다르부 공식 문서 원본 보기

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수학의 [[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''다르부 공식'''(Darboux's formula)은 적분을 사용하여 무한 급수를 [[합|합산]]하거나 [[급수 (수학)|무한 급수]]를 사용하여 [[적분]]을 평가하기 위하여 [[가스통 다르부]](Gston Darboux)에 의하여 도입된 공식이다. 이 식은 [[오일러-매클로린 공식]]을 [[복소평면|복소수 평면]]에 일반화한 것인데, 오일러-매클로린 공식은 다르부 공식과 유사한 목적으로 사용되며, 특정한 [[적분|피적분]] 함수에 대하여 [[부분 적분|부분적분]]을 반복적으로 적용하는 유사한 방식으로 유도된다. 다르부의 공식은 [[미적분학]]에서 [[테일러 급수]]를 유도하기 위해서도 사용될 수 있다.

== 기술 ==
만일 ''φ'' ( ''t'' )가 ''n'' 차 다항식이고 ''f'' 가 해석 함수이면

: <math>
\begin{align}
   & \sum_{m=0}^n (-1)^m (z - a)^m \left[\varphi^{(n - m)}(1)f^{(m)}(z) - \varphi^{(n - m)}(0)f^{(m)}(a)\right] \\
 = {} & (-1)^n(z - a)^{n + 1}\int_0^1\varphi(t)f^{(n+1)}\left[a + t(z - a)\right]\, dt.
\end{align}
</math>

이 공식은 [[부분 적분|부분적분]]을 반복적으로 수행하여 증명할 수 있다.

== 특수한 상황 ==
다르부 공식에서 ''&#x3C6;'' 를 [[베르누이 다항식]]으로 취하면 [[오일러-매클로린 공식]]이 된다 . ''φ'' 를 ( ''t''&nbsp;-&nbsp;1) <sup>''n''</sup> 로 취하면, 이 공식은 [[테일러 급수]]에 대한 공식이 된다.

== 참고 문헌 ==

*  {{인용|last=Darboux|title=Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable|year=1876|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k16420b/f291|volume=3|issue=II|pages=291–312|journal= Journal de Mathématiques Pures et Appliquées}}
* Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "A Formula Due to Darboux." §7.1 in ''A Course in Modern Analysis'', 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, p.&nbsp;125, 1990. [https://books.google.com/books?id=_hoPAAAAIAAJ&pg=PA96&lpg=PA96&dq=darboux's+formula&source=web&ots=-hSlgJrJXo&sig=8cg5JvFAW5r-7m9CPc2vIh5AtAc]

== 외부 링크 ==
* [[매스월드|MathWorld]]에서 [http://mathworld.wolfram.com/DarbouxsFormula.html 다르부 공식]
[[분류:총합법]]
[[분류:해석학 (수학)]]