다항식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Septic graph.svg|섬네일|다항식의 함수 그래프]]
[[수학]]에서 '''다항식'''(多項式, {{문화어|여러마디식}}, {{llang|en|polynomial}})은 한 개 또는 두 개 이상의 [[단항식|항]]의 합으로 이루어진 식이다. 즉, [[단항식]]의 결합(덧셈과 뺄셈)으로 이루어진 식이다. 예를 들어, {{수학|''x''<sup>2</sup> - 2''x'' + 3}}, {{수학|4''x''<sup>3</sup>}}, {{수학|5''xy'' + 6}}은 모두 다항식이다.

[[다항식의 근]]과 [[다항식환]] 등은 [[대수학]]에서 중요하게 다루어진다. '''다항함수'''({{llang|en|polynomial function}}, 다항식으로부터 유도되는 [[함수]])에 의한 [[근사값|근사]]는 다항식의 [[해석학 (수학)|해석학]]에서의 응용인 것이다.

== 정의 ==
(일변수) 다항식은 다음과 같은 형태의 표현식이다.
[[파일:Terms-coefficient-ko.svg|섬네일|350px|다항식]]
:<math>a + bx + cx^2 + \cdots + dx^{n-1} + ex^n</math>

다항식 안에서 특별한 역할을 맡는 문자를 '''변수'''({{llang|en|variable}})라고 한다. 예를 들어, {{수학|''x''<sup>2</sup> + 1}}은 {{mvar|x}}를 변수로 하며, 따라서 '''{{mvar|x}}에 대한(관한) 다항식'''({{llang|en|polynomial with respect to {{mvar|x}}}})이다. 다항식은 변수의 개수에 따라 '''일변수'''({{llang|en|univariate}})와 '''다변수'''({{llang|en|multivariate}}), '''이변수'''({{llang|en|bivariate}}), '''삼변수''' 등 다항식으로 나뉜다.

더해져서 다항식을 이루는 작은 구성원들을 다항식의 '''항'''({{llang|en|term}})이라고 한다. 변수를 포함하지 않는 항을 '''상수항'''이라고 한다. 하나의 항만으로 이루어진 다항식을 '''[[단항식]]''', {{mvar|n}}개 항으로 이루어진 다항식을 '''{{mvar|n}}항식'''('''[[이항식]]''', '''삼항식'''({{llang|en|trinomial}}) 등)이라고 한다. 예를 들어 {{수학|''x''<sup>2</sup> - 2''x'' + 3}}은 {{수학|''x''<sup>2</sup>}}, {{수학|-2''x''}}, {{수학|3}}을 항으로 하는 삼항식이다. {{수학|4''x''<sup>3</sup>}}은 단항식이다.

항 안에서 변수의 거듭제곱에 곱하는 수를 '''[[계수]]'''라고 한다. 곱하는 수가 없는 항의 계수는 1이고, 빼는 항의 계수에 빼기 부호도 포함된다는 데 주의하자. (이는 [[곱셈|곱하기 1]]과 [[뺄셈]]의 의미에 부합한다.) 예를 들어 {{수학|''x''<sup>2</sup> - 2''x'' + 3}}의 세 항의 계수는 각각 1, -2, 3이다. 다항식은 계수의 유형에 따라 '''[[정수|정]]계수''', '''[[유리수|유리]]계수''', '''[[실수|실]]계수''', '''[[복소수|복소]]계수''' 다항식 등으로 나뉜다. 이 밖에 임의의 (무한 또는 [[유한체|유한]])[[체 (수학)|체]], ([[가환환|가환]] 또는 [[비가환환|비가환]])[[환 (수학)|환]]의 원소도 계수가 될 수 있다.

=== 차수 ===
{{참고|다항식환#다항식의 차수}}

다항식의 항에서 특정 변수를 거듭제곱한 지수를 그 항의 그 변수에 대한 차수라고 한다. 항의 모든 변수에 대한 차수의 합을 그 항의 차수라고 하고, {{mvar|n}}을 차수로 하는 항을 '''{{mvar|n}}차항'''('''일차항''', '''이차항''' 등)이라고 한다. 다항식 안에서 차수가 가장 높은 항('''최고차항''')의 차수를 그 다항식의 '''차수'''({{llang|en|degree}})라고 하고, {{mvar|n}}을 차수로 하는 다항식을 '''{{mvar|n}}차 다항식'''('''일차 다항식''', '''이차 다항식''' 등)이라고 한다. 나타나지 않은 변수는 0차(따라서 상수항은 0차항이다), 지수가 없는 변수는 1차라는 데 주의해야한다. (이는 [[거듭제곱|0제곱]]과 [[거듭제곱|1제곱]]의 의미에 부합한다.)

예를 들어 {{수학|''x''<sup>2</sup> - 2''x'' + 3}}에서, 항 {{수학|''x''<sup>2</sup>}}의 차수는 2이며, 이는 가장 높은 차수이다. 따라서 다항식의 차수는 2이다. {{수학|''xy''<sup>2</sup> + ''xy''}}는, {{수학|''xy''<sup>2</sup>}}이 {{수학|1=1 + 2 = 3}}차항이자 최고차항이므로, 3차 다항식이다.

같은 다항식에 변수 및 각 변수의 차수가 같은 항이 여럿 있다면, 이들을 '''[[동류항]]'''이라고 한다. 동류항이 있는 다항식은 정리가 안 되었다고 여겨지며, 계수를 더해서 하나의 항으로 만들어야 한다. {{수학|''x''<sup>2</sup> + 3''x'' - ''x'' + 3}}에서 {{수학|3''x''}}와 {{수학|-''x''}}는 동류항이며, 이들을 모아 정리한 다항식은 곧 {{수학|''x''<sup>2</sup> + 2''x'' + 3}}이다. 항의 개수나 최고차항을 생각할 때, 동류항은 이미 정리되어 있어야 하고, 계수가 0이면 항으로 쳐주지 않아야 한다.

상수항만으로 이루어진 다항식 {{수학|1=''c'' = ''cx''<sup>0</sup>}}을 '''상수 다항식'''({{llang|en|constant polynomial}})이라고 한다. 그 상수가 0인 경우 '''영다항식'''({{llang|en|zero polynomial}})이라고 한다. 0이 아닌 상수 다항식은 (유일한 유형의) 0차 다항식이다. 영다항식은 계수가 0이 아닌 항이 존재하지 않아서, (유일하게) 차수를 정의하지 않거나, {{수학|-∞}}로 따로 차수를 규정한다.

다변수 다항식의 경우, 동류항을 정리한 후에도, 차수가 같은 항이 여럿 있을 수 있다(최고차항도 여럿 있을 수 있다). 차수가 같은 항들만으로 이루어진 다변수 다항식을 '''[[동차 다항식]]'''이라고 한다. 예를 들어 {{수학|''x'', ''y''}}에 대한 다항식 {{수학|''x''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''y''<sup>2</sup>}}은 동차 다항식이다.

최고차항의 계수가 1인 일변수 다항식을 '''[[일계수 다항식]]'''(또는 '''모닉 다항식''')이라고 한다.

=== 항의 배열 ===
다항식의 항은 항의 차수를 이용하여 단정하게 배열된다. 일변수 다항식의 배열법으로는 '''내림차순'''('''강멱''', {{llang|en|descending powers}}, 항을 차수가 낮아지는 순으로 배열)과 '''오름차순'''('''승멱''', {{llang|en|ascending powers}}, 항을 차수가 높아지는 순으로 배열)이 있다. 이미 내림차순으로 배열된 {{수학|''x''<sup>2</sup> - 2''x'' + 3}}은 오름차순으로는 {{수학|3 - 2''x'' + ''x''<sup>2</sup>}}이다. 일변수 다항식의 최고차항은, 내림차순 배열에서 처음 오는 항, 오름차순 배열에서 마지막으로 오는 항이다.

다변수 다항식 항의 배열법은 두 가지가 있다. 첫 번째 방법은 변수의 차수의 [[튜플]]의 [[사전식 순서]]대로 배열하는 것이다. {{수학|''x''<sup>3</sup>''y'' + ''xy''<sup>5</sup> + ''y''}}는 {{수학|''x'', ''y''}}에 대한 다항식의 사전식 순서 배열의 예이다. 여기서 사용한 사전식 순서는 {{수학|(3, 1) > (1, 5) > (0, 1)}}이다. 위의 예처럼, 사전식 순서에서 최고차항은 중간에 위치할 수도 있다. 두 번째 배열법은 다항식을 동차항의 합으로 나눠 전개하는 것이다. 이때 동차항의 배열 순서는 일반적으로 여전히 사전식 순서를 따른다. 이원 이차 다항식을 {{수학|''x''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''y''<sup>2</sup> + ''x'' + ''y'' + 1}}와 같이 배열한 것이 한 예이다.

=== 표현 ===
다항식은 함수와 비슷하게 {{수학|''P''(''x'')}}, {{수학|''Q''(''x'', ''y'')}} 등으로 표기되는 경우가 많다. 이에 의한 다항함수와의 혼동은 많지 않다. 다항식 {{mvar|P}}의 차수는 {{수학|deg''P''}}로 표기한다.

일반적인 일변수 다항식은 {{mvar|x}}와 음이 아닌 정수 {{mvar|n}}, 그리고 {{수학|(''n'' + 1)}}개의 상수 {{수학|''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ..., ''a<sub>n</sub>''}}을 써서

:{|
|<math>P(x)</math>
|<math>= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0</math>
|-
|
|<math>= a_0 + a_1x + \cdots + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n</math>
|-
|
|<math>= \sum_{i=0}^n a_ix^i</math>
|}

등으로 나타낸다. 이때 {{mvar|a<sub>i</sub>}}는 {{mvar|i}}차항 계수이고, 이 중 {{mvar|''a''<sub>0</sub>}}은 상수항이다. {{mvar|P}}가 영이 아닌 다항식인 경우, {{수학|''a<sub>n</sub>'' ≠ 0}}, 즉 {{수학|1=''n'' = deg''P''}}이게끔 한다.

일반적인 다{{수학|(''n'')}}변수 다항식은 {{수학|''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>''}}과 유한 개의 [[튜플]] {{수학|(''i''<sub>1</sub>, ..., ''i<sub>n</sub>'') ∈ '''N'''<sup>n</sup>}}을 써

:<math>Q(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{i_1, \ldots, i_n} a_{i_1, \ldots, i_n}x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}</math>

로 나타낸다. [[다중지표]] 표기법을 이용하여

:<math>Q(x) = \sum_{i} a_ix^i</math>

으로도 나타낼 수 있다. 여기서

:<math>i = (i_1, i_2,\ldots, i_n) \in \N^n</math>
:<math>x = (x_1, x_2,\ldots, x_n)</math>
:<math>x^i = x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math>

체 {{수학|'''F'''}}의 원소를 계수로 하는 (즉 {{수학|'''F'''}} 위의) 다항식의 집합이 다항식의 덧셈과 곱셈 아래 이루는 [[다항식환|환]]을 {{수학|'''F'''[''x'']}}로 표기한다. 환 {{수학|R}} 위의 다항식의 환은 {{수학|R[''x'']}}, 다변수 다항식의 환은 {{수학|'''F'''[''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'']}}, {{수학|R[''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'']}}로 표기된다. 정 · 유리 · 실 · 복소계수 다항식이 이루는 환은 각각 {{수학|'''Z'''[''x''], '''Q'''[''x''], '''R'''[''x''], '''C'''[''x'']}}로 표기한다.

=== 다른 정의 ===
다음은 다항식의 여러 가지 서로 [[동치]]인 정의들이다.

* 유한 개의 [[단항식]](계수, 문자, 지수의 조합)의 합
* 상수와 문자의 유한 번 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 거듭제곱으로 얻는 식
* 계수가 영이 아닌 항의 개수가 유한한 [[형식적 멱급수]]

그 밖에도 [[대수 구조]]의 성질에 기반한 다항식의 여러 정의법이 존재한다.

=== 주로 x에 대해 표현하는 이유 ===
[[프랑수아 비에트]]가 미지수로 알파벳을 사용한 이래로, 저명한 수학자 [[데카르트]]가 그의 저서 《방법서설(Discours de la méthode)》에서 다항식을 특정한 문자 x, y, z를 이용하여 나타내었고, 그 이후로 여러 나라의 수학자들 사이에서 '어떤 수와 식'을 나타내는데 문자 x, y, z를 쓰는 것이 보편화되었다. 이중에 왜 하필 x를 유난히 많이 사용하는가에 대해서는 여러 설이 제기되고 있으나 모두 확실하지 않다.<ref>[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3405085&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 미지수] - 네이버 지식백과</ref> 어쨌거나 현대에 이르러서, x는 특정한 문자를 나타내는 대표적인 문자로 자리매김하였다.

== 연산 ==
다항식은 수와 비슷하게 [[덧셈]], [[곱셈]]을 비롯한 여러 연산을 할 수 있다.

다항식은 나눗셈을 제외한 [[사칙연산]]에 대해서   [[대수적으로 닫힌 체|닫혀있지만]] 일반적으로 나눗셈에 대해서는 닫혀있지 않다.

=== 덧셈 ===
두 다항식을 더하는 것의 관건은 비슷한 항끼리 합쳐주는 것이다. 이때 계수는 서로 더하고 문자와 지수 부분은 그대로 둔다. 이는 [[분배법칙]]을 반영한다. 비슷한 항들이 서로 멀리 떨어져 있어도, 이들은 임의로 한 군데 모아 합칠 수 있다. 이는 덧셈의 [[교환법칙]]과 [[결합법칙]]을 반영한다.

예시: 만약

:<math>P(x) = 2x^4 + 11x^2 - 5x + 1</math>
:<math>Q(x) = x^2 + 4x - 7</math>

이면,

:{|
|<math>P(x) + Q(x)</math>
|<math>= (2x^4 + 11x^2 - 5x + 1) + (x^2 + 4x - 7)</math>
|-
|
|<math>= 2x^4 + (11x^2 + x^2) + (-5x + 4x) + (1 - 7)</math>
|-
|
|<math>= 2x^4 + (11 + 1)x^2 + (-5 + 4)x + (1 - 7)</math>
|-
|
|<math>= 2x^4 + 12x^2 - x - 6</math>
|}

다변수 다항식의 예:

:<math>(1 + x + y + 2xy) + (3 + 6x - 5xy + xy^2) = 4 + 7x + y - 3xy + xy^2</math>

=== 곱셈 ===
다항식의 곱셈은 [[분배법칙]]을 이용해 괄호를 없애는 방향으로 전개하는 것이 관건이다. 두 항을 곱할 때, 계수를 곱해주고 지수를 더해준다. 예: 앞선 {{수학|''P''(''x'')}}와 {{수학|''Q''(''x'')}}의 곱은

:{|
|<math>P(x)Q(x)</math>
|<math>= (2x^4 + 11x^2 - 5x + 1)(x^2 + 4x - 7)</math>
|-
|
|<math>= 2x^4(x^2 + 4x - 7) + 11x^2(x^2 + 4x - 7) - 5x(x^2 + 4x - 7) + 1(x^2 + 4x - 7)</math>
|-
|
|<math>= 2x^6 + 8x^5 - 14x^4 + 11x^4 + 44x^3 - 77x^2 - 5x^3 - 20x^2 + 35x + x^2 + 4x - 7</math>
|-
|
|<math>= 2x^6 + 8x^5 - 3x^4 + 39x^3 - 96x^2 + 39x - 7</math>
|}

다변수 다항식의 예:

:<math>(xy + 2)(x^2 + y + 2) = x^3y + 2x^2 + xy^2 + 2xy + 2y + 4</math>

===  다항식의 나눗셈 ===
일반적으로 다항식의 나눗셈은 [[다항식 장제법]]이나 [[조립제법]]의 방법으로 한다.

'''<big>미분</big>'''

다항함수는 모든 x에 대하여 연속이며 미분가능하다.

== 다항함수 ==
<!-- "Polynomial function" redirects here
{{참고|Ring of polynomial functions}} -->
다항함수는 다항식으로부터 유도될 수 있다.

일변수 함수 {{math|''f''}}는
:<math> f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \, </math>가 되겠다.
모든 {{math|''x''}}항들에 대해서, {{math|''n''}}은 자연수이고 {{math|''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a<sub>n</sub>''}} 상수,계수이다.

실수로서 그 실수 해를 갖는 함수{{math|''f''}}를 정의하면,
:<math> f(x) = x^3 - x\,</math>
이고, 이것은 일변수 다항함수이다.
다수의 미정의 계수들로 이루어진 다변수 다항함수들도  이와 유사하게 정의된다.
:<math>f(x,y)= 2x^3+4x^2y+xy^5+y^2-7.\,</math>
다항식으로 정의되지 않는 것처럼 여겨지는 함수 <math>f(x)=\cos(2\arccos(x))</math> 역시, <math>[-1,1]</math>에서 다항함수이다.
왜냐하면,  <math>x</math>항들에 대해서   <math>[-1,1]</math>이기 때문이다.
이것은 사실 <math>f(x)=2x^2-1</math>이다.  ([[체비쇼프 다항식]]참조)

다항함수는 많은 중요한 성질들을 갖는 다른 함수들 즉, [[연속함수]], [[매끄러운 함수]], [[전해석 함수]], [[계산 가능 함수]]들처럼 그들 중의 하나이다.

== 각주 ==
<references />

== 같이 보기 ==
* [[유리식]]
* [[방정식]]
* [[형식적 멱급수]]
* [[단항식]]

== 외부 링크 ==
* [https://web.archive.org/web/20150509075358/http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Polynomial The Encyclopedia of Mathematics]
* {{위키공용분류-줄}}

{{전거 통제}}

[[분류:다항식| ]]
[[분류:대수학]]
[[분류:초등 수학]]
[[분류:함수와 사상]]