단면 곡률 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리만 기하학]]에서 '''단면 곡률'''(斷面曲率, {{llang|en|sectional curvature}})은 특정한 접평면에 대한 방향으로 [[리만 다양체]]가 굽는 양을 나타내는 [[실수]]이다. 단면 곡률에 [[상한]] 또는 [[하한]]을 가하면, 리만 다양체의 다양한 [[미분기하학]]·[[미분위상수학]]적 정보를 유추할 수 있다.

== 정의 ==
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 점 <math>x\in M</math> 및 [[접공간]] <math>T_xM</math>의 2차원 부분 벡터 공간 <math>\sigma\subset T_xM</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의로 [[기저 (선형대수학)|기저]]
:<math>\sigma=\operatorname{Span}\{u,v\}</math>
를 고르자. 접벡터 <math>u,v\in T_xM</math>에 대하여, <math>\sigma</math> 방향의 '''단면 곡률''' <math>\operatorname{sect}(\sigma)</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{sect}(\sigma)=\operatorname{sect}(u,v)=\frac{g(\operatorname{Riem}(u,v),u)}{g(u,u)g(v,v)-g(u,v)^2}</math>
여기서 <math>\operatorname{Riem}</math>은 [[리만 곡률 텐서]]이다. <math>\operatorname{sect}(\sigma)</math>는 <math>\sigma</math>의 기저 <math>(u,v)</math> 및 [[방향 (다양체)|방향]]에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위에, 2-[[그라스만 다양체|그라스만 다발]] <math>\operatorname{Gr}(2,TM)</math>을 정의할 수 있다. 즉, 2-그라스만 다발의 <math>x\in M</math>에서의 올은 [[그라스만 다양체]] <math>\operatorname{Gr}(2,T_xM)</math>이다. 이 경우, 단면 곡률
:<math>K\colon\operatorname{Gr}(2,TM)\to\mathbb R</math>
은 2-그라스만 다발의 전체 공간 위의 [[실수]] 값 [[매끄러운 함수]]를 이룬다.

== 성질 ==
리만 다양체 <math>(M,g)</math> 및 양의 [[실수]] <math>\lambda</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리만 계량 <math>\tilde g=\lambda^2g</math>에 대하여, <math>(M,\tilde g)</math>의 <math>\sigma\in\operatorname{Gr}(2,T_xM)</math>에서의 단면 곡률 <math>\operatorname{sect}_{\tilde g}</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{sect}_{\tilde g}(\sigma)=\lambda^{-2}\operatorname{sect}_g(\sigma)</math>
즉, 단면 곡률의 단위는 [[리만 곡률]]과 마찬가지로 [길이]<sup>&minus;2</sup>이다.

=== 공간 형식 ===
모든 단면 곡률이 일정한 완비 리만 다양체는 '''공간 형식'''(空間形式, {{llang|en|space form}})이라고 한다.

모든 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] 공간 형식은 다음 세 가지 가운데 하나이다.
* [[쌍곡 공간]] (<math>\operatorname{sect}<0</math>)
* [[초구]] (<math>\operatorname{sect}>0</math>)
* [[유클리드 공간]] (<math>\operatorname{sect}=0</math>)
다시 말해, 모든 공간 형식은 [[쌍곡 공간]] · [[초구]] · [[유클리드 공간]]의 [[몫공간]]들의 [[분리합집합]]이다.

'''슈어 보조정리'''({{llang|en|Schur’s lemma}})에 따르면, 2차원이 아닌 리만 다양체에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 공간 형식이다.
* 임의의 점 <math>x\in M</math> 및 임의의 <math>\sigma\in\operatorname{Gr}(2,T_xM)</math>에 대하여 <math>\operatorname{sect}(\sigma)=f(x)</math>가 되는 함수 <math>f\colon M\to\mathbb R</math>가 존재한다.

그러나 이는 2차원에서 성립하지 않는다. 2차원 이하에서 두 번째 조건은 자명하게 성립하지만, 공간 형식이 아닌 2차원 완비 리만 다양체가 존재한다. (1차원에서 이 정리는 자명하게 성립한다.)

슈어 보조정리의 증명은 다음과 같다. 편의상 지표 표기법을 사용하자. 두 번째 조건이 성립한다고 하면,
:<math>R_{ijkl}=f(x)(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})</math>
가 된다. 그런데 이 경우 [[제2 비안키 항등식]]은 다음과 같이 된다.
:<math>0=R_{ijkl;m}+R_{ijlm;k}+R_{ijmk;l}\propto f_{;n}(\cdots)_{ijklm}{}^n</math>
괄호 <math>(\cdots)</math>에 속한 성분은 리만 계량 <math>g_{ij}</math>으로 구성되며, <math>\dim M\ge3</math>일 경우 항상 0이 아니다. 따라서 <math>f_{;n}=0</math>이다.

=== 단면 곡률이 하한을 갖는 다양체 ===
[[완비 리만 다양체]] <math>M</math> 위의, [[측지선]]으로 구성된, 꼭짓점이 <math>x,y,z\in M</math>인 삼각형 <math>\triangle xyz</math>를 생각하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
* <math>M</math>의 모든 단면 곡률이 [[하한]] <math>K\ge\delta</math>를 만족시킨다.
* <math>\overline{xy}</math>는 <math>x,y</math> 사이의 최단 측지선이다.
* 만약 <math>\delta>0</math>일 경우, <math>\overline{xy}</math>의 길이 <math>d_M(x,y)</math>는 <math>\pi/\sqrt\delta</math> 미만이다.
<math>M'</math>이 단면 곡률이 <math>\delta</math>인 부피 형식이라고 하고, <math>\triangle x'y'z'</math>이 <math>M'</math> 속의 측지선으로 구성된 삼각형이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자. (이는 삼각형의 SAS 합동 조건이다.)
* <math>d_{M'}(x',y')=d_M(x,y)</math>
* <math>d_{M'}(x',z')=d_M(x,z)</math>
* <math>\angle zxy=\langle z'x'y'</math>
그렇다면, '''토포고노프 정리'''({{llang|en|Topogonov theorem}})에 따르면 다음이 성립한다.
:<math>d(y,z)\le d(y',z')</math>

'''그로우에-피터슨 유한성 정리'''({{llang|en|Grove–Petersen finiteness theorem}})에 따르면, 임의의 차원 <math>n</math>, 실수 <math>C\in\mathbb R</math> 및 <math>D,V\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 [[리만 다양체]]들의 [[호모토피 유형]]들의 수는 유한하다.
* 단면 곡률이 <math>\operatorname{sect}\ge C</math>이다.
* [[지름]]이 <math>D</math> 이하이다.
* [[부피]]가 <math>V</math> 이상이다.
이는 카르스텐 그로우에({{llang|da|Karsten Grove}})와 피터 피터슨({{llang|en|Peter Petersen}})이 증명하였다.

=== 단면 곡률이 유계인 다양체 ===
'''치거 유한성 정리'''({{llang|en|Cheeger finiteness theorem}})에 따르면, 임의의 자연수 <math>n</math> 및 상수 <math>C,D,V\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 콤팩트 <math>n</math>차원 [[리만 다양체]] 가운데
* 단면 곡률이 어디서나 <math>-C\le \operatorname{sect}\le C</math>
* 지름이 <math>D</math> 이하
* 부피가 <math>V</math> 이상
인 것들의 [[미분 동형]]류의 수는 유한하다.

[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>이 임의의 양의 실수 <math>\epsilon</math>에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [[리만 계량]] <math>g_\epsilon</math>을 갖는다면, <math>M</math>을 '''거의 평탄 다양체'''({{llang|en|almost flat manifold}})라고 한다.
* 모든 단면 곡률이 <math>-\epsilon<\operatorname{sect}<\epsilon</math>이다.
* [[지름]]이 1 이하이다.
'''그로모프 거의 평탄 다양체 정리'''({{llang|en|Gromov’s theorem on almost flat manifold}})에 따르면, 임의의 차원 <math>n</math>에 대하여 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 <math>\epsilon_n\in\mathbb R^+</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>n</math>차원 리만 다양체 <math>M</math>에 대하여, 만약 <math>M</math>의 모든 단면 곡률이 <math>-\epsilon_n\le\operatorname{sect}\le \epsilon_n</math>이라면, <math>M</math>은 거의 평탄 다양체이다.
'''그로모프-루 정리'''({{llang|en|Gromov–Ruh theorem}})에 따르면, 임의의 [[리만 다양체]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 거의 평탄 다양체이다.
* <math>M\cong N/\Gamma</math>인 [[리 군]] <math>N</math> 및 이산군 <math>\Gamma</math>가 존재하며, 이는 다음 조건들을 만족시킨다.
** <math>N</math>은 [[단일 연결]] [[멱영 리 군]]이다.
** <math>F\le\operatorname{Aut}(N)</math>은 [[유한군]]이다.
** <math>\Gamma\le N\rtimes F</math>는 [[이산군]]이며, <Math>N</math> 위에 [[자유 작용|자유롭게 작용한다]].
특히, 어떤 [[영다양체]]({{llang|en|nilmanifold}}) <math>\tilde M</math>에 의한 유한 겹 [[피복 공간]] <math>\tilde M\twoheadrightarrow M</math>이 존재한다.

[[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[완비 리만 다양체]] <math>M</math>이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>M</math>의 모든 단면 곡률은 <math>1<\operatorname{sect}\le4</math>를 만족시킨다.
그렇다면, '''초구 정리'''(超球定理, {{llang|en|sphere theorem}})에 따르면 <math>M</math>은 같은 차원의 [[초구]]와 [[미분 동형]]이다. (미분 동형인 것을 증명하는 것은 [[위상 동형]]인 것을 증명하는 것보다 더 어렵다.) 초구 정리는 [[구간]]을 <math>(1,4]</math>에서 <math>[1,4]</math>로 약화시키면 성립하지 않는다. 예를 들어, [[푸비니-슈투디 계량]]을 준 [[복소수 사영 공간]]의 단면 곡률은 <math>1\le\operatorname{sect}\le 4</math>이지만, [[초구]]와 [[미분 동형]]을 갖지 않는다.

=== 단면 곡률이 0 이하인 다양체 ===
'''카르탕-아다마르 정리'''({{llang|en|Cartan–Hadamard theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다. [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[완비 리만 다양체]] <math>M</math>의 모든 단면 곡률이 <math>K\le0</math>이라면, <math>M</math>은 [[유클리드 공간]]과 [[미분 동형]]이다. 따라서, 단면 곡률이 0 이하인 [[완비 리만 다양체]]의 구조는 그 [[기본군]]에 의하여 완전히 결정되며, 이러한 다양체의 기본군에 대해서는 '''프라이스만 정리'''({{llang|en|Preissmann’s theorem}})라는 정리가 존재한다.

[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] <math>M</math>의 모든 단면 곡률이 <math>\operatorname{sect}<0</math>이라면, <math>M</math> 위의 [[측지선]] 흐름은 [[에르고딕]]하다. (물론, [[원환면]]의 경우 <math>\operatorname{sect}=0</math>이지만 이는 성립하지 않는다.)

모든 단면 곡률이 <math>\operatorname{sect}\le\kappa</math>가 되는 [[완비 리만 다양체]] <math>M</math>은 [[CAT(κ) 공간|CAT(''κ'') 공간]]을 이룬다. 특히, 만약 <math>\operatorname{sect}\le\kappa<0</math>이라면, 그 [[기본군]] <math>\pi_1(M)</math>은 [[그로모프 쌍곡군]]({{llang|en|Gromov hyperbolic group}})을 이룬다.

=== 단면 곡률이 0 초과인 비콤팩트 다양체 ===
{{본문|영혼 (기하학)}}
연결 비콤팩트 [[완비 리만 다양체]] <math>M</math>의 단면 곡률이 모든 곳에서 0 이상이라고 하자. '''영혼 정리'''(靈魂定理, {{llang|en|soul theorem}})에 따르면, 다음 조건을 만족시키는 부분 다양체 <math>S\subset M</math>가 존재한다.
* <math>S</math>는 [[콤팩트 공간]]이다.
* (완전 측지성 {{llang|en|completely geodesic}}) <math>S</math> 속의 모든 [[측지선]]은 <math>M</math> 속의 [[측지선]]을 이룬다.
* (완전 볼록성 {{llang|en|completely convex}}) 임의의 <math>x,y\in S</math>에 대하여, <math>x</math>와 <math>y</math>를 잇는 모든 [[측지선]]은 <math>S</math>에 속한다.
* <math>M</math>은 <math>S</math>의 [[법다발]]의 전체 공간과 [[미분 동형]]이다.
이러한 <math>S</math>를 <math>M</math>의 '''영혼'''(靈魂, {{llang|en|soul}})이라고 한다.

따라서, 양의 단면 곡률의 완비 리만 다양체의 분류는 콤팩트한 경우의 분류로 귀결된다.

또한, '''영혼 추측'''({{llang|en|soul conjecture}})에 따르면, 연결 비콤팩트 [[완비 리만 다양체]] <math>M</math>의 단면 곡률이 모든 곳에서 0 이상이며, 또한 모든 방향으로의 단면 곡률이 양수인 점 <math>x\in M</math>이 존재한다면,  <math>M</math>의 영혼은 [[한원소 공간]]이다. 즉, <math>M</math>은 [[유클리드 공간]]과 [[미분 동형]]이다. (이름과 달리, 이는 현재 증명된 정리이다.)

=== 단면 곡률이 0 초과인 콤팩트 다양체 ===
단면 곡률이 어디서나 0 초과인 <math>n</math>차원 [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] <math>M</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* (싱 정리 {{llang|en|Synge’s theorem}}) <math>M</math>은 홀수 차원 [[가향 다양체]]이거나, 짝수 차원 [[단일 연결]] [[가향 다양체]]이거나, 기본군이 2차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>인 짝수 차원 [[비가향 다양체]]이다.
* (마이어스 정리 {{llang|en|Myers’ theorem}}) 만약 <math>M</math>의 단면 곡률의 [[최솟값]]이 <math>\kappa</math>라면, <math>\operatorname{diam}M\le \pi/\sqrt{\kappa/(n-1)}</math>이다.
'''그로모프 베티 수 정리'''({{llang|en|Gromov’s theorem on Betti numbers}})에 따르면, 임의의 차원 <math>n</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 <math>C(n)\in\mathbb Z^+</math>가 존재한다.
* 단면 곡률이 어디서나 0 초과인 임의의 연결 콤팩트 <math>n</math>차원 다양체 <math>M</math>에 대하여, <math>M</math>의 [[베티 수]]들의 합은 <Math>C(n)</math> 이하이다.
*:<math>\sum_{i=0}^nb_n(M)\le C(n)</math>

이러한 다양체의 알려진 예는 드물다.<ref>{{저널 인용|arxiv=math/0701389|제목=Examples of Riemannian manifolds with non-negative sectional curvature|이름=Wolfgang|성=Ziller|날짜=2007|bibcode=2007math......1389Z|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
=== 19세기 ===
슈어 보조정리는 [[독일]]의 수학자 프리드리히 하인리히 슈어({{llang|de|Friedrich Heinrich Schur}}, 1856~1932)가 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Friedrich|성=Schur|제목=
Ueber den Zusammenhang der Räume constanten Riemann’schen Krümmungsmaasses mit den projectiven Räumen|저널= Mathematische Annalen |권=27|호=4|날짜=1886|쪽=537–567|doi=10.1007/BF01906632|issn=0025-5831|언어=de}}</ref><ref name="HA">{{서적 인용|제목=The Ricci flow in Riemannian geometry: A complete proof of the differentiable 1/4-pinching theorem|url=http://maths-people.anu.edu.au/~andrews/book|이름=Christopher|성=Hopper|이름2=Ben|성2=Andrews|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://maths-people.anu.edu.au/~andrews/book }}</ref>{{rp|183, Lemma 11.22}}

카르탕-아다마르 정리는 한스 카를 프리드리히 폰 망골트({{llang|de|Hans Carl Friedrich von Mangoldt}}, 1854~1925)가 곡면에 대하여 1881년에 증명하였고, 1898년에 [[자크 아다마르]]가 같은 정리를 독자적으로 증명하였다. 이후 [[엘리 카르탕]]이 1928년에 이를 임의의 차원의 [[리만 다양체]]에 대하여 일반화하였다.

=== 20세기 초 ===
싱 정리는 [[아일랜드]]의 수학자 존 라이턴 싱({{llang|en|John Lighton Synge}}, {{IPA2|dʒɒn laɪtən sɪŋ}}, 1897~1995)이 1936년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1093/qmath/os-7.1.316|first=John Lighton|last=Synge|title=On the connectivity of spaces of positive curvature|url=https://archive.org/details/sim_quarterly-journal-of-mathematics-oxford-series_1936-12_7_28/page/n77|journal=Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series)|volume=7|year=1936|pages=316–320}}</ref>

마이어스 정리는 [[미국]]의 수학자 섬너 바이런 마이어스({{llang|en|Sumner Byron Myers}}, 1910~1955)가 1941년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1215/S0012-7094-41-00832-3|first=S. B.|last=Myers|title=Riemannian manifolds with positive mean curvature|journal=Duke Mathematical Journal|volume=8|issue=2|year=1941|pages=401&ndash;404|언어=en}}</ref>

=== 20세기 후반 ~ 21세기 ===
토포고노프 정리는 [[러시아]]의 수학자 빅토르 안드레예비치 토포노고프({{llang|ru|Ви́ктор Андре́евич Топоно́гов}}, 1930~2004)가 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=V.|성=Toponogov|제목=Riemannian spaces having their curvature bounded below by a positive number|저널=American Mathematical Society Translations|권=37|날짜=1964|쪽=291–336}}</ref>

[[영혼 정리]]는 1972년에 [[제프 치거]]와 데틀레프 그로몰({{llang|de|Detlef Gromoll}})이 증명하였으며,<ref>{{저널 인용 | last1=Cheeger | first1=Jeff | 저자링크=제프 치거 | last2=Gromoll | first2=Detlef | title=On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature |doi=10.2307/1970819 |mr=0309010 | 날짜=1972-11 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=96 | 호=3 | pages=413–443 | jstor=1970819 | 언어=en}}</ref> 같은 논문에서 [[영혼 추측]]을 추측하였다. [[그리고리 페렐만]]은 1994년에 [[영혼 추측]]을 13쪽 밖에 되지 않는 짧은 논문으로 간단히 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Perelman | first=Grigori | author1-link=그리고리 페렐만 | title=Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll | doi=10.4310/jdg/1214455292 | mr=1285534 | zbl = 0818.53056 | 날짜=1994 | journal=Journal of Differential Geometry | issn=0022-040X | volume=40 | issue=1 | pages=209–212|언어=en}}</ref>

[[미분 동형]]에 대한 초구 정리는 2007년에 지몬 브렌들레({{llang|de|Simon Brendle}})와 리처드 숀({{llang|en|Richard Schoen}})이 증명하였다.<ref name="HA"/><ref>{{서적 인용 | last=Brendle | first=Simon | title =Ricci Flow and the Sphere Theorem| publisher=American Mathematical Society | series=Graduate Studies in Mathematics | volume=111 | doi=10.1090/gsm/111 | mr=2583938 | year=2010| isbn=0-8218-4938-7 |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | last1=Brendle | first1=Simon | last2=Schoen | first2=Richard | title=Manifolds with 1/4-pinched curvature are space forms |mr=2449060 | year=2009 | journal=Journal of the American Mathematical Society | volume=22 | pages=287–307| doi=10.1090/s0894-0347-08-00613-9 | issue=1|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | last1=Brendle | first1=Simon | last2=Schoen | first2=Richard | title=Curvature, Sphere Theorems, and the Ricci Flow | year=2011 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society | volume=48 | pages=1–32 | doi=10.1090/s0273-0979-2010-01312-4 | issue=1 | mr=2738904|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[리만 곡률 텐서]]
* [[리치 곡률 텐서]]
* [[스칼라 곡률]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|last=Lee|first=John M.|title=Riemannian manifolds: an introduction to curvature|publisher=Springer|year=1997|isbn=978-0-387-98271-7|doi=10.1007/b98852|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=176|issn=0072-5285|url=https://www.math.washington.edu/~lee/Books/riemannian.html|언어=en|확인날짜=2015-12-05|보존url=https://web.archive.org/web/20151208062648/https://www.math.washington.edu/~lee/Books/riemannian.html|보존날짜=2015-12-08|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Sectional curvature}}
* {{eom|title=Riemannian geometry in the large}}
* {{eom|title=Space forms }}
* {{eom|title=Constant curvature, space of }}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2009/11/21/statement-and-background-of-the-cartan-hadamard-theorem/|제목=Statement and background of the Cartan-Hadamard theorem|이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2009-11-21|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|언어=en|확인날짜=2015-12-05|보존url=https://web.archive.org/web/20151208235408/https://amathew.wordpress.com/2009/11/21/statement-and-background-of-the-cartan-hadamard-theorem/|보존날짜=2015-12-08|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Sectional_curvature|제목=Sectional curvature|웹사이트=Diffgeom|이름=Vipul|성=Naik|언어=en|확인날짜=2015-12-05|보존url=https://web.archive.org/web/20151208141843/http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Sectional_curvature|보존날짜=2015-12-08|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Schur's_theorem|제목=Schur's theorem|웹사이트=Diffgeom|이름=Vipul|성=Naik|언어=en|확인날짜=2015-12-05|보존url=https://web.archive.org/web/20151005141836/http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Schur%27s_theorem|보존날짜=2015-10-05|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Bonnet-Myers_theorem|제목=Bonnet-Myers theorem|웹사이트=Diffgeom|이름=Vipul|성=Naik|언어=en|확인날짜=2015-12-05|보존url=https://web.archive.org/web/20151208130123/http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Bonnet-Myers_theorem|보존날짜=2015-12-08|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Cartan-Hadamard_theorem|제목=Cartan-Hadamard theorem|웹사이트=Diffgeom|이름=Vipul|성=Naik|언어=en|확인날짜=2015-12-05|보존url=https://web.archive.org/web/20151208153354/http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Cartan-Hadamard_theorem|보존날짜=2015-12-08|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Synge's_theorem|제목=Synge's theorem|웹사이트=Diffgeom|이름=Vipul|성=Naik|언어=en|확인날짜=2015-12-05|보존url=https://web.archive.org/web/20160304113700/http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Synge%27s_theorem|보존날짜=2016-03-04|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Finiteness_theorem|제목=Finiteness theorem|웹사이트=Diffgeom|이름=Vipul|성=Naik|언어=en|확인날짜=2015-12-05|보존url=https://web.archive.org/web/20151208162300/http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Finiteness_theorem|보존날짜=2015-12-08|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Cheeger-Gromoll_conjecture|제목=Cheeger-Gromoll conjecture|웹사이트=Diffgeom|이름=Vipul|성=Naik|언어=en|확인날짜=2015-12-05|보존url=https://web.archive.org/web/20151208135621/http://diffgeom.subwiki.org/wiki/Cheeger-Gromoll_conjecture|보존날짜=2015-12-08|url-status=dead}}

[[분류:리만 기하학]]