다항 분포 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{확률분포 정보
|이름=다항 분포
|기호=<math>\mathrm{Multinomial}</math>
|매개변수=<math>n</math>: 자연수, <math>(p_1, \cdots, p_n)</math>: 합이 1인 양의 실수들
|종류=질량
|받침=<math>X_i</math>: 0부터 n까지의 정수, <math>\sum_i X_i = n</math>
|기대값=<math>E\{X_i\} = np_i</math>
|분산=
<math>\textstyle{\mathrm{Var}}(X_i) = n p_i (1-p_i)</math>,
<math>\textstyle {\mathrm{Cov}}(X_i,X_j) = - n p_i p_j~~(i\neq j)</math>
|pmf=<math>\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}</math>
|mgf=<math>\biggl( \sum_{i=1}^k p_i e^{t_i} \biggr)^n</math>
|cf=<math>\biggl(\sum_{j=1}^k p_je^{it_j}\biggr)^n</math>
}}
'''다항 분포'''는 여러 개의 값을 가질 수 있는 [[독립 (확률론)|독립]] [[확률변수]]들에 대한 [[확률분포]]로, 여러 번의 독립적 시행에서 각각의 값이 특정 횟수가 나타날 확률을 정의한다.

다항 분포에서 차원이 2인 경우 [[이항 분포]]가 된다.

== 정의 ==
어떤 시행에서 <math>k</math>가지의 값이 나타날 수 있고, 그 값들이 나타날 확률을 각각 <math>p_1, p_2, \cdots, p_k</math>라고 할 때, <math>n</math>번의 시행에서 <math>i</math>번째 값이 <math>x_i</math>회 나타날 확률은 다음과 같다.
:<math>p(x_1, x_2, \cdots, x_k; n, p_1, \cdots, p_k) = \frac{n!}{x_1! x_2! \cdots x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k}</math>
이때 <math>x_1 + \cdots + x_k = n</math>이어야 한다. 그렇지 않은 경우의 확률값은 0으로 정의된다.

경우에 따라서, 다항 분포는 값이 나타나는 횟수가 아니라 독립 시행에서 나타나는 값 자체를 가리키기도 한다. 엄밀하게는 이러한 분포는 categorical 분포라고 부르며, 다음과 같이 정의된다. 만약 <math>i</math>번째 값이 <math>c_i</math>일 경우,
:<math>p(c_i ; p_1, \cdots, p_k) = p_i</math>
가 된다.

{{전거 통제}}

[[분류:이산분포]]
[[분류:계승과 이항식 주제]]
[[분류:확률분포]]