단면 범주 문서 원본 보기

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'''단면 범주'''({{lang|en|sectional category}}) 또는 '''시바르츠 종수'''({{lang|ru|род Шварца}})는 [[올다발]]의 자연수 값 불변량이다.

== 정의 ==

<math>F</math>를 올공간으로 하는 [[올다발]] <math>\pi \colon E\to B</math>에 대해서 다음을 만족시키는 최소의 자연수 k를 단면 범주 <math>\operatorname{secat}(\pi)</math>로 정의한다:
: <math>B</math>를 덮는 <math>(k+1)</math> 개의 [[열린 덮개]] <math>(U_i)_{0\le i\le k}</math>가 존재해서 각각의 덮개에 대해 <math>\pi^{-1}(U_i) \simeq U_i \times F</math>를 만족한다.
만약 위 조건을 만족시키는 자연수 k가 없다면 <math>\operatorname{secat}(\pi) = \infty</math>로 표기한다.

== 성질 ==

위의 정의에서 <math>E</math>가 [[한원소 공간]]일 경우 단면 범주는 [[류스테르니크-시니렐만 범주]]와 같다. 다시 말해, 올다발 <math>\pi \colon \{*\} \to B</math>에 대해 <math>\operatorname{secat}(\pi) = \operatorname{cat}(B)</math>이다. 그러므로 단면 범주는 [[류스테르니크-시니렐만 범주]]의 일반화라 할 수 있다.

== 위상 복잡도 ==

단면 범주를 통해 '''위상 복잡도'''({{lang|en|topological complexity}})를 다음과 같이 정의할 수 있다.

위상공간 <math>X</math>가 주어졌을 때, 그 {{임시링크|경로 공간|es|Espacio de caminos}} <math>\mathcal{P}X = \{ \gamma: [0, 1] \to X \}</math>를 만들고 사영 사상 <math>\pi \colon \mathcal{P}X \to X \times X</math>를 <math>\pi(\gamma) := (\gamma(0), \gamma(1))</math>로 정의한다. 이 때 <math>X</math>의 위상 복잡도 <math>\operatorname{TC}(X)</math>를 <math>\pi</math>의 단면 범주로 정의한다.
: <math>\operatorname{TC}(X) := \operatorname{secat}(\pi)</math>

== 역사 ==

1960년 [[알베르트 시바르츠]]가 ‘종수({{lang|ru|род}})’라는 이름으로 발표했다.<ref>{{저널 인용 |성=Шварц |이름=А. С. |날짜=1960-04-23 |제목=Род расслоенного пространства |번역제목=The genus of a fiber space |url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mmo&paperid=120 |언어=ru |저널=Труды Московского математического общества |출판날짜=1961 |호=10 |쪽=217-272 |확인날짜=2019-02-24 |보존url=https://web.archive.org/web/20190224173407/http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mmo&paperid=120 |보존날짜=2019-02-24 |url-status=dead }}</ref> 이후 1978년 {{임시링크|요안 제임스|en|Ioan James}}가 시바르츠를 인용하면서 이 불변량과 [[류스테르니크-시니렐만 범주]]와의 상관관계를 밝히고 ‘단면 범주({{lang|en|sectional category}})’라는 말을 썼다.<ref>{{저널 인용 |성=James |이름=I. M. |날짜=1978-08-07 |제목=On category, in the sense of Lusternik-Schnirelmann |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0040938378900022 |언어=en |저널=Topology |출판날짜=1978 |권=17 |호=4 |쪽=331-348 }}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:대수적 위상수학]]