다항식 전개 문서 원본 보기

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'''다항식 전개'''(多項式 展開, {{llang|en|polynomial expansion}})는 [[인수 분해]]된 [[다항식]]을 인수들끼리 [[분배법칙]]을 이용하여 곱셈을 한 다음, [[동류항]]들끼리 [[교환법칙]]과 [[결합법칙]]을 이용하여 덧셈뺄셈을 하여 다시 푸는 과정이다. 이렇게 전개된 식을 '''전개식'''(展開式)이라고 한다.

이처럼  다항식의 전개와 [[인수분해|인수분해]]는 [[곱셈공식|곱셈공식]]으로 표현되는 정보교환관계에  있어서 중요한 역할을 한다.

== 다항식의 덧셈과 뺄셈 ==
[[파일:Polynomial expansion.png|thumb|365 px|다항식의 전개는 분배법칙을 이용하여 분배한 이후, 동류항끼리 계산하여 정리한다.]]

다항식들의 동류항끼리 덧셈과 뺄셈을 하는 것은 '''다항식의 연산'''의 핵심이다.

예를 들어, 다항식 
:<math>f(x)=2x^3-5x+9</math>와 <math>g(x)=x^3+2x^2+8x-1</math>에 대하여
:<math>2f(x)-g(x) </math>
:<math>= 2(2x^3 - 5x + 9) - (x^3 + 2x^2 + 8x - 1) </math>
:<math>= {4x^3 - 10x + 18} - {x^3 + 2x^2 + 8x - 1}</math>
:<math> = 3x^3 -2x^2 - 18x + 19</math>이다.

== 잘 알려진 곱셈 공식 ==
모든 공식에 [[복부호 동순]]이 적용된다.

=== 2차식 ===
[[파일:A plus b au carre.svg|섬네일|150px|[[좌표평면]]에서의 곱셈공식의 의미]]
* <math>\,m(a\pm b) = ma\pm mb</math>
* <math>\,(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd</math>
* <math>\,(a+ b)^2 = a^2+ 2ab+b^2</math>
* <math>\,(a- b)^2 = a^2- 2ab+b^2</math>
* <math>\,(a+b)(a-b) = a^2-b^2</math>
* <math>\,(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab</math>
* <math>\,(ax+b)(cx+d) = acx^2+(ad+bc)x+b</math>
* <math>\,(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)</math>
* <math>\,(ax+by)(cx+dy) = acx^2+(ad+bc)xy+bdy^2</math>
* <math>\,(ax+by+c)(dx+ey+f) = adx^2+(af+cd)x+(ae+bd)xy+bey^2+(bf+ce)y+cf</math>
아래 2차식들은 [[곱셈 공식의 변형]]의 일부이다.

* <math>\, a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right\}</math>
* <math>\, (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab , (a+b)^2-2ab = a^2+b^2 </math>
* <math>\, (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab, (a-b)^2+2ab = a^2+b^2 </math>
* <math> (a-b)^2+2ab= (a+b)^2-2ab, (a-b)^2+4ab= (a+b)^2,(a-b)^2= (a+b)^2-4ab</math>
=== 3차식 ===
* <math>\,(x\pm a)(x\pm b)(x\pm c) = x^3\pm(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x\pm abc </math>
* <math>\,(a\pm b)^3 = a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3</math>
* <math>\,(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2) = a^3\pm b^3</math>
* <math>\,(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3+b^3+c^3-3abc </math>
* <math>\, \frac{1}{2}(a+b+c)\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\} = a^3+b^3+c^3-3abc </math>
*<math>a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc</math>
=== 4차식 ===
* <math>\,(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = a^4+a^2b^2+b^4 </math>
*<math>(a\pm b)^4=a^4\pm4a^3b+6a^2b^2\pm4ab^3+b^4</math>


또한, <math>\, (a+b)^n </math> (단, <math>\, n = </math> 자연수) 을 구할 때에는 ([[이항 전개]]) 일단 각 [[항]]의 [[계수]]는 생략하였음. [[계수]]는 [[파스칼의 삼각형]]으로 구한다.
:<math>\, (a+b)^n = a^n+a^{(n-1)}b+a^{(n-2)}b^2+a^{(n-3)}b^3+</math>···<math>\,+a^3b^{(n-3)}+a^2b^{(n-2)}+ab^{(n-1)}+b^n </math>
<math>\, a </math> 의 [[지수]]는 점점 작아지고, <math>\, b </math> 의 [[지수]]는 점점 커지며, [[전개]]한 후에는 모든 항이 <math>\, n </math>차식이 된다.
또한 생략된 각 [[계수]]는 [[파스칼의 삼각형]]을 이용해서 구하는데,
제곱은 3번째 줄, 세제곱은 4번째 줄, 네제곱은 5번째 줄 <math>\,( n </math> 제곱은 <math>\, (n+1) </math> 번째 줄 <math>) </math>의 숫자들을 하나씩 각 항의 앞에 [[계수]]로 사용하면 된다.

== 일반적인 곱셈 공식의 변형 ==
다음은 [[대한민국]]의 [[2015 개정 교육과정|2015년 개정 교육과정]]에서 쓰이는, [[고등학교]] 1학년 수준의 '''곱셈 공식의 변형'''이다. (단, 2차식 내용의 일부는 [[중학교]] 3학년 과정이다.) 모든 공식에 [[복부호 동순]]이 적용된다.

=== 2차식 ===
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{| class="wikitable"
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!QW452135435
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*<math>\,a^2+b^2 = (a\pm b)^2\mp 2ab</math>
*<math>\,(a+b)^2=(a-b)^2 + 4ab </math>
*<math>\, x^2+{1 \over x^2} = \left( x \pm {1 \over x} \right) ^2 \mp 2 </math>
*<math>\, \left( x + {1 \over x} \right) ^2 - \left( x - {1 \over x} \right) ^2 = 4 </math>
*<math>\, a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) </math>
*<math>\, a^2+b^2+c^2\pm ab\pm bc \pm ca = {1 \over 2} \left\{ (a\pm b)^2 + (b\pm c)^2 + (c\pm a)^2 \right\} </math>
=== 3차식 ===
*<math>\, a^3\pm b^3 = (a\pm b)^3\mp 3ab(a\pm b) </math>
*<math>\, x^3 \pm {1 \over x^3} = \left( x\pm {1 \over x} \right) ^3 \mp 3 \left( x\pm {1 \over x} \right) </math>
*<math>\, a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc </math>
=== 4차식 ===
*<math>\,(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = a^4+a^2b^2+b^4 </math>
*<math>\, (x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1</math> 

=== 5차식 이상 ===
*<math>\, a^5+b^5 = (a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b) </math>

</br>
※ 자연수인 <math>\, n</math>에 대하여, <math>\, a^n+b^n </math>은 다음과 같이 구한다. (단, <math>\, k = {1 \over 2}n </math>, <math>\, p = k-0.5 </math> , <math>\, q = k+0.5 </math>로 정의한다.)
:<math>\, n</math>이 짝수일 때, <math>\, a^n+b^n = (a^k+b^k)^2-2a^kb^k </math>
:<math>\, n</math>이 홀수일 때, <math>\, a^n+b^n = (a^p+b^p)(a^q+b^q)-a^pb^p(a+b) </math>

== 같이 보기 ==
* [[곱셈 공식]]

[[분류:다항식]]