다르부 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[미적분학]]과 [[위상수학]]에서 '''다르부 함수'''({{llang|en|Darboux’s function}})는 [[연결 집합]]의 [[상 (수학)|상]]이 연결 집합인 [[함수]]이다.<ref name="Bernardi">{{저널 인용
|이름1=Claudio
|성1=Bernardi
|제목=Graphs of real functions with pathological behaviors
|언어=en
|저널=Soft Computing
|권=21
|쪽=11–15
|날짜=2017
|issn=1432-7643
|doi=10.1007/s00500-016-2342-4
|arxiv=1602.07555
|zbl=1382.26004
}}</ref><ref name="Fenoy-Muñoz">{{저널 인용
|이름1=Mar
|성1=Fenoy-Muñoz
|이름2=José Luis 
|성2=Gámez-Merino
|이름3=Gustavo A.
|성3=Muñoz-Fernández
|이름4=Eva
|성4=Sáez-Maestro
|제목=A hierarchy in the family of real surjective functions
|언어=en
|저널=Open Mathematics
|권=15
|호=1
|쪽=486–501
|날짜=2017
|issn=2391-5455
|doi=10.1515/math-2017-0042
|zbl=1362.26003
}}</ref><ref name="Bernal-González">{{저널 인용
|이름1=Luis
|성1=Bernal-González
|이름2=Daniel
|성2=Pellegrino
|이름3=Juan B.
|성3=Seoane-Sepúlveda
|제목=Linear subsets of nonlinear sets in topological vector spaces
|언어=en
|저널=Bulletin of the American Mathematical Society
|권=51
|쪽=71–130
|날짜=2014
|issn=0273-0979
|doi=10.1090/S0273-0979-2013-01421-6
|mr=3119823
|zbl=1292.46004
}}</ref><ref name="Ciesielski">{{저널 인용
|이름1=K. C.
|성1=Ciesielski
|이름2=J. L.
|성2=Gámez-Merino
|이름3=L.
|성3=Mazza
|이름4=J. B.
|성4=Seoane-Sepúlveda
|제목=Cardinal coefficients related to surjectivity, Darboux, and Sierpiński-Zygmund maps
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=145
|쪽=1041–1052
|날짜=2017
|issn=0002-9939
|doi=10.1090/proc/13294
|mr=3589304
|zbl=1357.26005
}}</ref> 실수에서 실수로 가는 함수의 경우 이는 [[구간]]의 상이 구간인 함수와 [[동치]]이다. '''다르부 정리'''({{llang|en|Darboux’s theorem}}) 또는 '''다르부 중간값 정리'''({{llang|en|Darboux’s intermediate value theorem}})에 따르면, 실수 구간에서 실수로 가는 [[미분 가능 함수]]의 [[도함수]]는 항상 다르부 함수이다. 이는 [[중간값 정리]]의 한 가지 일반화이다.

== 정의 ==
두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''다르부 함수'''라고 한다.
* [[연결 집합]]의 [[상 (수학)|상]]은 연결 집합이다. 즉, 임의의 [[연결 집합]] <math>A\subseteq X</math>에 대하여, <math>f(A)\subseteq Y</math>는 연결 집합이다.
실수 집합의 연결 부분 집합은 단순히 [[구간]]이다. 따라서, [[구간]] <math>I\subseteq\mathbb R</math> 위에 정의된 함수 <math>f\colon I\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 다르부 함수이다.
* [[구간]]의 [[상 (수학)|상]]은 구간이다. 즉, 임의의 <math>a,b\in I</math> 및 <math>y\in(f(a),f(b))\cup(f(b),f(a))</math>에 대하여, <math>f(x)=y</math>인 <math>x\in(a,b)</math>가 존재한다.

=== 어디서나 전사 함수 ===
[[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>가 주어졌다고 하자. [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>과 [[집합]] <math>Y</math> 사이의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''<math>\kappa</math>-어디서나 전사 함수'''({{llang|en|<math>\kappa</math>-everywhere surjective function}})라고 한다.
* 임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>f^{-1}(y)</math>는 <math>\kappa</math>-[[조밀 집합]]이다 (즉, 임의의 [[공집합]]이 아닌 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여, <math>|U\cap f^{-1}(y)|\ge\kappa</math>).
1-어디서나 전사 함수를 '''어디서나 전사 함수'''({{llang|en|everywhere surjective function}})라고 한다. 즉, 임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>f^{-1}(y)</math>는 [[조밀 집합]]이어야 한다. 이는 임의의 [[공집합]]이 아닌 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여, <math>f(U)=Y</math>인 조건과 [[동치]]이다. [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 <math>|X|</math>-어디서나 전사 함수 <math>X\to X</math>를 '''강하게 어디서나 전사 함수'''({{llang|en|strongly everywhere surjective function}})라고 한다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>과 [[집합]] <math>Y</math> 사이의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''완전 어디서나 전사 함수'''({{llang|en|perfectly everywhere surjective function}})라고 한다.
* 임의의 [[공집합]]이 아닌 [[완전 집합]] <math>P\subseteq X</math>에 대하여, <math>f(P)=Y</math>

=== 둘레 연속 함수 ===
두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''둘레 연속 함수'''({{llang|en|peripherally continouous function}})라고 한다.
* 임의의 <math>x\in X</math> 및 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>, <math>V\ni f(x)</math>에 대하여, <math>\operatorname{cl}W\subseteq U</math>, <math>f(\partial W)\subset V</math>인 열린 근방 <math>W\ni x</math>가 존재한다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
[[중간값 정리]]에 따르면, 모든 [[연속 함수]]는 다르부 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 어디서나 전사 함수 <math>\mathbb R\to\mathbb R</math>는 항상 다르부 함수이지만, 연속점을 갖지 않는다. 

함수 <math>\mathbb R\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 함의 관계가 성립한다.
:완전 어디서나 전사 함수 ⇒ 강하게 어디서나 전사 함수 ⇒ 어디서나 전사 함수 ⇒ 다르부 함수 ⇒ [[조밀 집합|조밀]] [[함수의 그래프|그래프]]를 갖는 함수 ⇒ 둘레 연속 함수
각 함의의 역은 성립하지 않는다.

=== 다르부 정리 ===
'''다르부 정리'''에 따르면, 임의의 [[폐구간]] <math>[a,b]\subseteq\mathbb R</math> 및 [[미분 가능 함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대하여, [[도함수]] <math>f'\colon[a,b]\to\mathbb R</math>는 다르부 함수이다. 특히, 임의의 <math>y\in(f'(a),f'(b))\cup(f'(b),f'(a))</math>에 대하여,
:<math>f'(x)=y</math>
인 <math>x\in(a,b)</math>가 존재한다.<ref name="a">Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006.</ref>{{rp|224–225}}
{{증명|제목=다르부 정리의 증명}}
편의상 <math>f'(a)<y<f'(b)</math>라고 하자.
:<math>g\colon[a,b]\to\mathbb R</math>
:<math>g\colon t\mapsto yt-f(t)</math>
라고 하자. 그렇다면 <math>g</math>는 [[연속 함수]]이며, 어떤 <math>x\in[a,b]</math>에서 [[최댓값]] <math>g(x)</math>를 갖는다 ([[최대 최소 정리]]).

이제, <math>x=a</math>라고 가정하자. 그렇다면 <math>g(a)</math>가 최댓값이므로, 임의의 <math>t\in[a,b]</math>에 대하여 <math>0\ge (g(t)-g(a))/(t-a)</math>이다. 따라서 <math>0\ge g'(a)=y-f'(a)</math>이며, 이는 모순이다. 즉, <math>x\ne a</math>이다. 마찬가지로 <math>x\ne b</math>임을 보일 수 있다. 이에 따라 <math>x\in(a,b)</math>이며,
:<math>0=g'(x)=y-f'(x)</math>
이다 ([[페르마 임계점 정리]]). 즉, <math>f'(x)=y</math>이다.
{{증명 끝}}

=== 충분히 많은 역의 반례의 존재 ===
모든 0이 아닌 원소가 어디서나 전사 함수 <math>\mathbb R\to\mathbb R</math>인 <math>2^{2^{\aleph_0}}</math>차원 [[실수 벡터 공간]]이 존재한다. 즉, [[중간값 정리]]의 역의 반례는 ‘충분히 많이’ 존재한다. 보다 일반적으로, [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math>의 부분 집합 <math>M\subset V</math>에 대하여, <math>\lambda(M)</math>이 <math>W\subset M\cup\{0\}</math>인 <math>\kappa</math>차원 부분 벡터 공간 <math>W\subset V</math>가 존재하지 않는 가장 작은 기수 <math>\kappa</math>라고 하자. (특히, <math>\lambda(M)</math>이 따름 기수 <math>\kappa^+</math>일 경우, <math>\kappa</math>는 벡터 공간 <math>W\subset M\cup\{0\}</math>의 최대 차원이다.) 그렇다면, <math>V={\mathbb R}^{\mathbb R}</math>에 대하여 다음 결과들이 있다.
{| class="wikitable"
! <math>M</math> !! <math>\lambda(M)</math>
|-
| 완전 어디서나 전사 함수 || <math>(2^{2^{\aleph_0}})^+</math><ref name="Bernal-González" />{{rp|83, Table 1}}
|-
| 완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수 || <math>(2^{2^{\aleph_0}})^+</math><ref name="Bernal-González" />{{rp|83, Table 1}}
|-
| 강하게 어디서나 전사 함수가 아닌 어디서나 전사 함수 || <math>(2^{2^{\aleph_0}})^+</math><ref name="Bernal-González" />{{rp|83, Table 1}}
|-
| 어디서나 전사 함수가 아닌 다르부 함수 || <math>(2^{2^{\aleph_0}})^+</math><ref name="Bernal-González" />{{rp|83, Table 1}}
|-
| 다르부 함수가 아닌 둘레 연속 함수 || <math>(2^{2^{\aleph_0}})^+</math><ref name="Bernal-González" />{{rp|83, Table 1}}
|-
| [[전사 함수|전사]] [[연속 함수]] || <math>(2^{\aleph_0})^+</math><ref name="Ciesielski" />
|-
| [[단사 함수]] || <math>1^+</math><ref name="Bernal-González" />{{rp|83, Theorem 2.17}}
|}

== 예 ==
함수
:<math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>f\colon x\mapsto\begin{cases}\sin(1/x)&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}</math>
는 다르부 함수이지만 0에서 연속이 아니며, 0이 아닌 모든 점에서 연속이다. 다르부 함수는 연속점을 전혀 가지지 않을 수도 있으므로, 이는 중간값 정리의 역의 비교적 ‘약한’ 반례이다.

임의의 [[무한 기수]] <math>\kappa</math> 및 크기 <math>\kappa</math>의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Bernardi" />
* 어디서나 전사 함수 <math>X\to X</math>가 존재한다.
* 임의의 [[공집합]]이 아닌 [[열린집합]]의 크기가 <math>\kappa</math>이며, 또한 <math>\kappa</math>개의 [[서로소 집합|서로소]] [[조밀 집합]]을 갖는다.
구체적으로, <math>\kappa</math>개의 [[서로소 집합|서로소]] [[조밀 집합]]들의 집합 <math>\mathcal F\subset\mathcal P(X)</math>와 [[전단사 함수]] <math>\phi\colon\mathcal F\to X</math>가 주어졌을 때, 함수
:<math>f\colon X\to X</math>
:<math>f\colon x\mapsto\begin{cases}\phi(D)&x\in D\in\mathcal F\\0&x\not\in D\forall D\in\mathcal F\end{cases}</math>
는 어디서나 전사 함수이다. 특히, <math>X=\mathbb R</math>의 경우 <math>\mathcal F=\mathbb R/\mathbb Q</math>로 취할 수 있다.

=== 강하게 어디서나 전사 함수가 아닌 어디서나 전사 함수 ===
'''콘웨이 13진 함수'''({{llang|en|Conway base-13 function}}) <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>는 다음과 같다.
* 만약 <math>x\in\mathbb R</math>의 [[진법|13진법]] 전개가 <math>x=a_1a_2\cdots a_p.b_1b_2\cdots b_q\mathrm Ac_1c_2\dots c_r\mathrm Cd_1d_2d_3\cdots_{(13)}</math> (<math>a_i,b_i\in\{0,1,\dots,9,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C\}</math>, <math>c_i,d_i\in\{0,1,\dots,9\}</math>) 꼴이라면, <math>f(x)</math>의 [[십진법]] 전개는 <math>f(x)=c_1c_2\cdots c_r.d_1d_2d_3\cdots</math>이다.
* 만약 <math>x\in\mathbb R</math>의 [[진법|13진법]] 전개가 <math>x=a_1a_2\cdots a_p.b_1b_2\cdots b_q\mathrm Bc_1c_2\dots c_r\mathrm Cd_1d_2d_3\cdots_{(13)}</math> (<math>a_i,b_i\in\{0,1,\dots,9,\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C\}</math>, <math>c_i,d_i\in\{0,1,\dots,9\}</math>) 꼴이라면, <math>f(x)</math>의 [[십진법]] 전개는 <math>f(x)=-c_1c_2\cdots c_r.d_1d_2d_3\cdots</math>이다.
* 만약 <math>x\in\mathbb R</math>의 [[진법|13진법]] 전개가 위 두 가지 형태가 아니라면, <math>f(x)=0</math>이다.
콘웨이 13진 함수는 다음 성질들을 만족시킨다.
* 어디서나 전사 함수이다. (따라서 다르부 함수이며, 연속점을 갖지 않는다.)<ref name="Bernardi" />
* 강하게 어디서나 전사 함수가 아니다. (사실 임의의 <math>y\ne 0</math>의 원상은 [[가산 무한 집합]]이다.)
* 주기 1의 [[주기 함수]]이다.<ref name="Bernardi" />
* [[유리수]]의 [[상 (수학)|상]]은 유리수이다.<ref name="Bernardi" />

=== 완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수 ===
끝점이 유리수인 모든 [[개구간]]의 집합 <math>\{(a_i,b_i)\colon i\in\mathbb N\}</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가산 개의 [[서로소 집합|서로소]] [[칸토어 집합]]
:<math>C_0\subset(a_0,b_0)</math>
:<math>C_1\subset(a_1,b_1)\setminus C_0</math>
:<math>C_2\subset(a_2,b_2)\setminus(C_0\cup C_1)</math>
:<math>\vdots</math>
이 존재한다. (이는 [[칸토어 집합]]의 [[르베그 측도]]가 0이기 때문이다.) [[칸토어 집합]]은 [[곱공간]]
:<math>\{0,1\}^{\aleph_0}\cong\{0,1\}^{\aleph_0}\times\{0,1\}^{\aleph_0}=\bigcup_{j\in\{0,1\}^{\aleph_0}}(\{0,1\}^{\aleph_0}\times\{j\})</math>
과 [[위상 동형]]이므로, 각 <math>C_i</math>는 칸토어 집합과 [[위상 동형]]인 <math>2^{\aleph_0}</math>개의 서로소 집합들 <math>C_{ij}</math>의 합집합이다.
:<math>C_i=\bigcup_{j<2^{\aleph_0}}C_{ij}</math>
임의의 [[전단사 함수]] <math>\phi_{ij}\colon C_{ij}\to\mathbb R</math>들을 취하자. 다음 함수를 정의하자.
:<math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>f\colon x\mapsto\begin{cases}\phi_{ij}(x)&x\in C_{ij}\\0&x\not\in C_0\cup C_1\cup\cdots\end{cases}</math>
그렇다면, <math>f</math>는 [[거의 어디서나]] 0이며, 강하게 어디서나 전사 함수이지만, 완전 어디서나 전사 함수가 아니다 (이는 [[칸토어 집합]] <math>C\subset\mathbb R\setminus(C_0\cup C_1\cup\cdots)</math>이 존재하기 때문이다).<ref name="Fenoy-Muñoz" />{{rp|490, Example 2.8}}

=== 완전 어디서나 전사 함수 ===
실수의 ([[공집합]]이 아닌) [[완전 집합]]의 집합을 <math>\mathcal A\subset\mathcal P(\mathbb R)</math>로 표기하자. 또한,
:<math>\mathcal A\times\mathbb R=\{(P_i,y_i)\colon i<2^{\aleph_0}\}</math>
이라고 하자. (실수의 [[닫힌집합]]의 수는 <math>2^{\aleph_0}</math>이다. 표준적인 칸토어 집합을 [[평행 이동]]하여 얻는 집합은 모두 완전 집합이다. 따라서, <math>|\mathcal A|=2^{\aleph_0}</math>이다.) 실수의 [[완전 집합]]의 크기는 항상 <math>2^{\aleph_0}</math>이므로, [[초한 귀납법]]을 통해 다음과 같은 실수 집합 <math>\{x_i\colon i<2^{\aleph_0}\}\subset\mathbb R</math>을 취할 수 있다.
:<math>x_i\in P_i\setminus\{x_j\colon j<i\}</math>
이제,
:<math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>f\colon x\mapsto\begin{cases}y_i&x=x_i\\0&x\ne x_i\forall i<2^{\aleph_0}\end{cases}</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>f</math>는 완전 어디서나 전사 함수이다.<ref name="Fenoy-Muñoz" />{{rp|492, Example 2.12}}

== 역사 ==
일부 오래된 서적에서는 구간의 상이 구간인 성질이 [[연속 함수]] <math>\mathbb R\to\mathbb R</math>의 정의로 잘못 쓰였다. (사실 이는 연속 함수보다 훨씬 약한 성질이다.) 이러한 오류는 [[장 가스통 다르부]]가 1875년에 지적하였다.<ref name="Bernardi" />

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[다르부 정리]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Darboux property}}
* {{eom|제목=Darboux theorem}}

[[분류:미적분학 정리]]
[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:연속 함수]]