다르부 정리 문서 원본 보기

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{{다른 뜻|다르부 함수|[[심플렉틱 기하학]]에서의 다르부 정리|[[미적분학]]에서의 다르부 정리}}
[[미분기하학]]에서 '''다르부 정리'''({{llang|en|Darboux’s theorem}})는 [[심플렉틱 다양체]]의 국소적 구조에 대한 정리다. 대략, 같은 차원의 심플렉틱 다양체는 국소적으로 모두 [[동형]]임을 뜻한다.

== 정리 ==
<math>(M,\omega)</math>가 <math>2n</math>차원의 [[심플렉틱 다양체]]라 하자. 그렇다면 국소적으로 심플렉틱 [[미분 형식]] <math>\omega</math>는 다음과 같은 꼴을 취한다.
:<math>\omega=dx_1\wedge dy_1+dx_2\wedge dy_2+\cdots+dx_n\wedge dy_n</math>.
즉, <math>M</math> 안의 임의의 한 점 <math>x\in M</math>이 주어지면, <math>x</math>를 포함하는 [[근방]] <math>U\ni x</math>와, 위의 식을 만족하는 국소 좌표계 <math>\{x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n\}\colon U\to\mathbb R^{2n}</math>이 존재한다. 이러한 좌표계를 '''다르부 좌표계'''({{llang|en|Darboux chart}})라 한다.

좀 더 일반적으로, <math>m</math>차원의 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 정의된 <math>p</math>차원의 [[치역]]을 지닌 1차 [[미분 형식]] <math>\theta</math>를 생각하자. 만약
:<math>\theta\wedge(d\theta)^p=0</math>
이라면, 국소적으로 <math>\theta</math>는 다음과 같은 꼴을 취한다.
:<math>\theta=dx_1\wedge dy_1+dx_2\wedge dy_2+\cdots+dx_p\wedge dy_p</math>.
(심플렉틱 미분 형식은 정의상 닫혀 있으므로, 임의의 심플렉틱 미분 형식 <math>\omega</math>는 국소적으로 <math>\omega=d\theta</math>의 꼴이다. 따라서 앞의 정리는 이 정리의 특수한 경우다.)

== 의의 ==
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 경우, 임의의 점 <math>x\in M</math>에서 [[계량 텐서]] <math>g|_x</math>가 [[단위 행렬]]이 되는 국소 좌표계가 존재하지만, <math>x</math>를 포함하는 [[근방]] <math>U</math>에서 계량 텐서 <math>g|_U</math>가 단위 행렬이 되게 하는 국소 좌표계는 [[리만 곡률]]이 0이 아닌 이상 일반적으로 존재하지 않는다. 따라서, 다르부 정리는 심플렉틱 기하학에서는 [[곡률]]에 해당하는 개념이 존재하지 않음을 의미한다.

다르부 좌표계는 국소적으로 존재하지만, 다양체가 위상학적으로 자명하지 않는 이상 전체적으로는 존재하지 않는다. 다르부 좌표계는 [[해밀턴 역학]]에서 [[일반화 좌표]] 및 [[일반화 운동량]]으로 이루어진 국소 좌표계에 해당한다.

== 같이 보기 ==
* [[다르부 함수]]

[[분류:심플렉틱 위상수학]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]
[[분류:해밀턴 역학]]
[[분류:미분기하학 정리]]
[[분류:수리물리학]]