다중극 전개 문서 원본 보기

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'''다중극 전개'''(多重極展開, {{lang|en|multipole expansion}})는 [[수학]]과 [[물리학]]에서 어떤 물체의 퍼텐셜이나 장을 그 세기에 따라 홀극, 쌍극, 사중극, 팔중극 따위로 전개한 것이다. [[전자기학]]이나 [[일반 상대성 이론]] 등에서 쓰인다.

== 정의 ==
어떤 부피 <math>S\subset\mathbb R^3</math>가 생성하는 퍼텐셜 <math>\phi</math>가 다음과 같이 거리에 반비례한다고 하자.
:<math>\phi(\mathbf x)=\int_S\frac{\rho(\mathbf y)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}\;d^3\mathbf y</math>
그렇다면 <math>S</math> 안에 임의의 "중심" <math>\mathbf y_0</math>을 잡아, <math>\phi</math>를 다음과 같이 전개하는 것을 생각할 수 있다.
:<math>\phi(\mathbf x)=\frac{\phi_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}+\frac{\phi_1}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^2}+\frac{\phi_2}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^3}+\cdots+\frac{\phi_n}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert^{n+1}}+\cdots</math>.
여기서 <math>\phi_0</math> 항을 '''홀극'''(-極, {{lang|en|monopole}}), <math>\phi_1</math> 항을 '''쌍극'''(雙極, {{lang|en|dipole}}), <math>\phi_2</math> 항을 '''사중극'''(四重極, {{lang|en|quadrupole}}), <math>\phi_3</math> 항을 '''팔중극'''(八重極, {{lang|en|octupole}}), 일반적으로 <math>\phi_n</math> 항을 <math>2^n</math>중극이라고 부른다. 이렇게 전개하는 것을 '''다중극 전개'''라고 한다.

다중극 전개의 항은 다음과 같이 계산할 수 있다. 거리의 역수는 다음과 같이 [[르장드르 다항식]] <math>P_n(x)</math>의 [[생성함수 (수학)|생성 함수]]이다.
:<math>\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert}=\frac1{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\sum_{n=0}^\infty P_n(\cos\theta)\left(\frac{\mathbf y-\mathbf y_0}{\mathbf x-\mathbf y_0}\right)^n</math>.
여기서
:<math>\theta=\arccos\frac{(\mathbf x-\mathbf y_0)\cdot(\mathbf y-\mathbf y_0)}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert\,\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert}</math>
는 <math>\mathbf x-\mathbf y_0</math>와 <math>\mathbf y-\mathbf y_0</math> 사이의 각이다. 따라서 각 다중극 항은 다음과 같다.
:<math>\phi_n=\int\Vert\mathbf y-\mathbf y_0\Vert^nP_n(\cos\theta)\rho(\mathbf y)\;d^3\mathbf y</math>.
일반적으로 <math>P_n(\cos\theta)</math>는 다음과 같이 <math>n</math>차 [[텐서]]로 쓸 수 있다.
:<math>P_n(\cos\theta)=\sum_{i_1=1}^3\sum_{i_2=1}^3\cdots\sum_{i_n=1}^3\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_1}
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_2}
\cdots
\left(\frac{\mathbf x-\mathbf y_0}{\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert}\right)_{i_n}
C^{(n)}_{i_1i_2i_3\cdots i_n}(\mathbf y-\mathbf y_0)</math>.
즉, 편의상
:<math>\Vert\mathbf x-\mathbf y_0\Vert=r</math>
:<math>(\mathbf x-\mathbf y_0)/r=\hat{\mathbf r}</math>
로 쓰면, 다중극 전개는 다음과 같다.
:<math>\phi=\frac{C^{(0)}}r+\frac{\hat r^iC^{(1)}_i}{r^2}+\frac{\hat r^i\hat r^jC^{(1)}_{ij}}{r^2}+\dotsb</math>.
여기서 <math>n</math>차 텐서 <math>C^{(n)}</math>을 <math>\phi</math>의 '''<math>2^n</math>중극자 모멘트'''라고 부른다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
  | 성=Griffiths
  | 이름=David J.
  | 제목={{lang|en|Introduction to Electrodynamics}}
  | 출판사=Addison-Wesley
  | 연도=1999
  | 언어=영어
  | isbn = 978-0138053260
}}
* {{서적 인용
 |성=Jackson
 |이름=J. D.
 |연도=1962, 1975, 1998
 |제목={{언어링크|en}}Classical Electrodynamics
 |위치=New York
 |출판사=John Wiley & Sons
 |oclc=535998
 |isbn=978-0-471-30932-1
 |언어=영어
 |url=http://as.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-047130932X.html
 |access-date=2012-08-23
 |archive-date=2013-08-21
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130821131938/http://as.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-047130932X.html
 |url-status=dead
 }}
* {{서적 인용|성=Edmonds|이름=A.R.|제목={{언어링크|en}}Angular momentum in quantum mechanics|출판사=Princeton University Press|연도=1957|isbn=9780691025896|url=http://press.princeton.edu/titles/478.html}}

== 같이 보기 ==
* [[르장드르 다항식]]

[[분류:퍼텐셜 이론]]
[[분류:전자기학]]
[[분류:벡터 미적분학]]
[[분류:모멘트 (물리학)]]