다포체 문서 원본 보기

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[[파일:Hypercube.svg|thumb|[[정팔포체]].]]
'''다포체'''(多胞體, {{llang|en|polytope|폴리토프}})는 [[다각형]]이나 [[다면체]] 등의 [[도형]]을 임의의 차원으로 확장한 것을 가리킨다.
<math>n</math>차원에서 정의되는 다포체를 '''n차원 다포체'''(n-polytope)로 부른다. 예를 들어, [[다각형]]은 2차원 다포체, [[다면체]]는 3차원 다포체, [[폴리코론]]은 4차원 다포체다.

== 정의 ==
다포체를 정의하는 방법은 다양하며 이 정의의 차이에 따라 포함하는 도형의 범위도 달라진다. 어떠한 경우는 다포체의 정의에 [[테셀레이션]]과 같은 무한한 크기의 도형을 포함하기도 하며, 또한 자기 자신을 통과하는 도형을 포함하는 경우도 존재한다.

그 [[차원]]에서 포의 수가 가장 적은 [[정다포체]]인 [[단체 (수학)|단체]]의 경우 [[6차원]] 이상의 단체부터는 한 [[이면각|이포각]]의 크기가 72° 초과, 90° 미만이다. 그러므로 3개나 4개가 모일 수 있고, [[초입방체]]의 경우에는 무조건 90° 이므로 3개가 모이게 된다. 참고로, 4개가 모이면 다 [[정다각형 타일 덮기|다포체의 테셀레이션]]이 된다. 따라서 [[7차원]]과 그 이후로는 3 종류의 [[4차원 정다포체|정다포체]] 즉, [[단체 (수학)|단체]], [[초입방체]], [[정축체]]와 한 가지의 [[쪽매맞춤|정규 허니컴]]만 존재한다. 여기에서 [[단체 (수학)|단체]]와 [[하이퍼 큐브 벌집|초입방체 벌집]]은 [[자기쌍대]]이고, [[초입방체]]와 [[정축체]]는 서로 쌍대 관계이다. 단체는 [[꼭짓점 도형]]과 셀이 모두 단체이며, 단채 3개가 한 모서리에 모인다. 초입방체는 셀이 초입방체이고, [[꼭짓점 도형]]이 단체인데, 한 모서리에 초입방체 3개가 만난다. 또한 그의 쌍대인 정축체의 경우는 한 모서리에 단체 4개가 만나고, [[꼭짓점 도형]]이 정축체이며, 셀이 단체이다. 그리고 [[하이퍼 큐브 벌집]]의 경우 초입방체 4개를 한 모서리에 모이개 하여 만들 수 있으며, 셀이 초입방체이며, [[꼭짓점 도형]]이 이것의 쌍대인 정축체이다. [[6차원]] 이상의 차원의 [[정축체]]의 경우는 한 [[내각과 외각|이포각]]의 크기가 120°  이상이며, [[하이퍼 큐브 허니컴|초입방체 허니컴]]은 [[이포각]]의 크기가 무조건 180°라 이들로는 [[7차원]] 이상의 [[슐레플리-헤스 다포체|정다포체]]를 만들 수 없다. (단, [[4차원 정다포체]]에서 [[정십육포체]]와 [[정이십사포체]]는 [[정팔포체|테서랙트]]와 마찬가지로, [[쪽매맞춤|테셀레이션]]을 할 수 있다). 또한 0차원의 면은 점이고, 1차원의 면은 선이고, 2차원은 다각형 면, 3차원은 포체 또는 셀이라고 한다. 또한 4차원에서의 면은 하이퍼 셀이며, 5차원 이상의 면은 그냥 n-face(n차원의 면)  이라고 한다.

이를 비유클리드 초공간으로 확장시켜서 유클리드 기하학에서는 불가능한 [[하이퍼볼릭 허니콤]]이라는 [[벌집 (기하학)|벌집]]을 만들 경우 n-1차원 정다포체로 이루어져 있고, [[꼭짓점 도형]]도 정다포체인 유클리디안 콤팩트 하이퍼볼릭 허니콤, n-1차원 면이나 [[꼭짓점 도형]]이 정규 허니컴인 [[파라콤팩트 허니콤]], 꼭짓점 도형과 n-1차원의 면 중 적어도 하나가 [[하이퍼볼릭]]인 [[논콤팩트 허니콤]]도 비유클리드 기하학에서는 가능하다.

가장 일반적으로 사용하는 정의는 한 단계 아래의 다포체를 이용하는 것이다.
0차원 다포체는 [[점 (기하학)|점]]이며, 1차원 다포체는 [[직선]]에서 점으로 범위를 제한한 도형, 2차원 다포체는 [[평면]]에서 1차원 다포체로 범위를 제한한 도형 등으로 구성한다.
즉, n차원 다포체는 <math>n</math>차원 공간에서 <math>(n-1)</math>차원 다포체로 범위를 제한한 도형을 가리키게 된다.

{| class="wikitable sortable mw-collapsible"
|+
! 차원 !! 영어 !! 발음 !! -
|-
| align="center" | 임의 || align="center" | polytope || align="center" | 폴리토프 || align="center" | （다포체）
|-
| align="center" |''n''|| align="center" |''n''-polytope || align="center" |''n''-폴리토프 || align="center" | （n차원 다포체）
|-
| align="center" | 0 || align="center" | point || align="center" | 포인트 || align="center" |[[점 (기하학)|점]]
|-
| align="center" | 1 || align="center" | segment || align="center" | 세그멘트 || align="center" |[[선분]]
|-
| align="center" | 2 || align="center" | polygon || align="center" | 폴리곤 || align="center" |[[다각형]]
|-
| align="center" | 3 || align="center" | polyhedron || align="center" | 폴리헤드론 || align="center" |[[다면체]]
|-
| align="center" | 4 || align="center" | polychoron || align="center" | 폴리코론 || align="center" | （[[4차원 다포체|다포체]]）
|-
| align="center" | 5 || align="center" | polyteron || align="center" | 폴리테론
|-
| align="center" | 6 || align="center" | polypeton || align="center" | 폴리페톤
|-
| align="center" | 7 || align="center" | polyexon || align="center" | 폴리엑손
|-
| align="center" | 8 || align="center" | polyzetton || align="center" | 폴리제톤
|-
| align="center" | 9 || align="center" | polyyotton || align="center" | 폴리요톤
|
|-
| align="center" | 10 || align="center" | polyxetton || align="center" | 폴리세톤
|
|-
| align="center" | 11 || align="center" | polyggopton || align="center" | 폴리곱톤
|
|}

다포체를 여러 [[단체 (수학)|단체]](simplex)를 서로 연결한 도형들의 집합으로 정의하는 경우도 있다. 이때 두 단체의 교집합은 반드시 점, 선, 면 등이어야 한다. 하지만 이 정의는 자기 자신을 통과하는 도형을 허용하지 않는다.

'''볼록 다포체'''는 다포체가 [[볼록 집합]]을 이루는 경우로 정의한다. 이외에도 유한 개의 점에 대한 [[최소볼록집합]]으로 정의할 수 있지만,<ref name="grunbaum">{{서적 인용|저자=Grünbaum, Branko|연도=2003|제목=Convex polytopes (2nd ed.)|출판사=New York & London: Springer-Verlag|ISBN=0-387-00424-6}}</ref> 이 경우 [[유계]]인 다포체만 고려한다는 가정을 포함한다.

== 같이 보기 ==
* [[벌집 (기하학)]]
== 출처 ==
<references/>

== n차원 볼록 정다포체 및 볼록 정규 허니컴의 종류 ==
정다포체
* [[정축체]] {3^^n-2^^, 4} 면 : 단체 | 꼭짓점 : 정축체, 한 모서리에서 만나는 면의 개수는 4개, 초입방체의 쌍대
* [[초입방체]] {4, 3^^n-2^^} 면 : 초입방체 | 꼭짓점 : 단체, 한 모서리에서 만나는 면의 개수는 3개, 정축체의 쌍대
* [[단체 (수학)|단체]] {3^^n-1^^} 면 : 단체 | 꼭짓점 : 단체, 한 모서리에서 만나는 면의 개수는 3개이며, 자기쌍대

벌집
* [[입방체 벌집|큐브 허니컴]] {4, 3^^n-(2+1)^^, 4} 면 : 초입방체 | 꼭짓점 : 정축체 한 모서리에서 만나는 면의 개수는 4개이며, 단체와 마찬가지로 자기쌍대

n차원의 경우
[[단체 (수학)|단체]]는 n+1개의 면과 꼭짓점을 가짐, [[초입방체]]는 2n개의 면과 2^n개의 꼭짓점을 가지고 있으며, [[정축체]]는 이에 쌍대이므로 서로 반대, [[큐브 허니컴|입방체 벌집]]의 경우는 무수히 많은 면과 꼭짓점의 개수를 가지고 있으므로 표현할 수 없다.

{{다포체}}
{{전거 통제}}

[[분류:다포체| ]]