과 관련된 '''단면의 관성모멘트'''|회전운동과 관련된 '''관성모멘트'''}}

'''단면 이차 모멘트'''(斷面二次 - ) 또는 '''단면의 관성모멘트'''({{lang|en|area moment of inertia}}), 또는 간단히 '''관성모멘트'''({{lang|en|moment of inertia}})는 [[휨]] 또는 [[처짐]]에 대한 저항을 예측하는 데 사용되는 단면의 성질을 뜻한다. [[비틀림]]에 대한 저항을 나타내는 [[극 관성 모멘트]]와 비슷하다. 탄성 계수를 E라 할 때, EI를 '''휨강성'''이라고 하는데, 휨강성이 큰 부재는 구조적으로 안전하다.

단면 이차 모멘트는 [[각가속도]]를 계산하는 데 쓰이는 [[관성모멘트]]와는 다르다. 공학에서는 보통 단면 이차 모멘트를 관성모멘트라고 부르며 기호도 <math>I</math>로 같게 사용한다. 어떠한 관성(가속도인지 휨인지)에 대한 것인지는 문맥에서나 [[단위]]를 확인하면 된다. 정다각형의 도심을 지나는 축에 대한 단면 이차 모멘트는 축의 회전에 상관없이 모두 동일한 값을 가진다.

== 정의 ==
[[파일:Moment of area of an arbitrary shape.svg|오른쪽|200px]]
:<math>I_x = \int_A y^2 dA</math>
:<math>I_y = \int_A x^2 dA</math>

* ''x'' - ''y'' 축에서부터 면적 요소 도심까지 수직 거리
* ''I''<sub>''x''</sub> - ''x'' 축에 대한 단면 이차 모멘트
* ''dA'' - 면적 요소
* ''y'' - ''x'' 축에서부터 면적 요소 도심까지 수직 거리
* ''I''<sub>''y''</sub> - ''y'' 축에 대한 단면 이차 모멘트
* ''dA'' - 면적 요소

== 단위 ==
단면 이차 모멘트는 [[SI 단위계|국제]] 단위로 네제곱 [[미터]](m<sup>4</sup>)를 사용한다. [[야드파운드법]]과 [[미국 단위계]]에서는 네제곱 인치(in.<sup>4</sup>)도 사용된다.

== 합성 단면의 단면 이차 모멘트 ==
합성 단면의 단면 이차 모멘트는
:<math>I_{xx}= \Sigma\ y^{2}A +I_{local}</math>
로 주어진다.
단, 이 공식은 단면이 x 축에 대해 대칭일 경우에 적용하며, 그렇지 않은 경우에 xx, yy 및 xy축에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같다.

:<math>I_{yy}= \Sigma\ x^{2}A +I_{local}</math>

:<math>I_{xy}= \Sigma\ yxA</math>

* A - 해당 부분의 단면적
<math>I_{local} </math>은 합성 단면 중 해당 부분의 단면 이차 모멘트이다.

== 평행축 정리 ==
[[파일:Parallel axis theorem.svg|200px|오른쪽]]
중립축과 평행한 임의의 축 x'에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같이 주어진다.

:<math>I_{x'} = I_x+Ad^2</math>
* ''I<sub>x'</sub>'' - x' 축에 대한 단면 이차 모멘트
* ''I''<sub>x</sub> - x' 축과 평행하고 단면의 [[도심 (기하학)|도심]]을 지나는 축 x에 대한 단면 이차 모멘트 (중립축과 일치)
* ''A'' - 단면의 넓이
* ''d'' - 축 사거리

== 대표적인 도형에 대한 단면 이차 모멘트 ==
{{본문|관성 모멘트의 목록#단면 이차 모멘트}}
I<sub>0</sub>는 도심을 지나는 축에 대한 단면 이차 모멘트, I는 도심을 지나는 축에 평행한 축에 대한 단면 이차 모멘트라고 하면,
{| class="wikitable" style="background-color:white"
|-
! 설명 || 그림 || 단면 이차 모멘트 || 비고
|-
| 반지름 <math>r \,</math>(지름 D)인 원||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_circle.svg]]||<math>I_0 = \pi r^4/4=\pi D^4/64</math>||
|-
| 너비 <math>b \,</math>, 높이 <math>h \,</math>인 직사각형||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_rectangle.svg]]||<math>I_0 = bh^3/12 \,</math>||
|-
| 너비 <math>b \,</math>, 높이 <math>h \,</math>인 직사각형||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_rectangle_2.svg]]||<math>I = bh^3/3 \,</math>||단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값.
|-
| 밑변 <math>b \,</math>, 높이 <math>h</math>인 삼각형||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_triangle.svg]]||<math>I_0 = bh^3/36 \,</math>||
|-
| 밑변 <math>b \,</math>, 높이 <math>h</math>인 삼각형||[[파일:Area_moment_of_inertia_of_a_triangle_2.svg]]||<math>I = bh^3/12 \,</math>||단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리를 이용해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리 <math>h/3 \,</math>).
|}

== 들보의 응력 ==
[[들보]]의 [[오일러-베르누이 들보 방정식]]은 다음과 같다.

:<math>{\sigma}= \frac{M}{I_x} y</math>

* σ - 휨 [[응력]]
* ''M'' - 단면에 가해지는 휨모멘트
* ''y'' - 단면 중립축으로부터 휨응력을 구하고자 하는 지점까지 수직거리
* ''I''<sub>''x''</sub> - 중립축(x 축)에 대한 단면 이차 모멘트

== 같이 보기 ==
* [[극관성 모멘트]]
* [[단면 일차 모멘트]]
* [[단면계수]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |저자= 전찬기, 이종헌, 정환호, 김운학, 김경진|날짜= 2015|제목= 토목기사 과년도 시리즈 응용역학|출판사= 성안당|쪽= 78, 84-85, 87|isbn= 978-89-315-6807-3 }}
* {{서적 인용|제목=SI 재료역학|성=Gere, Goodno|이름=|날짜=|판=8|출판사=센게이지 러닝 코리아|쪽=|장=}}

== 외부 링크 ==
* [http://blog.naver.com/mjfafa0104/221336219944 보일러 엔지니어링 블로그 - 단면 이차모멘트와 단면계수]

[[분류:연속체역학]]
[[분류:구조역학]]
[[분류:재료과학]]
[[분류:모멘트 (물리학)]]