다가 함수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''다가 함수'''(多價函數, {{llang|en|multivalued function}})는 [[함수]] y=f(x)의 y값과 변수 x값의 [[이항관계]]에 대해 y값이 변수 x값에 두개 이상 대응하는 형태를 말한다.

본래 명확히 정의된 함수는 y = f(x)에서 y값이 변수 x의 값에 단 한개만 대응하며 특별한 제한이 없는 함수를 말한다. 이런 점에서 엄격하게 다가함수는 함수로 취급하기에 적절하지 않다.

다가함수는 [[단사 함수|단사함수]]가 아닌 함수의 [[역함수]]를 유도할 때 발생한다. 역함수를 가지고 있지 않는 함수는 [[역함수 관계]]는 만족한다. 다가함수는 역함수 관계를 만족시키기 적절하며 함수로 취급하면 편리한 경우가 많으므로 통상 '함수'라는 표현을 사용한다.

== 다가함수의 예 ==
* <math>0<x</math>를 만족하는 <math>x\in\mathbb{R}</math>에 대해 <math>x</math>의 [[제곱근]]은 <math>\pm\sqrt{x}</math>로 2개를 가진다.
* <math>x\neq0</math>을 만족하는 <math>x\in\mathbb{C}</math>에 대해 일반적으로 ''n''제곱근은 ''n''개의 근을 가진다.
* [[복소수 로그]]함수는 다수의 값을 가진다. [[실수]] <math>a</math>, <math>b</math>에 대해 <math>\log{(a+bi)}</math>는 모든 [[정수]] <math>n</math>에 대해 <math>\log{\sqrt{a^2+b^2}}+i\arg{(a+bi)}+2\pi ni</math>의 값을 가진다.
* [[삼각함수]]는 주기적인 성질을 가지고 있기 때문에 [[역삼각함수]]도 다수의 값을 가진다.
* [[부정적분]]도 다가함수로 여겨질 수 있다.
예로 든 다가함수들은 모두 단사함수가 아닌 함수로부터 유도된 것이다.

== 응용 ==
다가함수는 [[최적제어론]](optimal control theory)나 Differential inclusion 그리고 [[게임 이론]]등에 사용된다.

[[물리학]]에서 다가함수는 갈수록 중요해 지고 있는 법칙에 관여하고 있다. 다가함수는 [[폴 디랙]](Paul Dirac)의 [[자기 홀극]](Magnetic monopole), [[결정 결함]] 이론(Crystallographic defect), 물질의 [[소성 (물리학)|소성]](plasticity) 작용, [[상전이]](phase transitions) 등의 수학적 문제에 쓰인다.

== 역사 ==
다가함수는 역사적으로 가장 오래된 [[특수 함수]]일 것이다. 다가함수의 꽤 완전한 이론적 정리는 [[Claude Berge]]의 저서 ''Topological spaces'' (1963)에 처음으로 등장했다.

==주치==
[[주치 (수학)|주치]](主値,principal branch)는 다가 함수의 변수 x의 하나의 값에 대한 y의 값이 무수히 많은 경우에 일정 구간을 정하여 제약을 가하고 그 구간에서의 y 값을 이르는 말이다.

== 같이 보기 ==
* [[전단사 함수]]
* [[전사 함수]]
* [[단사 사상]]

== 외부 링크 ==
* A. Geletu, [https://web.archive.org/web/20160417134540/https://www.tu-ilmenau.de/fileadmin/media/simulation/Lehre/Vorlesungsskripte/Lecture_materials_Abebe/svm-topology.pdf ''Introduction to Topological Spaces and Set-Valued Maps (Lecture notes)''] {{언어링크|en}}, Ilmenau University of Technology, 2006

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수와 사상]]