다치 논리 문서 원본 보기

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[[논리학]]에서 '''다치 논리'''는 두 개 이상의 [[진릿값]]이 있는 [[명제 논리]]이다. 전통적으로 [[아리스토텔레스]]의 논리 미적분학 [[명제|에서는 모든 명제에]] 대해 두 가지 가능한 값(즉, "참"과 "거짓")만 있었다. 고전적인 [[이치 논리]]는 ''n'' 이 2보다 큰 경우 '''''n''''' 값 논리로 확장될 수 있다. 문헌에서 가장 인기 있는 것은 [[3치 논리|3치]] (예: [[얀 우카시에비치|우카시에비치]] 및 [[스티븐 클레이니|클레이니]], "true", "false" 및 "unknown" 값을 허용함), 4치, [[IEEE 1164|9치]], 그리고 유한 치, 그리고 [[퍼지 논리]] 및 확률 논리와 같은 무한 치이다.

== 역사 ==
[[배중률]]의 법칙을 완전히 받아들이지 않은 최초의 알려진 고전 논리학자는 [[아리스토텔레스]]였다. 아리스토텔레스는 자신의 법칙이 미래의 사건에 모두 적용되는 것은 아니라고 인정했다. 그러나 그는 이 고립된 발언을 설명하기 위해 다치 논리 시스템을 만들지 않았다. 20세기가 오기 전까지 논리학자들은 배중률을 포함하거나 가정하는 아리스토텔레스 논리를 따랐다.

20세기는 다치 논리의 개념을 다시 불러일으켰다. 폴란드 논리학자이자 철학자인 [[얀 우카시에비치]]는 [[미래시점 우연명제의 문제]]를 다루기 위해 세 번째 값인 "가능"을 사용하여 다치 논리 시스템을 만들기 시작했다. 한편, 미국 수학자 [[에밀 포스트]]도 n≥ 2(''n'' 은 진리값)의 공식화를 도입했다.나중에, 우카시에비치과 [[알프레트 타르스키]]는 함께 ''n''≥ 2일 때의 공식화를 도입했다. 1932년 [[한스 라이헨바흐]]는 ''n'' →∞인 많은 진리값의 논리를 공식화했다. [[쿠르트 괴델]]은 [[직관 논리]]가 유한치 논리가 아니라는 것을 보여주었고,  [[고전 논리]]와 직관 논리 사이의 중간인 괴델 논리 체계를 정의했다. 이러한 논리는 [[초직관 논리]]이다.

== 예 ==

=== 클레이니 (강) {{수학|''K''<sub>3</sub>}} 및 프리스트 논리 {{수학|''P''<sub>3</sub>}} ===
[[스티븐 클레이니|클레이니]]의 "(강한) 불확정성 논리" {{수학|''K''<sub>3</sub>}} (때때로 <math>K_3^S</math> ) 및 Priest의 "역설의 논리"는 세 번째 "정의되지 않은" 또는 "불확정한" 진리 값 {{수학|I}} 가 추가된다. [[부정 (논리학)|부정]] (¬), [[논리곱]] (∧), [[논리합]] (∨) 등에 대한 진리 함수는 다음과 같이 주어진다.<ref>* [[Siegfried Gottwald|S. Gottwald]], ''A Treatise on Many-Valued Logics.'' Studies in Logic and Computation, vol. 9, Research Studies Press: Baldock, Hertfordshire, England, 2001.</ref>
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두 논리의 차이점은 [[항진식|동어반복]]이 정의되는 방식에 있다. {{수학|''K''<sub>3</sub>}} 에서는 {{수학|T}} ''만이 지정된 진리값'' 이고 {{수학|''P''<sub>3</sub>}}에서는 {{수학|T}} 와 {{수학|I}} 둘 다 그러하다.

=== Bochvar의 내부 3값 논리 ===
또 다른 논리는 Dmitry Bochvar의 "내부" 3치 논리이다. <math>B_3^I</math>, Kleene의 약한 3치 논리라고도 한다. 부정과 조건을 제외하고 진리표는 모두 위와 다르다.<ref name="Bergmann 2008 80"/>
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Bochvar의 "내부" 논리에서 중간 진리값은 다른 변수의 값에 관계없이 공식으로 전파되기 때문에 "전염성"이라고 설명할 수 있다.<ref name="Bergmann 2008 80">{{하버드 인용|Bergmann|2008}}</ref>

=== Belnap 논리 ( {{수학|''B''<sub>4</sub>}} ) ===
Belnap 의 논리 {{수학|''B''<sub>4</sub>}} 콤바인 {{수학|''K''<sub>3</sub>}} {{수학|''P''<sub>3</sub>}} 과잉 결정된 진리값은 여기에서 ''B'' 로 표시되고 과소 ''결정된 진리값은 N으로 표시'' 된다.
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=== 괴델 논리 ''G <sub>k</sub>'' 및 ''G'' <sub>∞</sub> ===
1932년 [[쿠르트 괴델|괴델]]은<ref>{{저널 인용|제목=Zum intuitionistischen Aussagenkalkül|저널=Anzeiger der Akademie der Wissenschaften in Wien|성=Gödel|이름=Kurt|날짜=1932|호=69|쪽=65f}}</ref>  <math>G_k</math>를 많은 진리값 <math>0, \tfrac 1 {k-1}, \tfrac 2 {k-1}, \ldots, \tfrac {k-2} {k-1}, 1</math>, 을 갖는 다치 논리로 정의했다. 비슷한 방식으로 그는 무한히 많은 진리값을 가진 논리를 정의했다. <math>G_\infty</math>, 여기서 진리값은 <math>[0,1]</math> 구간의 모든 [[실수]]이다.

<math>\wedge</math> 그리고 <math>\vee</math> [[극값|최소값]]과 [[극값|최대값]]으로 각각 정의된다.

: <math>\begin{align}
 u\wedge v &:= \min\{u,v\} \\
  u\vee v &:= \max\{u,v\}
\end{align}</math>

<math>\neg_G</math> 그리고 <math>\xrightarrow[G]{}</math> 다음과 같이 정의된다.

: <math>\begin{align}
\neg_G u & =\begin{cases}

 1, & \text{if }u=0\\
 0, & \text{if }u>0
\end{cases}
\\
u \xrightarrow[G]{} v &= \begin{cases}

 1, & \text{if }u\leq v\\
 v, & \text{if }u>v
\end{cases}
\end{align}</math>

괴델 논리는 완전히 공리화될 수 있다. 즉, 모든 동어반복이 증명 가능한 논리적 미적분학을 정의하는 것이 가능하다.

=== Łukasiewicz 논리 {{수학 변수|L<sub>v</sub>}} 및 {{수학|''L''<sub>∞</sub>}} ===
<math>\xrightarrow[L]{}</math> 그리고  <math>\underset{L}{\neg}</math>는 [[얀 우카시에비치]]는 다음 함수를 통해 정의했다.

: <math>\begin{align}
 \underset{L}{\neg} u &:= 1 - u \\
 u\xrightarrow[L]{} v &:= \min\{1, 1 - u + v\}
\end{align}</math>

처음에 그는 1920년에 자신의 3치 논리를 위해 이러한 정의를 사용했다.1922년 그는 무한히 많은 값을 가진 논리를 개발했다. <math>L_\infty</math>, 진리값이 구간의 실수에 걸쳐 있는 경우 <math>[0,1]</math> . 두 경우 모두 지정된 진리값은 1이었다.<ref>{{서적 인용|제목=Nichtklassische Logik. Eine Einführung|성=Kreiser|이름=Lothar|성2=Gottwald|이름2=Siegfried|날짜=1990|출판사=Akademie-Verlag|위치=Berlin|쪽=41ff – 45ff|isbn=978-3-05-000274-3|성3=Stelzner|이름3=Werner}}</ref>

괴델 논리와 같은 방식으로 정의된 진리값을 채택함으로써 <math>0, \tfrac 1 {v-1}, \tfrac 2 {v-1}, \ldots, \tfrac {v-2} {v-1}, 1</math>, 유한 가치 논리 계열을 만드는 것이 가능하다. <math>L_v</math>, 위에서 언급한 <math>L_\infty</math> 그리고 논리 <math>L_{\aleph_0}</math>, 여기서 진리값은 구간  <math>[0,1]</math>의 유리수로 주어진다.

== 적용 ==
다치 논리의 적용은 대략 두 그룹으로 분류할 수 있다.<ref>Dubrova, Elena (2002). [http://dl.acm.org/citation.cfm?id=566849 Multiple-Valued Logic Synthesis and Optimization], in Hassoun S. and Sasao T., editors, ''Logic Synthesis and Verification'', Kluwer Academic Publishers, pp. 89-114</ref> 첫 번째 그룹은 다치 논리를 사용하여 이진 문제를 보다 효율적으로 해결한다. 예를 들어, 다중 출력 불 함수를 나타내는 잘 알려진 접근 방식은 출력 부분을 단일 다값 변수로 처리하고 단일 출력 [[특성함수|특성 함수]] (특히 [[지시 함수]] )로 변환하는 것이다.

두 번째 그룹은 다치 메모리, 산술 회로, FPGA(Field [[FPGA|Programmable Gate Array]] )와 같이 2개 이상의 개별 신호 레벨을 사용하는 전자 회로 설계를 목표로 한다.

== 같이 보기 ==
* [[퍼지 논리]]
* [[에밀 포스트]]
* [[연관 논리]]
* [[거짓 딜레마]]
* [[IEEE 1164]]
* [[베릴로그]]
* [[세-상태]]
== 각주 ==
{{각주}}
{{논리학}}
{{전거 통제}}

[[분류:비고전 논리]]